如何计算框架结构的二阶效应系数？

文章作者： 刘孝国（北京构力）

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二阶效应系数概述

钢结构标准中要求按照结构二阶效应系数的大小判断结构设计的分析方法是采用一阶分析法还是二阶分析法。根据标准5.1.6条，当结构二阶效应系数大于0.1时，需要进行二阶效应分析。标准对结构二阶效应系数的计算区分了不同的结构类型。对剪切型变形的规则框架结构，按钢结构标准5.1.6-1公式计算二阶效应系数。对弯曲型和剪弯型变形形态的一般钢结构，包括钢框架支撑结构、复杂钢结构及钢结构混凝土混合结构等按钢结构标准5.1.6-2公式进行结构二阶效应系数的计算，该系数按照整体结构最低阶弹性临界荷载与荷载设计值比值得到的临界因子取倒数得到。

对于钢结构的二阶效应系数，PKPM软件按照钢结构标准的公式计算，区分不同的结构形式；对规则框架结构按照标准5.1.6-1公式计算二阶效应系数，在计算结果中输出钢结构两个方向每层的二阶效应系数。对于非框架结构，如框架支撑结构体系等，软件按照结果临界荷载与刚重比的关系，通过刚重比计算结构两个方向的二阶效应系数。（后续文章会推导刚重比与临界荷载之间的关系，做深入介绍）

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新钢标对结构二阶效应系数的计算

1. 钢结构标准对规则结构的二阶效应系数的计算，按照图1公式进行计算。

图1

2. 对一般结构的二阶效应系数计算，按照图2公式进行计算。

图2

通过规范的公式可以看到，对于结构二阶效应系数的计算，规范根据钢结构抗侧力构件在水平力作用下的变形形态，分为剪切型（框架结构）、弯曲型和剪弯型。对剪切型变形的规则框架结构，按钢结构标准5.1.6-1公式计算二阶效应系数。对弯曲型和剪弯型变形形态的一般钢结构，包括钢框架支撑结构、复杂钢结构及钢结构混凝土混合结构等按钢结构标准5.1.6-2公式进行结构二阶效应系数的计算。

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PKPM软件对规则框架结构二阶效应系数的计算及输出

以某规则框架结构为例，进行规则结构二阶效应系数的计算。该结构的三维模型图如图3所示。计算二阶效应系数时，需要选择一阶弹性分析方法，并且不考虑二阶效应计算方法，如图4为参数选择。

图3

图4

计算完毕，软件在计算结果的“抗倾覆和验算”下“二阶效应系数及内力放大系数”文本中输出了结构的二阶效应系数，该结构中每一层X，Y两个方向的结果如图5所示。

图5

需要说明的是，软件对于二阶效应系数结果做了输出，设计师直接根据软件输出的建议，对于需要考虑二阶效应分析的结构，需手动选择图4的二阶弹性分析方法。

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对软件输出结果的手工校核

对软件输出的结果，按照钢结构标准的公式，进行二阶效应系数的手工校核，过程如下：

1. 结构楼层刚度的校核

从规则框架结构二阶效应系数的计算公式可知，标准中的表示结构按照一阶弹性分析求得的结构的层间剪力与层间位移的比值，即结构的楼层刚度。该刚度可以直接从计算结果中读取，如图6所示。

图6

对楼层层间剪力与层间位移的刚度手工校核，可直接查询楼层剪力与楼层位移。以首层刚度为例来校核，图7所示为该结构地震作用下的楼层剪力，图8所示为该结构地震作用下的楼层位移。

图7

图8

首层X向地震作用下剪力428.6kN，该方向平均位移为7.18mm，则X方向的楼层剪力与楼层位移之比的刚度为：428.6*1000/7.18=59693.59kN/m，与软件计算结果59675.94 kN/m 基本一致。首层Y向地震作用下剪力437.0kN，该方向平均位移为7.02mm，则Y方向的楼层剪力与楼层位移之比的刚度为：437*1000/7.02=62250.71kN/m，与软件计算结果62262.75 kN/m 基本一致。造成手工校核结果与软件计算结果不能完全对应的主要原因是变形是四舍五入以后的近似结果。

也可通过软件中指定小数点后几位得较为准确的值，如显示小数点后四位，设置如图9所示为楼层剪力，图10为楼层位移。

图9

图10

通过输出小数点后四位较为准确的结果重新校核首层X方向刚度比，X向地震作用下剪力428.6380kN，该方向平均位移为7.1828mm，则X方向的楼层剪力与楼层位移之比的刚度为：428638/7.1828=59675.61kN/m，与软件计算结果59675.94 kN/m 完全一致。Y向也可以按照小数点后四位进行准确校核。

2. 结构楼层轴心压力设计值校核

按照钢结构标准中的所表述的含义，对于该设计内力为轴力设计值，可通过查询软件计算结果中恒载及活载的质量进行校核，如图11所示为软件输出结果。

图11

对于首层来讲，恒载的质量为1116.410t，活载的质量为101.742t，该活荷载质量已经考虑了0.5的重力荷载代表值系数，因此，恒活荷载下的轴力设计值为：

1.2*1116.410*10+101.742*10*1.4/0.5=16245.70kN，与图5软件输出的上部重量结果一致。

3. 规则框架结构二阶效应系数校核

按照上述校核的中间值，对该结构首层两个方向的二阶效应系数进行校核，首层层高3.9m，X方向的二阶效应系数计算如下：

Y方向的二阶效应系数计算如下：

软件中对该值四舍五入，因此，输出的结果中首层两个方向的二阶效应系数均为0.07，手工校核结果与软件计算结果一致。取小数点后四位的二阶效应系数结果如图12所示。

图12

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对钢结构二阶效应系数计算的总结

PKPM软件可以自动计算钢结构的二阶效应系数，设计师可以根据软件输出的计算结果，进行设计方法的正确选择。如果结构的二阶效应系数大于0.1，就需要考虑二阶效应，宜采用二阶p-Δ弹性分析方法或者直接分析法。

在使用软件的二阶效应系数时需要注意以下几点事项：

1. 二阶效应计算的时候要用到楼层剪力与楼层位移的比值，也就是楼层刚度，因此，在计算该二阶效应的时候，应该在刚性楼板假定下考察该指标。

2. 软件在计算二阶效应系数的时候，按照钢结构标准的要求区分规则框架结构及一般结构。对规则框架结构按钢结构标准5.1.6-1公式计算二阶效应系数；对一般钢结构，包括钢框架支撑结构、复杂钢结构及钢结构混凝土混合结构等按钢结构标准5.1.6-2公式进行结构二阶效应系数的计算。

3. PKPM软件计算二阶效应系数时，对于规则框架结构输出每一层两个方向的二阶效应系数；对一般结构，如框架支撑结构等，软件会输出整个结构两个方向的二阶效应系数。

4. 对软件中输出的各项结果，在手工校核时，需要注意精度引起的差异，尤其对于刚度、变形、剪重比等结果，设计师可以通过文本文件中设置显示小数点后更多位数来进行结果的查看，并进行最终结果的精确复核。

5. 按照钢结构新标准中一般结构的公式计算结构最低阶屈曲因子再计算二阶效应系数，在PKPM软件中也可实现，SATWE软件中通过临界荷载与刚重比的关系，按照刚重比的结果计算二阶效应系数；也可以通过PMSAP软件做屈曲分析，根据结构最低阶屈曲模态得到结构二阶效应系数。（由于文章篇幅限制，在后续文章中对刚重比与临界荷载的关系及如何使用PMSAP进行屈曲分析有详细的推导及介绍）