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头脑训练《抽屉原理》解题方法详解，还没有掌握的同学必学内容，有利于逻辑思维的锻炼。大家好我是小梁老师，这节课我们来学习抽屉原理，简单却无比实用，可以解决一些看似复杂的数学问题。 【理解抽屉原理】 把4只苹果放到3个抽屉里，虽然有好几种不同的放法，但不论你怎么放，肯定有一个抽屉里至少放进了两个苹果。 同样，把5只鸽子任意关进4个鸽笼里，必定有1个笼里至少有2只鸽子。 由此我们能够得出这样一个结论：把(n+1)个物体(像上面讲的苹果、鸽子等)放到n个抽屉(像上面讲的抽屉、鸽笼等)里，必定有一个抽屉里至少要放进两个物体。这个结论，通常被称为“抽屉原理”。 抽屉原理看似简单，但是，如果我们注意巧妙地运用它，就能解决一些看上去非常复杂，有时甚至是无从下手的数学问题。 下面我们来学习几个例子。在学习之前，请同学们注意：运用“抽屉原理”来分析问题或说明(证明)问题，关键是要寻找“抽屉”有时还要制造“抽屉”，同时更要弄清什么是题目中的“苹果”。 难题点拨① 学校航模兴趣小组有13名成员，其中至少有2人在同一个月里过生日。为什么? 解题分析：我们把一年的12个月看做12个“抽屉”，把13名同学的生日看成13只“苹果”。把这13只苹果放进12个抽屉里，先在每个抽屉里放进1只，最后剩下1只，因此，必定有一个抽屉要至少放进2只苹果。也就是说，至少有2名同学在同一个月份里过生日。 难题点拨② 下图画了3行9列共27个小方格，将每一个小方格涂上红色或者蓝色。不论你如何涂色，至少有两列的涂色方式完全相同。请说一说，这是为什么? 解题分析：这是一道较为复杂的“抽屉原理”问题。因为图中每列有3个小方格，所以，把它们分别涂上红色或者蓝色，只能有以下8种不同的涂色方法：红红红；红红蓝；红蓝红；蓝红红；蓝蓝红；蓝红蓝；红蓝蓝和蓝蓝蓝。这正是我们所需要的8个“抽屉”，而图上的“9列”就是9只“苹果”，不管你怎样放，一定会有一个“抽屉”里至少放进2只“苹果”。即至少有两列的涂色方式完全相同。 难题点拨③ 任意写出6个自然数，其中至少有两数的差是5的倍数。这是为什么? 解题分析：在解答这道题目之前，我们首先必须弄清这样一个规律：若两个自然数被5除的余数相同，那么，这两个数的差一定能被5整除(余数定理里有这部分内容)。因为任何一个自然数被5除，余数只会有五种情况：即余0(整除)、余1、余2、余3或余4。如果我们写出了6个自然数，必定会有两个自然数的余数是相同的。所以，任意写出6个自然数，至少有两个数的差是5的倍数。 利用抽屉原理”还可以解答一些既有一定难度，又十分有趣的问题。下面这三个题目会更难一些。 难题点拨④ 在一副扑克牌中(大、小王已经被抽出)，至少拿出多少才能保证某一种花色的牌至少有5张? 解题分析：把扑克牌的四种花色作为“抽屉”，有17只(4×4+1)“苹果”才能保证在某一“抽屉＂里至少有5只“苹果”，也就是说，至少拿1张扑克牌，才能保证同一种花色的牌至少有5张。 在分析思考这类问题时，还有一个小窍门，就是往最坏的情况去想。对于本题来说，就是前四次都是每种花色各拿了一张，此时共拿4×4＝16(张)。当再随意拿一张时，必定出现五张同花色的了。 难题点拨⑤ 有20名小乒兵球运动员进行单循环比赛，每人赛19场，胜一场得1分，负一场则为0分，没有平局。如果没有一名运动员全胜，试说明至少有两名运动员的积分相等。 解题分析：因为“每人赛19场”，又“没有一名运动员全胜”，所以他们的得分就可能是:18分、17分、16分…2分、1分或0分，共19种不同的情况。我们就把这视为19个“抽屉”，那么，20名小运动员便是20只“苹果”。所以，不管你怎样放，必定会有一个“抽屉”里至少有2个“苹果”，即至少有2名小运动员的积分相等。 难题点拨⑥ 有一个面积为8的长方形，在这个长方形内任意加9个点，那么，其中必定有3个点所构成的三角形的面积不大于1。为什么？ 解题分析：说明这个问题，首先要构造“抽屉”。 抽屉”怎么构造呢?说来真巧妙，把这个长方形平均分成四个小方形，这就是四个“抽屉”。画上的9个点就好比是9个“苹果”，至少会有3个“苹果”落在某一个“抽屈”里(如图中右下角的那一份就有3个点) 我们再对右下角小长方形里的3个点作深入地分析：因为小长方形的面积是2即(8÷4)，所以，哪怕那3个点落在小长方形的三个角上或两个点落在一侧的两个角上另一点落在对边上，由它们构成的三角形的面积也只等于1/2×2＝1，绝对不可能大于1。若这3个点落在小长方形内，所构成的三角形的面积一定小于1。 这节课我们就讲到这里，总之，利用“抽屉原理”来分析的问题是比较多的，好多问题还相当复杂、抽象，并涉及到不少高深的数学知识。我们小学生对此只作一般了解，等长大后再去仔细研究它们吧。我是小梁老师，下节课见！ |
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