 各种不可思议的数 1、2、3、4、5、6、7……还能有什么比这更简单的吗？然而这就是数，它们可能是最重要的东西，是它们让人类摆脱愚昧、步入文明。 每个数有着属于自己的特点，并且通向数学的各个领域。不过，在逐个研究它们之前，有三大问题值得我们快速地讨论一番：数字是怎么产生的？数的概念是如何发展的？还有，什么是数？ 数字的起源 在大约 35000 年以前的旧石器时代晚期，某个人在一根狒狒的腓骨上刻下了 29 道刻痕。这根骨头是在位于斯威士兰的列朋波山脉的山洞里发现的，被命名为“列朋波骨”。人们认为它是一根符木，所谓符木就是一种用一连串刻痕记录数字的东西，这些刻痕就像 |、||、||| 这样。一个朔望月有 29.5 天，因此这有可能是一种原始的阴历——当然，也可能是女性的月经记录。说实在的，它还可能只是一些随机的刻痕，在骨头上的涂鸦。 1937 年，卡尔·阿布索隆在捷克斯洛伐克发现了另一根有 55 道刻痕的狼骨符木。它距今大约有 30000 年。 1960 年，比利时地质学家让·德·海因策林·德·布罗古在一处因火山喷发而被掩埋的小渔村里，又发现了一根有刻痕的狒狒腓骨。那个地方如今被称为伊尚戈，位于乌干达和刚果（金）的交界处。这根腓骨距今大约有 20000 年（图 1）。 对伊尚戈骨最简单的解读认为，它就是一块符木。一些人类学家从中进一步发现了一些算术内容，例如乘法、除法及质数；另一些专家则认为它是一份 6 个月的阴历；还有一些专家则坚称，这些刻痕只不过是为了让它更好地成为骨器手柄。  图 1 伊尚戈骨的正面和反面（比利时布鲁塞尔国家自然科学博物馆藏） 这根骨头真的很奇妙，它上面有三段刻痕。中间那段刻痕用到了数字 3、6、4、8、10、5、7。3 的 2 倍是 6，4 的 2 倍是 8，5 的 2 倍是 10——不过最后一组数字的顺序颠倒了，而数字 7 则完全没有遵从上述规律。左侧刻痕的数是 11、13、17、19，它们是 10 到 20 之间的质数。右侧的数是奇数 11、21、19、9。左侧和右侧的数列之和都等于 60。 想要解释其中蕴含的规律并不容易，因为在任何短小的数列里寻找规律都是很困难的。例如，表 1 列出了隶属巴哈马的 10 座岛的面积。原表格将巴哈马的全部岛按照面积大小排列，这些岛位列第 11 位至第 20 位。我打乱了这 10 座岛的原有顺序，将它们以字母顺序排列。我可以保证，这是我第一次做这样的尝试。诚然，如果这个例子不能说明我的观点，我可以再换一个例子——但既然行得通，我就没换。  你从这些数字“图案”里注意到什么了吗？它们包含了许多具有共同特征的短小序列（图2）。  首先，整个数列呈现出一种美丽的对称性：两端各 3 个数组成一组，它们都是 3 的倍数；中间一对数是 10 的倍数，并把两个 7 的倍数隔开了。另外，数列里有两个平方数，分别是 9 = 32 和 49 = 72，同时，这两个数还都是质数的平方。还有一对相邻数 15 和 30，一个是另一个的 2 倍。对序列 9, 93, 49 而言，它们都含有数码 9。除了数列 110, 80, 14 以外，所有数都是一大一小地交替出现的。对了！你有没有发现，在这 10 个数里没有一个是质数。 说得够清楚了。伊尚戈骨的另一个问题是，人们根本不可能找到额外的证据来支持任何特定的解释。但它的刻痕真的非常奇妙，到处都是数字谜题。这一点是不争的事实。 一万年前，生活在近东地区的人类利用黏土块上的符号记录数，这些符号作为凭证，可能被用来征税或证明所有权。最早的例证是在伊朗扎格罗斯山脉的阿西阿布山区和甘兹达列赫山区发现的。它们是一些形状各异的黏土块，有的上面有符号标记。一个带“+”的黏土球代表 1 只绵羊，7 个这样的球代表 7 只绵羊。为简单起见，人们会用其他形状的符号代表 10 只绵羊，再用另一种形状的符号代表 10 只山羊，以此类推。考古学家丹妮丝·施曼特 – 贝塞雷特推测，各种符号代表了当时的基本物品：谷物、动物，还有油。 公元前 4000 年，人们像串项链一样用绳子把黏土块串在一起。但是，添加或取走黏土块可以轻而易举地改变数值，因此，人们引入了一种保障措施。他们把黏土块裹在黏土里，然后再把这黏土壳烘干。事后，只要打破陶土壳，就能知道里面作为凭证的小黏土块有多少（图 3）。从公元前 3500 年开始，为了避免不必要的损坏，美索不达米亚的古代官方机构在陶土壳上刻上符号，列出裹在里面的凭证数量。 后来，某个聪明人突然意识到，既然有这些符号，陶土壳里面的黏土块就变得有些多余了。于是，书面数字符号系统产生了。这是后来所有记数法的源头，数字书写本身可能也源于此。  图 3 乌鲁克文化的陶土壳和作为会计凭证的黏土块（出土自苏萨城） 本书并不是一本历史著作，我将在后面探讨某些特定数时，再讲述相关的记数系统。例如，我会在第 10 章讨论古代和当代的十进制记数法。不过，正如伟大的数学家高斯曾经说过的，重要的是概念，而不是记数法。因此，本书后续章节讲述的是人类不断变化的数（字）的概念，这样会更有意义。因此，我将从快速介绍主要的数系和一些重要术语开始。(未完待续) |
|
|
