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| 牛頓定律循環論證的重整 |
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摘要
本文将先定义质量，再定义力量。再以空间各方向平等，证明牛顿第二定律。本文重新整理牛顿三个定律的逻辑顺序，并说明牛顿第二定律不是人为定义，也不仅是实验资料的归纳结果，而是空间各方向平等带来的必然结果。
缘起
牛顿第一定律说:物体不受力则匀速前进。这句话有两个问题:是对谁匀速?如何定义力量这个词?
牛顿第二定律说:F=ma，这句话有两个问题:这等号是F的定义，还是归纳现象的等式?多力一起拉也合于这公式吗?
对于第一个问题“对谁匀速”，牛顿以遥远的星星为不动点，形成绝对的空间座标系，匀速是对这个绝对座标匀速。牛顿古籍里还特别加一段话，说眼前有一个水桶在旋转，是相对于遥远的星星在旋转，他认为先有遥远的星星存在，物理定律才成立。但现代人认为每颗星星都在动，无法做为定位标记，而且我们做各种物理实验，从来不看星星，所以一个务实的座标系，不应该谈到星星，应该只谈到手边可以操作的设备。
惯性座标系
有人这样定义座标系:能使运动方程式看起来最简短的座标系就是惯性座标系。这定义用了一个不明确的词“最简短”。而且这定义没说明建立座标系的操作步骤。
有人这样定义座标系:能看到“总施力=质量乘加速度”的座标系就是惯性座标系。这定义用了不明确的“总施力”。随便一个观察者如果发现“已知的施力加起来”不等于“质量乘加速度”，他就可以发想一个不明来源的力量补足它，让这个等号永远成立，这样随便一个人都可以宣称自己是惯性座标系了。
这样的定义和“不受力则匀速”同义，写在一起就是同义反复，或循环论证。
有人这样定义座标系:有一物体，当它与其他物体无碰触，以这物体为原点，就称为惯性座标系，以后描述其他物体的位置就用这座标系。这规画有实务上的缺点。例如我们准备一个透明真空瓶，有一石头轻粘于瓶内上方，过不久石头落下，在落下的这一段时间里，这石头能当作良好座标系的原点吗?不能。为甚么?因为这石头里也许有铁质，可以拿一块磁铁在瓶外摇晃，石头跟着摇摇晃晃。
如果石头改为木头呢?也许瓶外仍有物质让木头摇摇晃晃，我们无法检查宇宙每个物体，检查每个都不能摇晃木头。所以只凭着无碰触，并不足以保证座标系良好。
另有人这样定义座标系[注1]:有一物体，当它与其他物体的作用总合是零，以这物体为原点，就称为惯性座标系，以后描述其他物体的位置就用这座标系。考察这定义的逻辑，其中“作用”一词不清楚，更困难的是“其他物体的总和”要检查宇宙每一物体，包括遥远的星星，这做不到。
实验室里一块石头，宇宙万物正在影响它，这些影响算不清，当成背景。故意再给石头添加一个影响，当成前景，看石头发生了什么变化。
所谓添加影响，就是准备一条弹簧，勾着石头向前后左右拉一拉，看石头有什么变化。整个步骤是:
(1)有一个实验室，室内有一颗石头，一条10公尺细绳，一条10公分弹簧。
(2)用细绳把石头吊起来悬空静止，把弹簧勾在石头上。
(3)把弹簧向右，或向左，或向前，或向后拉长到11公分，持续1秒，记下石头移动的距离。
(4)若石头向前后左右移动的距离都一样，再让石头悬空静止，取这石头为座标系的原点。
我们不再期望“加总全部作用”，也不再担心石头被外物摇晃，它已经被摇晃过，往各方向摇晃都一样。按这步骤建立的座标系，我们将称为惯性座标系。
接着我们定义“光滑的桌面”，当一个石头不悬吊安放在桌面上被拉动，与悬吊起来被拉动的表现一样，我们说这是光滑桌面。在桌面上刻划座标线，让后面的实验在桌面上进行，不再悬吊。归纳实验结果，我们将得到F=ma成立，但我们不满足于说实验结果就是这样，我们还要追查原因，发现这等号可以用推理证明。
定义质量与力量
为了让实验更明确，我们必须明确形容石头。双手抱住一颗石头，需要用力抱住。这一颗石头多重呢?若石头绑一绳，友人往下拉绳你不知道，你只觉得石头变重了。如果不是友人拉绳，我们也可以想象是地球在拉石头，所以你觉得很重。这么说来，重量起源于外物(友人或地球)，重量不是石头本身的性质，若没有大地或友人，就没有重量。
接着我们把石头吊起来，你不需费力抱住它，它就静止了。你用手指头轻轻的水平的推它，它会动，现在这石头多重呢?若把两颗石头粘在一起变成大石，吊起来，你用手指头轻轻的水平的推它，它也会动，但动得少一点，现在这大石又是多重呢?
