等腰直角三角形系列问题【1】

等腰三角形，是八年级上的一个重要内容，也对八年级下的菱形，起到非常好的影响。直角三角形，八年级下的勾股定理主要图形，也是矩形的组成部分，同时也是九年级相似问题的核心之一。等腰直角三角形，秉承了这么多高贵出身，当然的是研究几何题的出发之地。

据我所知，大连中考数学几何压轴题，就有不下三次的直接挪用等腰直角三角形的典型问题，包括其解题方法。

当然了，要说清楚等腰直角三角形问题，就不能被上面提到的利用等腰直角三角形出的中考压轴题影响，而要按其本身的节奏走，这样才能将其把握全面，在未来的中考考试里，从容自如的解决问题。

典型问题1

如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°（这些是等腰直角三角形用数学符号的特标准写法），点E、F在AB上，满足∠ECF=45°.求证：EF²=AE²+BF².

分析1

看结论的思考(也适合分析2，也是分析2的引子)：EF²=AE²+BF²，显然就是勾股定理结论的样子，不用太多顾虑，我们就应该想到将三条线段EF、AE、BF拼装在一个直角三角形，且其中AE、BF为两条直角边，EF就是当然的斜边。还能不是吗？

方法一(见下图，也是作直角三角形的常见套路)：过一个确定是直角边的线段(AE)端点(A)，作这条线段(AE)的垂线段(AG)，使垂线段等于另一个确定了直角边(BF)，然后，通过推导说明这个直角三角形的斜边(EG)等于结论中的第三条线段(EF)。

从结论需要出发这样的思考，与从已知条件转化的思考，是吻合的。

从已知条件的思考：说白了，就是一系列的转化，从已知条件出发，展开想象力，去到能去的地方。

方法二(见下图)：比如已知：CA=CB，那就是转化为：以C为旋转中心。再加∠ACB=90°，旋转角为90°而已(过点C作的垂线段，使得CG=CF)。

方法三(见下图)：比如已知：∠ECF=45°.转化为∠ECF=∠ACE+∠BCF，这个也可以最后转化为两个角相等（只要把后两个角拼在一起，即作∠ACG=∠BCF）.

所有这样的从已知条件的转化思考，与上面从结论需要的思考，是完全合拍对茬的。

具体如上三种方法的写法，请大家自行完成吧！一定要珍惜这样的练习，这对你理解我上面的分析，是非常有意义的巩固。

分析2

拼装一个直角三角形的第二种方式是：

以已经确定是斜边的线段(EF)为一边，构造一个三角形(△EFG)，使得(这是要通过作一个全等再说明另一个全等才能的。如果只是一条线段等，还可以直接指定，两个线段一起等，还是有一番周折要走的)另外两条边(EG和FG)，分别等于已经确定的两个直角边(AE和CF)，再说明这个三角形是直角三角形(∠EGF=90°)。