|
美妙数学天天见，每天进步一点点。  亲爱的同学们，你们好！我是朱乐平名师工作站的陈翚老师，来自杭州市崇文实验学校。今天我要和你们分享的内容是“为什么用辗转相除法可以求最大公因数”。  回顾 昨天我们讲了求两个较大数的最大公因数时，用辗转相除法来求比较简单。这种方法是古希腊数学家欧几里德最先提出来的，所以也叫欧几里德算法（Euclidean algorithm），这个算法最早出现在公元前300年古希腊著名数学家欧几里得的《几何原本》(第VII卷,命题i和ii)中。而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。   辗转相除法是先用两个数中较大的数除以较小的数，如果有余数，则用较小的那个数继续除以余数，按照这样的方法一直除下去，除到余数为0为止。那么最后的除数就是两个数的最大公因数。 例如： 3139÷2117=1……1022 2117÷1022=2……73 1022÷73=14 (3139,2117)=73   为什么用辗转相除法可以求最大公因数呢？道理是什么？ 这个我也不知道，要不我们一起去问问老师吧。老师，您能跟我们讲讲用辗转相除法为什么可以求最大公因数吗？   真是两位爱学习的好孩子！那就让我跟你们说道说道吧。  讲解 先一起来看一道题目。 有一张长方形纸，长是2703厘米，宽是1113厘米，要把它裁成若干个大小相同的正方形，要使正方形的边长尽可能大且纸张没有剩余，正方形边长是多少厘米? 老师，纸张不能有剩余也就是说这个正方形的边长既是长方形长的因数，又能长方形宽的因数，也就是长方形长和宽的公因数。而正方形的边长又要尽可能大，阿，这道题实际上就是在求2703和1113的最大公因数。可以用辗转相除法来求。 天天可真会分析！没错，就是求2703和1113的最大公因数。今天老师带你们用画图的方法来解决这个问题，请看视频，并思考这个过程跟辗转相除法有什么关系？ 看一看 （此视频录自腾讯视频） 视频中聪聪说159是477、1113和2073的公因数，这句话你们能理解吗？为什么这样画出来后，就能说159是2073和1113的公因数了呢？ 477里面有3个159，所以477能被159整除；1113里面有2个447和1个159，477能被159整除，159也能被159整除，所以1113也一能被159整除；2703里面有2个1113和1个477，1113能被159整除，477能被159整除，所以2703也一定能被159整除。因此证明159是1113和2703的公因数，而且是最大。 美美分析得真是太有道理了！老师把你的说得意思画下来，就是下图。 从上图中是不是很直观地看出159是1113和2703的最大公因数了呀！那么这个“画”最大公因数的过程跟辗转相除法有什么关系呢？你有看出来吗？让我们一起来把这个过程用除法算式表示出来看看吧！ 第一步：在长和宽分别是2703和1113的长方形里，2703可以分出2个1113，还余477。 用较大数除以较小数：2703÷1113=2……477 第二步：在长和宽分别是1113和477的长方形里，1113可以分出2个477，还余159。 用除数除以余数：1113÷477=2……159 第三步：在长和宽分别是477和159的长方形里，477刚好可以分出3个159，没有余数。 用除数除以余数：477÷159=3 上面算式，先用较大数除以较小数，如有余数，再依次用除数除以余数，直到余数为0，此时的除数就是最大公因数。这个“画”最大公因数的过程用算式表示就是辗转相除法。 天天、美美，现在你们明白为什么用辗转相除法可以求最大公因数吗？ 小朋友，你们明白了吗？如果没有明白的话，多看几遍视频和分析哦！ 美妙数学天天见，每天进步一点点。亲爱的同学们，今天我们就讲到这里，咱们明天再见！ 参考文献：张天孝主编的《小学数学思维训练》五年级上册； 视频录自陈鑫老师《辗转相除法》中的一个片段。 编辑：陈翚 审核：华晓芳 THE END |
|
|
