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注：本文原载于《数学传播》1983年第26期，电子版见 https://web.math./math_media/d72/7220.pdf 感谢《数学传播》授权转载。 作者康明昌教授任教于台湾大学数学系，曾担任系主任，专长代数，关注数学史。他的主页是http://www.math.ntu.edu.tw/~kang/ 前言 我教微积分的时候，经常有学生要求我介绍几本数学书，让他们在寒暑假期间阅读。每次我总是建议他们看高木贞治的《近世数学史谈》（以下简称《史谈》）。后来我才发现这本书似乎已经绝版了（注：高教社“数学概览”丛书将出版中译本）。这更促使我要找个机会介绍这本书，看看能不能因此提起书局重印这本书的意愿，或者鼓励别人重译这本书，甚至是激发数学界的朋友写一本类似《史谈》的书。Struik的《数学简史》也是讨论数学史的名作。这本书在1948年出版，1967年修订第三版，曾有十几种不同语言的翻译本，其中包括1956年在大陆出版的中译本（见原书第三版序言）【注：目前大陆已经有第四版的中译本】。台湾的读者迟到今天才能看到吴定远先生的译本，真使我们又欣慰又惭愧。因此我也想介绍这本书，盼望它能很快的普及起来。值得一提的是，这两本书都很薄，《史谈》有170页，《数学简史》有270页。而其内容的丰富恰与其页数成非常强烈的对比。《史谈》的作者高木贞治(1875-1960年)是东京帝国大学的教授，《数学简史》的作者Struik(1894-2000)是麻省理工学院的教授，两位作者的数学研究工作都极为出色，高木贞治研究代数数论，Struik研究微分几何。尤其是高木贞治，称得上一代宗师，他在类域论的研究有决定性的贡献，他的成就在数学史留下永恒的痕迹 。 一 《史谈》的主要目的是介绍十九世纪上半世纪的数学家及其贡献。C. F Gauss(高斯，1777-1855年)与N. H Abel(1802-1829年)是其主角，而椭圆函数是贯穿全书的一根轴线 。高木贞治从Gauss怎样解决圆的十七等分问题，进而讨论求双纽线周长的问题与双纽线的五等分问题，椭圆积分与椭圆函数就此登场。Gauss, Abel, C. G. J. Jacobi(1804-1851年)的风云际会成为近世数学史最雄伟的场面之一。不过，椭圆函数的完整理论还有赖B. Riemann(1826-1866年)与K. Weierstrass( 1815-1891年)的整理。 《史谈》详细的介绍Gauss与Abel的生平、个性及其在椭圆函数理论的贡献。高木贞治没有忘记随时加上生动而且重要的时代背景的说明。可能的话，他还补充一些隽永的故事，不是道听途说的轶事，而是从Gauss 的《数学日记》，Jacobi的全集，A. L. Cauchy(1789-1851年)的全集，Abel的全集撷取而来的故事。 此外，高木贞治还介绍同时代的数学和数学家，例如： (1)巴黎的工艺学校。 主要是取材自Jacobi全集第七卷的一篇演讲。Jacobi是第一个在德国大学取得教职的犹太人，也是一个激进派，他对法国大革命的历史与意义当然是了如指掌的。 巴黎工艺学校 工艺学校创校于1794年，恐怖时代结束不久。当时法国急需大量的工程师，从事船舰、道路、采矿、火药、大炮的制造，因此决定创立工艺学校。工艺学校非常重视数学的训练。工艺学校在数学的贡献上主要有三点：一、培养一批第一流的数学家；二、改变数学家的角色，使他们在研究之外，还负上教学的责任；三、鼓励专业数学家出版优秀的讲义与教科书，如Monge的《Geometrie descriptive》与《Feuilles d'analyse》，Lagrange的《Theorie des fonctions analytiques》,Legendre的《Elements des geometrie》，Cauchy的《Cours d'analyse》 。 (2)工艺学校的数学家，包括老师与学生J. L. Lagrange(1736-1813年)，G. Monge(1746-1818年), S. Poisson(1781-1840年)，J. Fourier(1768-1830年)， Cauchy, V. Poncelet(1788-1867年)。 