统计力学基本原理(4):相变与各态历经破缺

伊辛模型在温度T = 0 时存在所有自旋平行排列的最低能量态。因为铁磁相互作用参数J > 0 ，相邻自旋取向一致对能量有利，但这样的有序对熵不利。然而，在温度很低时，熵对自由能的贡献被压低，自旋取向有可能在宏观距离上倾向于一致，即出现自旋长程关联或长程序，于是，即使外场不存在时M≡ <Σi σi> 也不为零。这种现象是自发磁化。可出现自发磁化的最高温度，是伊辛模型的临界温度。

无磁场的伊辛模型，关于自旋的上下取向是对称的。看来，精确计算M 的结果只会为零，因为对于每一个总自旋m=Σi σi 为正的组态，必有另一个m 为负的对称组态，彼此相消。自发磁化的对称破缺如何发生呢？一个机制是引入“辅助场”，由它得到对称破缺的初始分布，之后即使辅助场趋于零，对称破缺仍可留下。不过，比较自然的一个机制是以下讨论的各态历经破缺。

限定对总自旋m=Σi σi 为给定值μ 的所有组态求和，定义如下的“拟组态和” y(μ) 和“拟自由能” g(μ) ：

则配分函数显然为Y(T，h，N) =Σμ y(μ) =Σμe-βg(μ) ，而y(μ)/Y 是观察到总自旋为μ 的组态的概率。从上述关于自发磁化的讨论可以设想，函数g(μ) 作为一维有效势应该有如下的行为：在高温下它为单阱的，但是，当温度低于临界温度时，它为双阱势。外场可使势出现不对称，特别地，双阱势的两阱深度不等。重要的是，一旦出现势垒，其高度依磁畴表面积估计应~N(d-1)/d ，只要是按N的正幂次标度，均将在热力学极限下趋于无限。除热力学极限外，平衡态还涉及时间趋于无限的动力学极限。无限高势垒将使以下两个极限顺序不等价：

在后一顺序下，只要温度不是极低，体系仍有机会访问势垒两侧，而在前一顺序下则不然。对于实际体系，时间和体积均有限，到底取哪一种顺序，应由体系的具体过程确定。简而言之，相变伴随着各态历经破缺。

气相或液相的数值模拟中，初态一般取某种均匀态。如果体系的参数对应于气—液相变区，类似于伊辛模型的情形，一般得不到相共存。如果要得到相共存，如作界面行为的模拟时，必须选择很不同的初条件，例如让所有粒子处于容器一侧，然后令体系弛豫。气相和液相间最显著的差别在于密度，尤其是远离临界点时。选择适当的截断半径，一个粒子归入气相或液相的判据可取作以该粒子的位置为中心的截断球内的粒子数。各态历经破缺表现为，上述两种相对极端的初始构型有极其不同的演化特征，标记作气相的粒子将长时间处于气相，液相粒子亦然。当模拟的体系的尺度不大时，各态历经破缺现象不会十分显著，气相或液相粒子的寿命均不长，彼此频繁转换。随着体系尺度的增大，气相或液相粒子的寿命将有显著增长。是否及如何出现突变，值得观察并深入探讨。