我们想形容石头被水平推开的难易程度，就规定一个操作步骤，测量出一个数值称之为质量。这步骤称为质量的操作型定义。详细如下。
有一石头，你看了特别喜欢，就称呼它是质量1单位。把这石头放在光滑桌面上，另造一弹簧10公分拉动这石头，长度保持在11公分拉动1秒，测得加速度A1，记下来备用。当你另外捡到一物体，被这弹簧保持11公分拉动1秒，也测得加速度A1，你就说这物体也是质量1单位。
两颗已经测得质量1的石头相粘成大石，你定义相粘在一起的质量就是2，大石被弹簧保持11拉动，测得加速度A2备用。当你另外捡到一砖，如下图，被弹簧保持11拉动，测得加速度也是A2，就说砖质量是2单位。
接着，把石头剖成两个半石，取其中一个挂上弹簧，保11拉动，得加速度A3(如下图)，
若另一半石挂上弹簧，保11拉动，也得加速度A3，就说剖得刚好，或说半石的质量是0.5单位，如此质量可以累积也可以分解，这就是质量的操作型定义。
接着建立力量的操作型定义。
刚刚那弹簧称为A簧，从10拉长到11，我们定义它此时拉力1单位。再造一B簧，起初长度是10公分把它拉长到b公分，两弹簧左右互拉静止，我们说此时两力相等，B簧的拉力也是1单位。
若两弹簧同时向右拉一物，A簧10到11，B簧10到b，我们定义此物受力2单位向右。
再造2个新弹簧称为C簧D簧，起初长度是10公分，两者左右互拉，各伸长到c公分，d公分，互拉静止。再让3条弹簧互拉，如下图，A簧向左拉到11公分，C簧D簧都向右拉，各伸长到c公分，d公分
三簧互拉静止，我们说，此时C簧的力为0.5单位，D簧也是0.5单位，如此力量可以累积也可以分解，这就是力量的操作型定义。
定力产生定加速度
从定义出发，加上一些原则，再加上推理，可以渐渐得到一些定理。所谓原则就是很平凡的现象，无法用更多的文字去解释它，这些原则在下文都以粗体斜字标示。我们开始看第一个定理。
(定理1.1恒定加速)我们想证明:恒定的拉力会造成恒定的加速度。
证明如下:
想象光滑桌面上有簧勾着砖，有甲乙丙3人，甲站着，乙坐在滑板上,滑板沿着桌面等速V向东移动，丙拉着簧向东跑，保持弹簧在11公分，如下图，虚线代表弹簧。
0秒时，甲看到砖速度是0，并且甲看到弹簧保持在11公分，
T秒时，甲看到砖速度是V，此时乙恰好看到砖静止，也就是说
T秒时，乙看到砖速度是0，并且乙看到弹簧保持在11公分，
甲和乙平等，应看到相同的现象，所以再T秒后，乙应该看到砖速度V，也就是于2T秒，甲应看到2V，综合以上资料:甲认为砖在0秒0速，在T秒V速，在2T秒2V速，所以砖匀加速前进，证明完毕。
这里用到了“甲和乙平等”。为什么平等?因为甲和乙在拉砖前有预先测量环境，得到相同资料:
甲的预先测量:甲让某弹簧勾着某石，平放在桌面上静止，接着甲把弹簧转向东西南北轻拉，测移动距离，都得到是d公分。
乙的预先测量:乙、这簧、这石都在滑板上，滑板在桌面上，滑板沿着桌面等速V向东移动。然后，乙让这簧勾着这石，平放在滑板上静止，接着他把弹簧转向东西南北轻拉，测移动距离，都得到是d公分。
甲和乙都测得相同的d公分，两人才可能看到相同的现象。这里用到一个假设:“若环境测量值相同，则将观测到相同现象。”这句话很朴素、平淡、平凡，无法再解释，只好列为“原则”。文字说明不完整，可以举个例子，例如有人在俯冲的飞机内轻拉弹簧，另一人在太空站内轻拉弹簧，都得相同的环境测量值，那么接下来做的各种物体移动观测，两人将得到相同结果。
进一步追问，为甚么甲和乙都测得相同的d公分?回答:甲看乙向东远离，乙看甲向西远离，方向指定词没有必要，桌面各个方向都是平等的，换个南北向，或换个任意方向还是得到相同结果，所以甲看乙测得d2，乙看甲测得d1，这d1、d2必定相等。“桌面上各个方向都是平等的”这句话很朴素、平淡、平凡，无法再解释，只好列为“原则”。