由于Lagrange 经常被看做十八世纪的数学家，《史谈》没有深入的讨论他。 Lagrange 与 Monge Monge 是工艺学校的校长，雅各宾党(Jacobin Club) 的副主席，革命政府的海军部长，又是拿破仑时代的上议院议长。Monge 多采多姿的一生，《史谈》实在应该为他多花费一些笔墨，因为他具备卓越的行政才能与辉煌的研究成果，同时又是一个谆谆善诱的教师。 (3)E. Galois(1811-1832年) Galois求出五次或五次以上方程有根式解的充分必要条件 。Galois在二十一岁时死于决斗。 Galois (4)A．L． Crelle(1780-1855年) 他虽然不是一个顶尖的数学家，他和他创办的杂志却为当时德国数学的发展做出最大的贡献。 (5)Jacobi 与P. G. L. Dirichlet(1805-1859年) 很可惜，描写Jacobi 的份量不够，甚至不如为Cauchy 的详细。高木贞治也察觉到这个缺憾。 (6)三个几何学家，使用解析方法的A. F. Mobius(1790-1868年)与J. Plucker(1801-1868年)，使用综合方法的J. Steiner(1796-1863年)。 《史谈》的作者显然不满足于仅仅列一张人名与定理的清单给读者，他还想在最低限度下介绍数学的内容。因此，读者在这里可以学到一点椭圆函数的基本概念，可以了解数论怎样在Cauchy 的手中逐步发展出来。念过微积分的人可能会对于讨论级数的收敛发散感到厌烦，请看看《史谈》第110-115,151-153页，历史会告诉你，这些啰啰嗦嗦的讨论在十九世纪初期是如何重要。 看过《史谈》的读者可能会惊讶的问：“这就是近世数学最重要的一页吗？椭圆函数是什么？为什么我一点儿也不知道？”我的答覆是，一点儿也不错，这正是近世数学最重要的一个环节，直到现在还是如此。我可以举德国大数学家F. Klein(1849-1925年)的一段话做为佐证。Klein说：“在我的学生时代，由于Jacobi学派的影响，Abel函数的理论毫无疑问的被认为是当代数学的颠峰，每一个学生都想在这个领域奋勇前进。” 如果把高木贞治的《史谈》比做一篇史诗，歌颂十九世纪的英雄和他们的事迹，那么Struik 的《数学简史》就是一本清澈澄明的哲学巨著，它像一把明亮锋利的刀子，冷静而且不带感情的剖析每一个时代的数学。 《数学简史》的时间从浑沌初开的人类讲到十九世纪结束为止。它除了讨论西方(欧洲与希腊)的数学发展，Struik 还想兼顾到阿拉伯、印度、中国的数学。可以说，这是一本简明而且完整的数学史。 《数学简史》 翻一翻这本书的目录:数学的开端，古东方，希腊，希腊社会衰落后的东方，西欧数学的开端，十七世纪，十八世纪，十九世纪。就可略知著者的野心。 可是那一本数学史的书不是这样写的？Struik 这本书究竟有什么特点呢？我暂且举几件事说明一下： 一、Struik把握住每一个时代最重要的数学概念，并且强调这些概念是怎样从上一个时代演化而来，怎样影响下一个时代的数学发展。这个特点在讨论希腊数学与十七世纪数学时尤其突出。 《数学简史》对于重要的数学家的全部贡献都有扼要而且权威性的叙述。这是《史谈》无法比拟的。在高木贞治笔下的Gauss，我们几乎只看到数论;Struik却告诉我们，除了数论和代数基本定理之外，Gauss也研究过天文学、电磁学、特殊函数、微分几何。Struik大概认为他有责任替每一个数学家做一个盖棺定论，因此他观察的角度非常全面，他的结论也很慎重。 正因为Struik是以做史笔的心情来写作的，《数学简史》不会像某些美国式的数学史书籍给人一种轻佻或滥情的感觉，Struik的文笔是严谨而且庄重。 二、Struik把数学的发展看做人类文明史的一都分，因此他非常注意社会的组织和社会的活动如何促进或如何阻碍数学的发展。 在希腊时期与文艺复兴时代，他非常详尽的讨论贸易、天文、航海业、测量术、保险业如何促进数学的发展。他没有忘记印刷术的发明对人类的贡献。 