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微积分是什么?它能解决什么问题?

2019-09-14  大隆龙

作为一个从事高等数学教育十二年的老教师,我来回答这个问题。希望大家一定要看到最后,我相信你一定会有所收获!谢谢!

微积分是什么?

微积分是微分学和积分学的总称,是《高等数学》的主要内容,是理工科院校学生的必修科目。

微分学主要包括:极限、导数、微分及其应用;

积分学主要包括:不定积分和定积分。

微积分是建立在在实数、函数和极限的基础上的,是近代数学的重要内容。

“微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分。”——冯.诺依曼

关于什么是微积分我已经在之前的回答中有比较详细的介绍,具体内容可在我的动态里查找。

微积分的创立

微积分是由牛顿和莱布尼茨共同创立的。牛顿和莱布尼茨牛顿是分别从不同的方向创立了危机分。莱布尼兹研究方向是求积问题,即计算不规则区域的面积(如曲边形)。牛顿对微积分的研究始于对任意曲线切线问题的研究。莱布尼兹是现有积分后有微分,而牛顿是先有微分再有积分。两个人的研究的入手方向不同,但殊途同归。

微积分的应用

微积分的创立是实际应用驱动的,当我们生产和自然科学所提出的新问题原有的几何和代数无法解决的时候,经过长期的积累微积分就应运而生。那微积分能解决什么问题呢?

物体的瞬时速度和加速度、曲线的切线、曲线长度、不规则图形面积、极值问题.......

1、导数的应用

导数的应用非常广泛,除了教材中两个经典的案列瞬时速度、曲线切线斜率,导数还可以用来研究函数的的性质、证明不等式、洛必达法则计算函数的极限。

从应用的角度,在工农业生产、经济、生活等实际问题中所有优化问题都要用到导数或者偏导数来求解,如利润最大、用料最省、效率最高等问题。

2、微分的应用

导数表示函数相对于自变量的变化快慢程度,而微分表示:当自变量改变量很小时,对应的函数的改变量△y,但△y的表达式往往很复杂,dy是函数增量的线性化,并且当自变量改变量很小的时候有△y≈dy,因此微分通常用近似计算中。

3、积分的应用

积分分为不定积分和定积分,它们是两个不同的数学概念,但牛顿-蓝布尼茨公式把这两个概念联系起来,从而解决了定积分的计算问题。

积分的应用主要是定积分的应用,定积分的本质是“和式的极限”,它能够计算曲边梯形的面积、曲线的弧长、不规则物体的体积、密度不均匀物体的质量、变力做功问题.......

总结

微积分是近代数学中最伟大的成就(没有之一),微积分的发现让数学彻底掌握了连续变化的概念,打破了静止的图像和离散数量的桎梏。微积分是一种极为使用的工具,现实生活中无处不在。我们可以不理解微积分的概念,也可以不会应用微积分,但我们不能否认它的价值。如果实在不明白,那你就问问自己平时走路是走的直线多还是曲线多?是匀速的多还是变速的多?如果你的回答是曲线的、变化的,那么无论是刻画你的运行轨迹还是运行状态都离不开微积分!

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