(定理1.2反拉匀速)有一物体被挂上弹簧向右拉力1，被测得加速度向右1单位。求证:若加挂新簧向左拉力1，则加速度立刻降为0
证明:你看到物体加挂新簧那一瞬间，是速度V，如果起初有一个速度V的某甲在移动，那么他会看到此物加挂新簧那一瞬间是静止的，挂了两簧后，两簧平等互拉，某甲看到此物继续静止，换算成你的观点就是你看到物体继续以V速前进，也就是加速度0，证明完毕。
(定理1.3不计来源)有一物体被测得加速度向右1单位，但不知道拉力的来源与大小(也许是两三根弹簧在拉，也许不是弹簧在拉)。接着若加挂新簧向左力1单位，则必然测得加速度0，请证明。这无法证明，这是一个无法再解释的现象:“任何力的来源都是平等的”，对于挂上去的新簧，它只认物体现在的加速度，不认加速来源。这现象很朴素、平淡、平凡，无法再解释，只好列为“原则”。
前段论述整理
前段文字定义了“质量”，也定义了“力量”，也以手边的器具定义了“惯性座标系”。使用三个平凡的现象当原则，得到了三个定理。接下来我们要讨论:多力合拉产生的加速度可以向量相加吗?所谓向量相加就是纯粹数学的平行四边形相加。物理现象可以对应到纯粹数学的相加吗?完成了这个讨论，我们就能证明力量与加速度成正比，就能推算出F=ma，所以F=ma是一个可以被推算出来的定理。
两簧合拉产生的加速度
两簧合拉物体的现象，值得深入讨论，将分解成定理2.1到2.6一共6个段落。
(定理2.1两向取中)物体受到两条弹簧拉动，各出力1单位，则物体加速度方向必在两簧的角平分线上。证明如下:
上图的砖挂两条弹簧，上边一条稍微拉长就有1单位的力，下边一条要拉到更长才有1单位的力，两弹簧曾经左右互拉静止，所以力量相等，只是外观长度不等。砖被弹簧勾住的那一点并不知道弹簧多长,受拉点只感受到相同的两力(任何力的来源都是平等的)，基于上下平等，受拉点不想偏上也不想偏下，只能水平向右走，恰在角平分线上，证明完毕。
(定理2.2互垂不扰)互相垂直的两条拉力，互不影响对方的加速度。证明如下:
有一个砖块，它受一条F力往右拉测得往右加速度a，受两条F力往右拉测得往右加速度c，记下来。挂两条弹簧到砖块上，一条往右力F，一条往上力G，如下图左方，假设测得往右加速度a+b1，
再加挂两条弹簧，一条往右F，一条往下G，一共四条，如下图右方。向下的弹簧也会带来额外的向右加速度，或写成往右加速度=c+b1+b2，其中b1,b2都大于零;或是都小于零。
这个配置图的上下G互抵，效果等于只剩两条F向右，所以物体应向右加速度c，
也就是c+b1+b2=c，所以b1=b2=0，证明完毕。
(定理2.3三向平等)物体放在桌面上，一簧出力1单位拉它，得加速度1，求证若两条弹簧各出力1单位，夹角120度，将会观测到物体的加速度是1，证明如下:
如上图，起初砖受两条力，F1=F2=1，根据两向取中(定理2.1)，砖必水平向右走，但加速度值未知。这时候，故意加挂一簧向左1单位，则加速度必定降为0，为什么?因为若砖偏向三簧之某一簧加速，则另一簧说砖应偏向我，所以砖谁都不偏，三簧夹角相同，三簧平等。这里用到了各方向平等原则。既然我们看到这物体受到向左簧拉力1单位而加速度降为0，问此物原本加速度多少?根据反拉匀速(定理1.2)此加速度必然是1，证明完毕。
(定理2.4，相同的力合拉产生的加速度)物体受到两条弹簧各出力1单位合拉，则观测到的加速度=(单簧加速度)的向量相加。证明如下:
下图一条黑射线代表一条弹簧产生的加速度，橙线是合拉后产生的加速度，不知道它大小。由定理2.1我们知道橙线必在半角上，我们假设[橙线长度]等于r倍乘[黑线的向量相加的长度]，也就是橙线凸出于黑线的平行四边形。
下图我们再增添两条弹簧变成四条，我们知道新产生的加速度也是走在半角上。
