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大家好，我是高中数学王老师，今天继续跟大家分享关于高中数学学习的心得。前几天我们对集合的知识点做了归纳，很多读者朋友发私信说很帮助，鼓励我一直做下去，把高中三年学的所有内容都这样归纳一下，今天我们就继续必修1的第2章，函数部分，这部分内容比较多，分两篇完成。 函数是高一学生遇到的第一个难点，说是难点，并不是难在知识本身的难度大，而是难在思维方式的转变与适应，初中阶段接触到一些简单的函数，如果正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，都是一些具体的函数，解析式确定或者可求，而这一章讨论到函数有关定义、性质和遇到的题目多是针对抽象函数的，这种抽象性的表达是高中数学常常遇到的，需要学生尽快适应。函数部分主要知识点如下：
一、函数的概念与表示 1、函数的定义 原始定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫作自变量。 集合定义：设A、B都是非空的数的集合，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A y∈B。 2函数的三要素①定义域 ②对应法则 ③值域。其中如果定义域和对应法则是确定的，那么值域一定是确定的。 3、函数的表示方法 ①解析法 ②列表法 ③图象法 二、函数的解析式与定义域 1、函数解析式：用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连接而成的式子叫解析式。 2、函数的定义域：要使函数有意义的自变量x的取值的集合。求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零； （2）零取零次方没有意义； （3）偶次方根的被开方数不小于零 （4）对数函数的真数必须大于零； （5）指数函数和对数函数的底数必须大于零，对数函数的底不能等于1，指数函数的底一般不等于1。 （6）在实际问题中，除了以上数学条件外，还要保证每个量所代表的实际意义符合实际要求。 如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集。
三、函数的值域 1．函数的值域的定义 在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，所有函数值构成的集合叫做函数的值域。 2．确定函数的值域的原则 （1）当函数y=f(x)用列表法表示，函数的值域是指表格中实数y的集合； （2）当函数y=f(x)用图像法表示，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合； （3）当函数y=f(x)用解析式表示，函数的值域由函数的定义域按照其对应法则计算确定； （4）当函数y=f(x)表示实际问题，函数的值域由除了用以上数学方法外，还要参考问题的实际意义确定。 3．求函数值域常用的方法 （1）直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围； （2）反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域； （3）单调性法：利用函数的单调性求值域； （4）不等式法：利用不等式的性质求值域； （5）配方法：如果解析式比较容易变换成配方式，可以用配方后利用二次项非负的规律确定值域。 四、函数的单调性 1、函数单调性的定义 一般地，设一连续函数f(x)的定义域为D，则
增函数和减函数统称单调函数。
2、函数单调性的证明：定义法“取值—作差—变形—定号—结论”。 注意：单调性的定义强调任意性，不能在定义域内选择两个特殊的自变量做判断。 3、判断函数单调性（求单调区间）的方法： （1）定义法（2）从观察图像（3）利用熟悉函数的单调性和下面的常用规律组合判断 4、几个常用的规律 （1）若f(x),g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数； （2）若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数； （3）互为反函数的两个函数有相同的单调性； （4）设y = f [g (x) ]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则y = f [g (x) ]在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则y = f [g (x) ]在M上是增函数。 |
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