1.【必修5P46T5改编】在100以内的正整数中有________个能被6整除的数.
2.【2016江苏8已知是等差数列，是其前项和．若，，则的值是．
.【2016辽宁大连双基测试】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为（）
（A）钱（B）钱（C）钱（D）钱.【】设数列是等差数列，其前项和为，若且，则等于()．
A．31B．32C．33D．34中，若，则=.
【经典例题精析】
考点1等差数列的定义、通项公式、基本运算
【1-1】【2016年4月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试】在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？
A．12日B．16日C．8日D．9日
【湖南省郴州市2016届高三第四次教学质量检测】已知为等差数列的前项和,,则等于（）
A．B．C．D．
，若点均在直线上，则数列的前9项和等于（）
A．18B．20C．22D．24
【课本回眸】
等差数列的有关概念
定义：项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.
2.等差数列的通项公式：；
说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列，为递减数列.
3.等差中项的概念：
定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中.
，，成等差数列.
4.等差数列的前和的求和公式：.
5.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．
1．等差数列的四种判断方法
(1)定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；
(2)等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列(3)通项公式：(为常数)?是等差数列(4)前项和公式：(为常数)?是等差数列(5)是等差数列是等差数列．用方程思想和化归思想
在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为等基本量，通过建立方程(组)获得解．等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．；
四个数成等差数列，一般设为.
这对已知和,求数列各项,运算很方便.
4．若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用验证即可．
等差数列的前n项和公式
若已知首项和末项，则，或等差数列{an}的首项是，公差是，则其前项和公式为.【变式探究】【厦门外国语学校2016届高三适应性考试】已知公差不为0的等差数列满足，为数列的前项和，则的值为（）
A.B. C.2 D.3
设等差数列的前项和为，，数列的
前项和为，满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式及数列的前项和；
（Ⅱ）判断数列是否为等比数列？并说明理由.
考点2等差数列的性质
中，已知，则=（）
A．B．C．D．
【2-2】【山西晋城市2016届高三下学期第三次模拟考试】已知数列、均为等差数列,满足,则．【】在等差数列中，若，则的值为（）
A．B．C．D．
中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列，如：，，，，……；，，，，……；
（3）在等差数列中，对任意，，，；
（4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项.
（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.
（6）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列．
（7）若数列是等差数列,则仍为等差数列．
2．设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①；②；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)②.
3.,则,.
4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．
若与为等差数列，且前项和分别为与，则n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．
2.等差数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用,故应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．n项和公式．
4.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略.
【变式探究】已知各项都不相等的等差数列，满足，且，则数列项中的最大值为．
【2016年江西省四校高三一模测试】已知数列是等比数列，数列是等差数列，若,则的值是（）
A.1B.C.D.
项和公式的综合应用，等差数列最值
【3-1】【【2016年江西师大附中鹰潭一中联考】已知等差数列的前项和为，满足，且，则中最大的是（）
A． B． C． D．【2016海南中学考前模拟】一弹性小球从100高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下，设它第次着地时，共经过了，则当时，有（）
A．的最小值为100B．的最大值为400C．D．
等差数列的前n项和公式
若已知首项和末项，则，或等差数列{an}的首项是，公差是，则其前项和公式为.等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前n项和有最小值．时为递减数列，且当时前n项和有最大值．
求等差数列前项和的最值，常用的方法：
利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）当，满足的项数使得取最大值(2)当，时，满足的项数使得取最小值.
利用等差数列的前n项和(为常数)为二次函数，通过配方或借助图像二次函数的性质的方法求解,递增；，递减）；
3.利用数列中最大项和最小项的求法求最项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有等差数列的前n项和，利用数列中最大项和最小项的求法在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.
【变式探究】满足，公差，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，求该数列首项的取值范围（）
B.C.D.
【变式二】【2014高考江西卷第13题】在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_________.
三、易错试题常警惕
易错典例：在等差数列中，已知a1＝20，前n项和为，且S10＝S15，求当n取何值时，有最大值，并求出它的最大值．
数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题
1．等差数列的前n项和与函数的关系
等差数列的前n项和公式为Sn＝na1＋d可变形为Sn＝n2＋n，令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn.
当A≠0，即d≠0时，Sn是关于n的二次函数，(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上，为抛物线y＝Ax2＋Bx上一群孤立的点．利用此性质可解决前n项和Sn的最值问题．
2．等差数列前n项和的最值
(1)若等差数列的首项a1>0，公差d<0，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n项和有最大值，且满足
(2)若等差数列的首项a1<0，公差d>0，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n项和有最小值，且满足
3．求等差数列前n项和的最值的方法
(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意nN.