现在四簧形成了两条互垂力，产生了两个互垂加速度，从互垂不扰(定理2.2)我们知道互垂加速度不增减对方，所以最终加速度等于两条橙线的向量相加。
已知上橙线长度是其黑线相加的r倍，
如果下橙线长度不是其黑线相加的r倍，则上下橙线的向量相加不在水平线上，这不符观测，因为物体正在水平向右跑。所以下橙线长度必定也是其黑线相加的r倍，
接着故意转动那两条斜的弹簧，但保持两弹簧在一直线上。不管你转到什么角度，r必然是定值，因为综合四簧的现像是物体以定值向右加速。
故意转动斜簧的夹角到120度与60度。夹角120度那组的橙线加速度，由定理2.3知道它等于黑线的向量相加的1倍，也就是r=1，所以任意夹角的橙线必定是黑线的向量相加的1倍，证明完毕。
(定理2.5，不同的力合拉产生的加速度)物体受到两条弹簧合拉，各弹簧出力不同，则观测到的加速度=(单簧引起的加速度)的向量相加。证明如下:
下图左方显示两簧合拉的场景，单独一簧拉动时产生的加速度各别用A,B表示(A和B粗体字表示向量)。假设合拉产生的加速度是pA+qB，其中p,q是接近1的数值，可能随夹角而变动，也可能非固定数。
(实验操作一)我们旋转观察视角，使我们看到A水平向右，B不水平，如下图右方的场景。然后增加一条C簧，故意让C与B的角度是沿着垂直线左右对称且长度相同。
三簧合拉的加速度以r(pA+qB)+sC表示，
B和C合拉提供了垂直于A簧的加速度，这加速度的值不受A影响(见定理2.2)，而(定理2.4)告诉我们这个加速度是1B+1C，得到s=1，rq=1
(实验操作二)我们改变B簧和C簧添加的先后顺序，就得到q=1
(实验操作三)我们旋转观察视角，使我们看到B水平向右，A不水平。就得到p=1，也就得到A簧和B簧合拉的加速度=1A+1B，或完整写成下式:
A簧和B簧合拉的加速度=(单一弹簧加速度)的向量相加
(定理2.6加速正比)若向右1单位的力拉动某物体，产生1单位加速度，则向右N单位的力产生N单位加速度，证明:
若挂上2簧，从定理2.5知道表现出来的加速度是2单位，
若再挂1簧，从定理2.5知道表现出来的加速度是2+1单位，依此类推，挂N簧得加速N单位。
合力的定义
前文定义了力可以分解，也可以相加，但那都是在同一方向上的。若方向不同的两簧合拉，产生的合力该怎么定义?我们随便定义合力就是单力的向量相加。还没定义过什么是合力，当然我们有自由随便定义，但是随便定义的名词方便吗?何谓方便?我们想象如下场景，桌上有两簧一物，
第一次实验，两簧以不同方向施力于某物上，力量是F1,F2,实验测得加速度，以B表示
第二次实验，两簧以不同方向施力于某物上，力量是F3,F4,调整它们，使得F3+F4=F1+F2，然后测量加速度，得结果以C表示。想要求证B=C，以上斜体英文字母都是向量。
(证明步骤一)定理2.5指出:
簧1和簧2合拉产生的加速度=B=(单簧加速度)的向量相加=A1+A2，这里A代表单簧造成的加速度。
簧3和簧4合拉产生的加速度=C=(单簧加速度)的向量相加=A3+A4，这里A代表单簧造成的加速度。
(证明步骤二)定理2.6指出:
在同一方向上，力与加速度成正比，所以F3+F4=F1+F2可以改写为A3+A4=A1+A2，再结合步骤一，我们得到:B=A1+A2=A3+A4=C，所以B=C是肯定的。
如果我们接受了合力的定义是原始力的向量相加F1+F2，那么不论原来的F1和F2是多少，只要合力相同，外观的加速度就相同。当我们说某物受合力某某，不须详细说明原始各力是多少，我们就知道物体往何方加速，这样合力就是方便的。有了这方便，对于某受拉物体，我们可以写:
(定义说的合力向量)=(某系数)乘上(测量到的加速度向量)
两物相粘
上一章节的那些定理都是一物对两簧，若两物对一簧呢，会看到什么加速度呢?想象下图，A向右撞到B,问A受力多少，B受力多少?
