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不断成熟的数系 - 《不可思议的数》

2019-08-24  阳光的早...
人们倾向于认为,数(字)是一成不变的——它是自然世界的一种属性。事实上,数(字)是人类的发明,而且是特别有用的发明,因为它们描绘了大自然的一些重要方面。比如说,你有多少只羊,或者宇宙的年龄有多大。大自然通过不断地抛出新问题,让人类一次又一次地惊诧不已。这些问题的答案有时需要新的数学概念。数学自身偶尔也需要一些有用的新结构。这些问题和需求迫使数学家们时不时地构造出新类型的数,从而扩展了数系。
我们已经看到,数是如何作为一种计数方法而诞生的。在古希腊早期, 数是从 2、3、4 开始的。1 很特别,它不是一个“真正的”数。后来,人们发现这种规定其实很愚蠢,这才把 1 也当作数。

接着,分数的引进大踏步地扩充了数系。如果要在一些人中分配东西,分数就会非常有用。如果有 3 个人要平分 2 蒲式耳[1]的谷物,那么每人可以分到  蒲式耳。
[1]蒲式耳是一种谷物或油料的定量单位,在英国约等于 36 升。——译者注


图 4 左:古埃及象形文字里的  和  ;中:瓦吉特之眼;右:源于瓦吉特之眼的分数象形文字

古埃及人用三种不同的方法表示分数。他们用特别的象形文字表示  和  。他们还用“荷鲁斯之眼”或“瓦吉特之眼”的各个部分来表示 1 除以 2 的前 6 次方(图 4)。最后,古埃及人还发明了一套符号用来表示单位分数,即“1 除以某数”的形式,如  、  、  、  等。他们用不同的单位分数之X和来表示其他分数,例如, 。人们并不清楚古埃及人为什么不把  写成  ,但他们就是没这样写。

数  出现得很晚,可能是因为当时几乎用不到它。如果你没有羊,那就没有必要去数或者表示它。最初, 是作为符号被引进的,人们当时并没有认为  也可以当数用。然而,古代中国和古印度数学家在引进负数时 (见第 -1 章), 就不得不被当作数字看待了。例如,,两个数之和毫无疑问也应该是一个数。

数学家把数

称为自然数。加上负整数后,得到整数

另外,整数和正、负分数组成有理数

如果一个数大于 0,那么它被称为正数;如果一个数小于 ,那么它就是负数。因此,每个数(无论它是整数还是分数)都属于正数、负数或  这三种类别中的一种。用来计数的数

都是正数。这个约定使“自然数”这个术语变得有点傻,所谓自然数

通常指非负整数。真不好意思……

在很长一段时间里,数的概念仅止于分数。但古希腊人证明了任意分数的平方都不可能正好等于 2。后来,这一证明被表述为“数  不合理”,也就是说,它不合乎道理。古希腊人描述得很烦琐,但他们知道  一定是存在的:根据毕达哥拉斯定理, 是边长为 1 的正方形的对角线长度。因此,只用有理数没法对付很多问题,人们需要更多的数。于是,古希腊人发明了一种很复杂的几何方法来处理无理数,但并不能令人完全满意。

迈向现代数字概念的下一步,可能要算是小数点和十进制记数法的发明了,人们可以借此高精度地表述无理数。例如,

精确到了小数点后  位(从这里开始,符号  表示“约等于”)。这个表达式并不精确,实际上,约等于号后面的数的平方等于

更近似的数是(精确到小数点后  位)

但它依然不是精确的。不过,可以从严格的逻辑上认为,  是可以被长度无限的小数精确表示的。当然,我们不可能完整地写出这样的表达式,但建立这样的概念让它有意义,还是可以做到的。

无限小数(如果本来位数是有限的,那么可以在它后面添加无穷多个  )被称为实数,这么叫的部分原因是它们与测量大自然的结果相一致,例如长度和重量。测量的精度越高,所需小数的位数也越多;要得到精确值,位数就得无穷多。也许有点讽刺,“真实”是由一个实际上无法写完整的无限符号来表示的。负的实数也是允许的。

直到 18 世纪,再没有其他数学概念被认为是真正的数了。早在 15 世纪,一些数学家就已经在考虑是否可能存在一种新的数——  的平方根,也就是说,乘以自己后等于  的数。乍一看,这个想法很疯狂,因为任何实数的平方一定是正数或 。然而,下决心为  规定一个平方根却被认为是一个好主意。为此,欧拉引进了符号 ——它是英语、拉丁语、法语和德语中“虚构的”一词(如英语中是 imaginary)的首字母,这样命名是为了把它与“老牌”的实数区分开。不过,这导致了神秘主义的泛滥。戈特弗里德·莱布尼茨曾称 “介于存在和不存在之间”。但是,他的这种观点掩盖了一个重要的事实。实际上,无论是实数还是虚数,它们的逻辑地位是相同的。这些数都是人类用来给现实世界建模的概念,它们本身都不是真实的。

 的存在迫使人们引进一些如  之类的新数,用于做算术。这些数被称为复数。在接下来的几个世纪里,无论是在数学还是其他学科领域,复数成了不可或缺的数。这个古怪的事实对多数人而言很陌生,因为人们在学校里不会常常接触到复数。这并不是因为它们不重要,而是因为其概念太复杂,而且应用领域太高级。

数学家用空心字符来表示主要的数系。虽然我后面不会再用到它们,但读者还是应该见识一下。

 :所有自然数  的集合
 :所有整数 的集合
 :所有有理数的集合
 :所有实数的集合
:所有复数的集合

这些数系就像俄罗斯套娃一样相互嵌套:
 

在这里,集合论符号  表示“包含于”。请注意,所有整数都是有理数,如整数  就是  ——尽管我们通常不会这样写,但这两种记法都表示同一个数。类似地,所有有理数都是实数,而所有实数也都是复数。较老的数系并入了较新的数系,而不是被替代。

复数并不是数学家们几个世纪以来扩展的数系的终点。例如,还有四元数集  和八元数集  (见第 4 章)。不过,它们在代数方面的作用要比在算术中更大。在此,我要用无穷数——一个更矛盾的数来结束本节。从哲学上来说,无穷数和传统的数不一样,它不属于任何标准数系,无论是自然数系还是复数系。尽管如此,它和数系还是有一些关系的,它像数但又 不是数。格奥尔格·康托尔在重新考虑最初的问题——计数时,他发现从计数的角度考虑,无穷不但是一个数,而且它们有不同的大小。其中, 是所有自然数的数量,而  是所有实数的数量——后者更大些,但大多少没什么意义:这取决于人们用什么样的公理系统构建数学。

在我们对更常规的数产生足够多的直觉之前,还是先把无穷数放一放。接下来,让我们谈谈第三个问题。(未完待续)

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