解法赏析｜一类双根式无理方程的求解思路

今天，想分享一个无理方程。

其实今天分享这个，源于今年高考题的选考题。

听很多的同学说，今年选考的“极坐标和参数方程”题，消元太难了。

其实，总觉得不是消元太难了，而是大家对数学的基本技能和思维理解、领悟的太少了。

但这些东西，又恰恰是重要的。

就象下面这种方程的求解。

在做任何题之前，首先要坚持的，一定是解题的一些基本规则。

可能解题的方法有不同，但基本原则总是不会改变的。比如代数式的变形：

多元的要消元

高次的要降幂

有分母的要去分母

有根号的要去根号

……

象是这种无理方程，首先要考虑的便 是如何消除根号，将它变为常规的有理方程或三角方程。

因此，我们就要围绕如何消去根号想办法了。

当然，那你首先就要掌握去根号的一些常规手段。

消根号之乘方

其实，看到这个方程，我首先就想起了椭圆标准方程的化简过程，所以，我就类比的先试了下乘方法。

其实，这个过程也远比想象的要简单。

所以有时，尝试，就是最好的行动。

什么君子动口不动手的说法，很多时候都是懒人的说辞。

消根号之换元

记得以前在求双根式函数的值域里，就提到过换元法消根号的思想，其实说白了，就是整体替换。

所以这里也试了下。别说，效果也比想象的要好的多，只是对代数式的变形、整理的能力要求稍高了些。

有些老师口中的”万能k法“，其时说的就是整体替换的思想。毕竟，用一个字母代替了整个的代数式，确实是让式子简洁了不少吧。

消根号之配方

消根号的第三种方法便是配方了，所以我也尝试了下配方。

但因为被开方式并不能配成完全平方，所以中途就做了点调整，将根号下的代数式做成了平方和。

其实，代数问题如果从代数的角度思考，山穷水尽之时，想到寻找它的几何意义，也是无可厚非的。

当然，根式的几何意义首先想到的当是两点间的距离了。

所以，我就通过配方构造了几个点。

构造方程组

记得很久很久之前，讲函数单调性的判断时，就曾说过，中学阶段代数式变形的主要方式除了配方和因式分解，遇到根式时，是一定要考虑下有理化的。

有时，无理式的有理化，有时甚至有起死回生的作用。

当然，这里的有理化包含分母有理化和分子有理化。

构造几何图形

不过，因为根式下是关于三角函数的一次式，所以还有一种极特别的构造，便是利用余弦定理的结构特征，构造三角形。

当然，这种方法就属于技巧性处理，想不到当属正常，是不必纠结的，

代数变形

代数式的变形，应当是数学解题的关键所在，但因为变形技巧与方法的灵活多变，实际操作的时候就很难把握了。

葛军就说，现在的高考数学考试，不是越来越难，而是越来越容易了。才导致了区分度低，使得每一分的重要程度加大了。

就象今年消元法的考查，难度在哪呢？但却让很多的同学吃了亏。这也只能是说明，现在的学生，题海战太多了，多到应试已经机械化。

平时都没了思维，考试又哪会有灵感呢。

所以才会有“换了个碗”的说法吧？但其实，汤可能都没换呢，只是应考人的心乱了而已。