要分析这问题，可以想象A和B之间有一小块橡皮，如下图之蓝色椭圆形，称为C。
若A挤压到C，问A出多少力推C?
C又挤压到B，问B出多少力推C?
答:若C受推力F1向右，而且C受推力F2向左，则C受力F1又受力F2，
若F1不等于F2，而且C很微小，则C的加速度很大，超过B的加速度，不可能，
所以F1=F2
这里用到了一个假设，“微小的物质受力微小”这假设很朴素、平淡、平凡，无法再解释，只好列为“原则”。
以上是互相挤压的情形，若A想要脱离而向左加速呢?那就想象蓝色椭圆形是个微小的粘胶，
A拉着粘胶，要把粘胶也带走，A出力F1，
B拉着粘胶，不想让粘胶脱离，B出力F2，所以粘胶受力F1又受力F2，同上段推理，
也是F1=F2
让蓝色椭圆形缩小到看不见，我们就得到定理:
(定理3.1)两物之间，不论是挤压或脱离，作用力等于反作用力，证明如上述。
接着我们来讨论两物之间脱离的力量多大，请看下图。
两砖A,B看起来相同，单纯一个砖受拉力F会产生加速度K。若两砖相粘，B砖受F拉动，问A砖受力几单位?
答:若A受力pF向右，由定理2.6(加速正比)得知其加速度为pK，
另一方面，我们知道B受力为F–pF向右(利用上面的定理3.1)，所以它加速度为(1-p)K，
这两个砖一同前进，加速度必然相等，所以pK=(1-p)K，
所以p=0.5或说A受力0.5F，或写成完整定理:
(定理3.2)相同两物相粘，单物只受一半拉力。证明如上述。
接着我们来讨论三物相粘，一物受力多大，请看下图。
假设BC之间作用力是pF，AB之间作用力是qF，
则qF=A的受力，(p-q)F=B的受力,(1-p)F=C的受力，
则qK=A的加速，(p-q)K=B的加速,(1-p)K=C的加速，而此三者相等，
解得q为1/3，也就是最左端的A砖受三分之一的F。
综合上述讨论，我们得到下面这定理:
(定理3.3)若一物受力F表现出加速度K，则N物相黏受力F将表现出加速度k/N，证明如上述。
全篇论述整理
把前面各段论述整理成简短文字:
(1)实验前应先测量实验室环境，向东西南北轻拉弹簧，看到物体移动相同距离。
(2)接受“环境测量值相同，将看到相同现象”这原则。
(3)接受“空间各方向平等”这原则。
(4)接受“不计拉力来源”这原则。
(5)以一块石头定义1单位的质量，用拉动加速度相同定义第二物，用粘合定义2单位的质量。
(6)以一条弹簧定义1单位的力量，用互拉静止定义第二条弹簧力，用同向合拉定义2单位的力量。
(7)力量变两倍，则加速度变两倍。(定理2.6)
(8)作用力等于反作用力。(定理3.1)
(9)质量变两倍，则加速度变一半。(定理3.2)
牛顿定律整理
以上的论述可以用来整理牛顿定律:
第一律:对某物体往各方向轻拉，看到物体移动距离相同，则选择此物体做为座标系原点。有一人立于原点，有另一人相对于他匀速移动，这两个人将看到相同现象。
第二律:F=ma，结合[定理2.6，力量变两倍，则加速度变两倍]和[定理3.2质量变两倍，则加速度变一半]可以推导出F=ma，而定理2.6是从“空间各方向平等”推导出来的，不只是实验资料的归纳。
第三律:作用力等于反作用力，在[定理3.1]有推导证明，所以它是精确的，不只是实验资料的归纳。
整理牛顿定律的逻辑顺序，到这里完成。
[注1]:朗道、栗弗席兹和Akhiezer合着的“普通物理学：力学和分子物理学”??的第一章第一节。
考虑一个物体距离其他物体非常遥远，以致于它与其他物体不能发生相互作用。这样的物体可以说是正在作自由运动……如果参考系被确定地选在一个自由运动的物体上，那么其他自由运动的物体相对于此参考系都沿着一条直线均匀地运动。
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