(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．
(3)项的符号法：当a1>0，d<0时，满足的项数n，使Sn取最大值；当a1<0，d>0时，满足的项数n，使Sn取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使Sn取最值的n有两个．2016·郑州联考已知是一个等差数列，且.
(1)求的通项；(2)求的前n项和的最大值．
【课前小测摸底细】
1.【必修5P46T5改编】在100以内的正整数中有________个能被6整除的数.
【答案】【解析】，则，得.由，即，则在100以内有16个被6整除的数.
2.【2016江苏8已知是等差数列，是其前项和．若，，则的值是．
【答案】
【解析】设公差为，则由题意可得，解得，则．
3.【2016辽宁大连双基测试】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为（）
（A）钱（B）钱（C）钱（D）钱
【答案】B
.【】设数列是等差数列，其前项和为，若且，则等于()．
A．31B．32C．33D．34
【答案】
5.【改编自2015高考广东，理10】在等差数列中，若，则=.
【答案】
【解析】是等差数列，所以，即，故应填入
【考点深度剖析】
等差数列的性质、通项公式和前n项和公式构成等差数列的重要内容，在历届高考中必考．经常以选择题、填空题形式出现．
【经典例题精析】
考点1等差数列的定义、通项公式、基本运算
【1-1】【2016年4月湖北省七市（州）教科研协作体高三联合考试】在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？
A．12日B．16日C．8日D．9日
【答案】D
【解析】
【湖南省郴州市2016届高三第四次教学质量检测】已知为等差数列的前项和,,则等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意，得，解得，所以，故选B．
，若点均在直线上，则数列的前9项和等于（）
A．18B．20C．22D．24
【答案】A
综合点评：前四个题是等差数列的判断,第五个题是等差数列5个基本量问题,在判断一个数列是否为等差数列时，应该根据已知条件灵活选用不同的方法，一般是先建立与的关系式或递推关系式，表示出，然后验证其是否为一个与无关的常数和的方程组来处理.
【课本回眸】
等差数列的有关概念
定义：项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.
2.等差数列的通项公式：；
说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列，为递减数列.
3.等差中项的概念：
定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中.
，，成等差数列.
4.等差数列的前和的求和公式：.
5.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．
1．等差数列的四种判断方法
(1)定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；
(2)等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列(3)通项公式：(为常数)?是等差数列(4)前项和公式：(为常数)?是等差数列(5)是等差数列是等差数列．用方程思想和化归思想
在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为等基本量，通过建立方程(组)获得解．等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．；
四个数成等差数列，一般设为.
这对已知和,求数列各项,运算很方便.
4．若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用验证即可．
等差数列的前n项和公式
若已知首项和末项，则，或等差数列{an}的首项是，公差是，则其前项和公式为.【变式探究】【厦门外国语学校2016届高三适应性考试】已知公差不为0的等差数列满足，为数列的前项和，则的值为（）
A. B. C.2 D.3
【答案】C
【解析】
试题分析：由可得,因,故应选C.
设等差数列的前项和为，，数列的
前项和为，满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式及数列的前项和；
（Ⅱ）判断数列是否为等比数列？并说明理由.
【答案】（I），；（II）数列不是等比数列
【解析】
试题解析：（I）设数列的公差为，由.
又解得，，
因此的通项公式是，
所以，
从而前项的和为
.
（II）因为，，.当时，；
当时，；
所以（．若是等比数列，则有，而，所以与矛盾，
故数列不是等比数列．
考点2等差数列的性质
中，已知，则=（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以由等差数列的性质，得，
所以=，选C.
【2-2】【山西晋城市2016届高三下学期第三次模拟考试】已知数列、均为等差数列,满足,则．
【答案】
【解析】
【】在等差数列中，若，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】A
中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列，如：，，，，……；，，，，……；
（3）在等差数列中，对任意，，，；
（4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项.
（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.
（6）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列．
（7）若数列是等差数列,则仍为等差数列．
2．设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①；②；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)②.
3.,则,.
4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．
若与为等差数列，且前项和分别为与，则n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．
2.等差数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用,故应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．n项和公式．
4.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略.
【变式探究】已知各项都不相等的等差数列，满足，且，则数列项中的最大值为．
【答案】6
【解析】
【2016年江西省四校高三一模测试】已知数列是等比数列，数列是等差数列，若,则的值是（）
A.1B.C.D.
