高中数学：用函数观点分析有关不等式问题

当不等式中问题用常规方法不易解决时，不妨考虑用函数观点进行分析，可能比较容易求解。为此，本文介绍函数观点在不等式的证明、求最值及确定参数范围等方面的应用。

例1. 设，求证：

分析：观察题目特点，可以把不等式两边看成函数的两个值，不妨应用该函数的单调性求解。

证明：令

由知：在区间上是增函数

因为，所以

即

说明：本题亦可改为求证。

例2. 若，且。

求证：

分析：注意到本题的特点，可构造函数，再利用单调性证明。

证明：易证函数是R上的单调增函数（证明略）。

因为，即

所以，即

所以 

同理 

由<1>＋<2>＋<3>，得：

所以 

例3. 设都是正数，证明对任意正整数n，下面不等式成立：

分析：注意到平方这一特殊，可构造二次函数，利用判别式法证之。

证明：令

则对一切x均成立。

由函数的图象开口向上，知

即

说明：本题亦可用柯西不等式证明。

例4. 若，且，求的最小值。

分析：构造函数，求出的范围，再利用函数的单调性求解。

解：易证函数在区间（0，1］内是减函数（证明略）

由条件，得

所以在上的最小值是

即的最小值是

例5. 已知，，，求e的最大值。

解：构造函数

所以 

即

所以

故e的最大值是。

例6. 若不等式对一切正整数n都成立，求a的范围。

分析：本题实际上只需求出不等式左边的最小值，参数的范围就会迎刃而解，可以利用函数的单调性求最小值。

解：构造函数

则有

即

所以在上是增函数

故的最小值是

又已知对一切正整数n都成立

所以

即

例7. 设，B是关于x的不等式组的解集，试确定a，b的范围使。

分析：直接求解不等式很困难，可以根据不等式组构造两个函数进行求解。

解：构造函数

要使必须使得与在［1，3］上的图象均在x轴的下方（包括x轴），则有

即

所以

通过以上的讨论，我们可以总结出函数构造的主要方法：依据不等式的特征先构造出某个区间上的单调函数，再利用函数的单调性确定大小、最值及范围等；若构造二次函数，再利用二次函数的图象特征、判别式等得出所求解的结论。

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