Struik认为，集约式农业仰赖精密的天文知识，因此促进数学的发展;粗放式农业(如罗马帝国)则否。他还认为，农业为主的社会只能发展出算术或代数的知识，几何的理论就要依赖贸易城邦的社会来完成。他举个例子，十五、十六世纪由于商业迅速的发达，意大利各城市流行一种“计算热”(见《数学简史》第110页)，这正好是三次与四次方程解法发现的时代。 但是Struik并不迂腐，他不是偏执狂，他非常尊重事实。他完全意识到社会环境对数学发展具有某些支配力，可是他指出:“十九世纪数学的丰收并不是新的工业所引发的技术问题而造成的;科学与实用的关连并未完全断绝，不过常常变得模糊。”(见《数学简史》第193页) 因此Struik留下一个问题：“是什么原因促使十九世纪或二十世纪的数学蓬勃发展？”他不愿提出他自己的看法，他只提供一些背景说明。 三、Struik不只注意到数学知识的发展，他还注意到传播知识的形式如何改变。 以传播知识的场所而言，十七世纪的大学，如Bologna大学，是传播新知识的大本营;然后大学的进步角色被学术团体取代，英国的皇家学会、法国科学院应运而生; 在法国大革命时代，工艺学校及其仿效者(如高等师范学校、柏林大学)又变成时代的前锋。 以传播知识的书籍而言，十九世纪以前大部分是专家的论著，十九世纪时工艺学校式的讲义却风行一时。有趣的是，二十世纪轮到N. Bourbaki式硬绑绑的“定义-定理-引理”的书籍流行起来。 以传播知识的语言而言，十九世纪以前大部分使用拉丁文，十九世纪以后则使用各国的语言。这正好反映民族国家的兴起。 四、Struik在《数学简史》第367-269页谈到D. Hilbert(1862-1943年)在国际数学会提出的二十三个问题，揭开二十世纪数学的序幕。 其实，Struik如果能够在最后一节讨论S. Lie(1842-1899年)、H. Poincaré (1854-1912年)与D. Hilbert 对二十世纪数学的影响，可能是篇很好的谢幕辞，并且读者对二十世纪数学也会有一个初步但是比较完整的认识。 我不禁想要把这两本书和另外两本书作个比较。这两本书是 F. Klein:《数学在19世纪的发展》。 M. Kline :《古今数学思想》。 同样的，两位作者都是学有专精的数学家。尤其是F. Klein，他是十九世纪末期德国最重要的数学家之一 。 很明显的，《史谈》受了F. Klein很深的影响，而《数学简史》则予M. Kline不少影响。 F. Klein 与M. Kline 的书显然都非常详细——比较这四本书的页数就可知道。可是我仍然较愿推荐《史谈》与《数学简史》给一般读者。 要完全欣赏《史谈》可能需要具备复变函数论的知识。可是一般读者(高中程度以上)如果在某些地方不求甚解的话，他仍然可以从《史谈》得到许多益处，许多启发。高木贞治的笔触是非常轻快的，他讲的故事又那么有趣，我相信，即使是不喜欢数学的人都会欣赏高木贞治这本书。 但要看得懂F. Klein 的书，保守的估计，至少要受完大学四年数学系的训练。此外，还要有耐心，否则会半途而废。F. Klein 的书几乎是把十九世纪主要的数学流派的来龙去脉交代得清清楚楚。有不少地方，例如代数曲线的分类，读者可能无法卒读。不过我非常鼓励数学系的学生好好的看F. Klein 这本书。凭良心说，大学四年的训练实在相当有限，F. Klein 这本书可以使你大开眼界。 《数学简史》是一本完整的历史。高中程度以上的任何人都可以看，至少会增广你的见闻。话虽这么讲，读者如果没有相当的数学训练，许多数学名词(如三体问题, 理想分解, 四次剩余) 对他有什么意义？他对这些数学家如何能产生亲切感？我的经验是，只要具备微积分的基础应该可以不太费力的看到倒数第二章《十八世纪》，并且会有不少收获。至于最后一章《十九世纪》，如果能找人解释一些基本的概念，相信对于读者会有很大的帮助。我推荐这本书给一般读者（高中程度以上），它提供你一个完整的数学史的轮廓，它不强调天才或某些数学家怪诞的行为，它告诉你：数学是人类社会活动的产物。 M. Kline 的书简直是一本百科全书。正因为它太详尽了，一般读者可能会抓不到重点。如果读者对数学史已经有一个通盘的了解，这倒是一本非常方便的参考书。