【答案】D
【解析】
试题分析：数列是等比数列，数列是等差数列，，且,
项和公式的综合应用，等差数列最值
【3-1】【【2016年江西师大附中鹰潭一中联考】已知等差数列的前项和为，满足，且，则中最大的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
等差数列的前项和为，数列是等比数列，且满足，，，数列的前项和，若对一切正整数都成立，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
试题分析：设公差为，公比为，由，有，再由，有，所以，，用错位相减法求：，，两式相减得
，故.
【2016海南中学考前模拟】一弹性小球从100高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下，设它第次着地时，共经过了，则当时，有（）
A．的最小值为100B．的最大值为400
C．D．
【答案】C
审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，等差数列的前n项和公式
若已知首项和末项，则，或等差数列{an}的首项是，公差是，则其前项和公式为.等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前n项和有最小值．时为递减数列，且当时前n项和有最大值．
求等差数列前项和的最值，常用的方法：
利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）当，满足的项数使得取最大值(2)当，时，满足的项数使得取最小值.
利用等差数列的前n项和(为常数)为二次函数，通过配方或借助图像二次函数的性质的方法求解,递增；，递减）；
3.利用数列中最大项和最小项的求法求最项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有等差数列的前n项和，利用数列中最大项和最小项的求法在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.
【变式探究】满足，公差，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，求该数列首项的取值范围（）
B.C.D.
【答案】C
【解析】由等差数列的性质，得，
【变式二】【2014高考江西卷第13题】在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_________.
【答案】
【解析】由题意得：，所以，即
三、易错试题常警惕
易错典例：在等差数列中，已知a1＝20，前n项和为，且S10＝S15，求当n取何值时，有最大值，并求出它的最大值．
【错解一】设公差为d，∵S10＝S15，∴10×20＋d＝15×20＋d.得d＝－，an＝20－(n－1)·.
当an＞0时，20－(n－1)·＞0，∴n＜13.∴n＝12时，Sn最大，S12＝12×20＋×＝130.
当n＝12时，Sn有最大值S12＝130.
【错解二】由a1＝20，S10＝S15，解得公差d＝－，令
由①得n＜13，由②得n≥12，∴n＝12时，Sn有最大值S12＝130.
易错分析：错解一中仅解不等式an＞0不能保证Sn最大，也可能an＋1＞0，应有an≥0且an＋1≤0.
错解二中仅解an＋1≤0也不能保证Sn最大，也可能an≤0，应保证an≥0才行．
正确解析：解法一：∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋d＝15×20＋d.∴d＝－.
∴an＝20＋(n－1)×＝－n＋.∴a13＝0.即当n≤12时，an＞0，n≥14时，an＜0.
∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.
解法二：同解法一，求得d＝－，∴Sn＝20n＋·＝－n2＋n
＝－＋.∵n∈N，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.
解法三：同解法一，求得d＝－，又由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，
∴5a13＝0，即a13＝0.又a1＞0，∴a1，a2，…，a12均为正数．而a14及以后各项均为负数，
∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.
温馨提醒：1.解决等差数列前n项和最值问题时一般利用通项不等式组法，即①当a1＞0，d＜0时，Sn最大?；②当a1＜0，d＞0时，Sn最小?.2.在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴的远近而定．
3.等差数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．
数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题
1．等差数列的前n项和与函数的关系
等差数列的前n项和公式为Sn＝na1＋d可变形为Sn＝n2＋n，令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn.
当A≠0，即d≠0时，Sn是关于n的二次函数，(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上，为抛物线y＝Ax2＋Bx上一群孤立的点．利用此性质可解决前n项和Sn的最值问题．
2．等差数列前n项和的最值
(1)若等差数列的首项a1>0，公差d<0，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n项和有最大值，且满足
(2)若等差数列的首项a1<0，公差d>0，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n项和有最小值，且满足
3．求等差数列前n项和的最值的方法
(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意nN.
(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．
(3)项的符号法：当a1>0，d<0时，满足的项数n，使Sn取最大值；当a1<0，d>0时，满足的项数n，使Sn取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使Sn取最值的n有两个．2016·郑州联考已知是一个等差数列，且.
(1)求的通项；
(2)求的前n项和的最大值．
；（2）取到最大值4.
【解析】
(2)解法一：因为，所以n＝2时，取到最大值4.
解法二：因为，由数列的特点知，项由正变负，
故前若干正数项的和为的最大值，
于是
所以n＝2.
故的最大值为S2＝a1＋a2＝3＋1＝4.
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