例如，假使你想知道射影几何发展的经过，这里就有一章专门讨论射影几何。数学老师如果想查一些比较详尽的数学史的资料，M. Kline 的书可能是非常适合的。 写数学史的作者通常会碰到一个两难的境地：怎样写数学呢？你是把理想分解当做一个不加解释的名词，摆在那里让读者自已去揣摩呢，还是从Fermat 问题开始，讨论因子分解的唯一性，再介绍E. E. Kummer(1810-1893年)如何提出理想分解的概念呢？Struik 采取第一个做法，不做太深入的解释。高木贞治、F. Klein、M. Kline 差不多是采取第二个做法。采取第二个做法时，如果讲解得不够透彻，不懂的读者还是不懂——可能会更沮丧。这也是这三本书不太容易看的一个原因。在这一点，《史谈》处理得最成功，一方面可能是高木贞治在这方面下过功夫，另一面是《史谈》的篇幅最短，在读者的兴趣还没有完全被耗尽之前，他已经看完这本书了。 二 这两本书有不少有趣的地方，虽然无关宏旨，我聊且列出数则，以供参考。 一、我有时候想，如果I. Newton(牛顿，1642-1727年)和现在的大一学生一起念微积分，他的成绩不见得就会如何出色，因为他虽然会微积分，可是现在的微积分课程在讲微分之前，先讲了许多基础知识（如连续性、极限、实数系、集合的符号），这些预备知识通常是很无趣的，Newton能不能忍受这种“热身运动”，我不敢说。 同样的情形，高中学生在学不等式、指数函数、对称式，这些真刀实枪的材料之前，要先玩够了逻辑语句、De Morgan 法则、加法交换律、结合律这些观念，也令人非常迷惑。 《数学简史》第12页引了一段A. Speiser 的话，实在发人深省： 基础数学很明显的越来越枯燥乏味，这种倾向可以说明为何它直到晚近才为人加以研究，因为有创意的数学家比较喜欢研究有趣而又美妙的问题。 二、某些业余的数学家最喜欢研究一些可以一鸣惊人的问题，例如， 最近还有人声称解出三等分角的问题。我并不是说古希腊几何三大问题没有意义，不值得研究；事实上这些问题引出超越数理论，从十九世纪中期到现在，这种理论的研究一直是数论研究上非常活跃、非常重要的一支。可是这些研究三等分角问题的先生却不是采取这种高等的观点。从几何三大问题，他们并没有走到另一个重要的数学领域；在方法上，他们只沿袭欧氏几何的方法，并无创新之处——如果这种方法可以奏效，几何三大问题早就被Monge或Steiner吃掉了，何况这些问题已经证明是无解的。 Abel也干过这种事。19岁时他相信他解出五次方程式，论文寄到丹麦科学院，却收到如下的答覆(《史谈》第102页)： Abel年纪还轻，即便没能达到目的，我们还是承认他是少见的明敏。我们十分担心他把全副精神投资在这种白费心力的问题。他应该集中心力研究椭圆函数。如此也许可以在数学的大海中摸索到麦哲伦海峡。 三、1826年Abel到巴黎留学，Laplace，Legendre，Cauchy，Poisson，Fourier虽然还健在，巴黎的数学地位已慢慢衰颓，可是这些一代宗师都还志得意满得不得了，忙着互相标榜。Abel却是明眼人，他的巴黎来鸿(《史谈》第118-119页)如果被Lagrange或Monge在九泉看到，工艺学校的这两个守护神恐怕要捶胸顿足，痛哭流涕吧。 读者不妨参考C. Reid写的传记，《希尔伯特》。Hilbert在六十多年后到巴黎游学，当时的德国是一片奋发兴旺的气象，法国除了Poincaré和Picard之外，隐隐约约之中却有老大（编者注：作者是台湾人，老大也许是英雄迟暮的意思）的气氛。风水轮流转吧? 四、《数学简史》第132页有一段话可以使数学家自我陶醉好几天。Struik说： 机械论的哲学家，基于不同的理由，得到一个和柏拉图主义者相同的结论。柏拉图主义者相信宇宙的调和，笛卡尔主义者相信一种基于理性的放诸四海而皆准的法则，两者都发现数学是科学的女王。 五、高木贞治在《史谈》第143页有一段感慨良深的话，数学家中以Gauss算是最幸运了。说他贤明也好，说他独善其身也好，他很少把别人做为对手。做起学问并不随便。他绝不，有意或无意，利用自己的地位谋求个人的利益。 高木先生阅人多矣，在日本的地位也极崇高，居然讲出这么直率这么沉痛的话，他的感触大概是很深吧。 四 大概是必须讨论这两本翻译本的时候了。 我不懂日文，对于《史谈》的翻译问题没有置喙的资格。不过有一些专有名词的翻译是很明显的不妥当。 例如，第142页把Jordan 的名著《Traite des substitution》 译成《交换论》是完全错误的，应该是《置换论》。又如，第159页所谓的“三次曲线的弯曲点”不是常用的名称，应作“反曲点”或”拐点”。在第159页出现“特异切线”这个名词，一般读者大概很难猜出那是什么东西，两位译者如果愿意加一点注解(例如，到《岩波数学百科辞典》查一下)，相信对读者的帮助会很大。 一位数学界的前辈也看过这本中译本。他认为，两位译者既然花了这么多的心血，何不再多加一把劲，把数学内容补充一下，也在专有名词多花点心思？据这位前辈说，高木贞治的笔调是非常诙谐风趣的，两位先生实在应该在中译本的风格多花点心思。 总的来说，这些只不过是小瑕疵。我们还是要十二万分的感谢两位先生，他们替数学界的朋友（从高中生到大学教授）打开一扇窗，让我们沐浴在耀眼的阳光和温煦的春风之中。 当然，我们也不要忘记感谢吴定远先生。他的译笔流畅。在翻译上，我没有发现吴先生犯有重大的错误。除了少数地方的翻译有商榷的余地，这本中译本应该是可以信赖的。吴先生还补充了一些资料，特别用“译注”标明，以便和原著的注释区分。再一次谢谢吴先生的辛劳。 五 现在的数学教育，老师都不讲数学定理背后的故事。这是适当的吗? 常常有一些理工科的朋友问我:“《范氏大代数》已经解决了代数所有的问题。念代数还有什么搞头呢?”也见过一些学了一点集合论或数理逻辑的人大谈数学的本质。 我一点儿也不觉得这些人有什么不对。我只感到惭愧，惭愧我们的社会没有出版足够多的好的书籍启发他们，扩大他们的眼界。他们的意愿其实是好的，他们喜欢数学，尊重知识。我们的社会没有供应足够的养料滋育他们饥渴的心灵。 高木贞治和Struik这两本书应该可以救救急。根本之道，还要大家多写书，多写高素质的书——数学史或一般的数学书籍，高中程度的或大学程度的，所有的书籍都缺乏，只有应付联考的参考书不缺乏。 有人说:“二十世纪的数学呈放射性的发展，数学由许许多多封闭自足的体系构成，这些体系(如群论、点集拓朴、泛函分析)在其公理系统下独立自主的发展。”尤其自二十年代抽象代数在E. Noether(1882-1933年)与E. Artin(1898-1962年)的提倡下，似乎证实了这种看法的可靠性。 数学是由公理决定的吗?数学问题是怎样产生的呢?数学究竟有没有主要的潮流和最重要的目标呢? 我不愿在这里讨论这些巨大无比的问题，我也不相信这些问题的答案是简单的是或不是所能解释清楚的。我只想指出，对历史的透视将非常有助于以上问题的讨论。如果想知道数学的未来，就必须知道它的过去。 我姑且引Hilbert在1900年讲的一段话。他说: 数学是一个有机体，其各部分相互联系。不可分割的完整性是这个有机体具备充沛活力的必要条件。 Hilbert 的话在二十世纪变成完全错误了吗? 抽象代数常遭到各方面的误解。有人说:“抽象代数的诞生使代数学的研究在内容方面独立自主，在方法上由计算变成思考”。关于前者，我建议读者参考C. Chevalley的书《Fundamental concepts of algebra》的序言。关于后者，《史谈》提供一些线索。《史谈》第42-47页告诉我们Gauss是如何的喜欢计算，第150-151页又告诉我们，Dirichlet不喜欢盲目的计算，主张“要思想清楚，直透目标的本质”。请注意，Dirichlet是Gauss的忠实的追随者，R. Dedekind(1831-1916年)是Dirichlet的学生辈，而Dedekind正是抽象代数开山祖师E. Noether最崇拜的数学家。容许我这么说，最精巧的计算常常导致概念性的思维。如果说抽象代数造成计算与思考的对立，倒不如说抽象代数促进它们的融合。 有人说:“数学是因应社会的需要而产生的，二十世纪不应该放弃这个传统，只有有用的数学才值得研究。” 这种理论与应用的争执在历史上似乎从来没有停息过。Gauss说:“高等整数论可以算是目前数学中最上乘的一种。天文学上纵然再有更大的发展，也不会比得上我这次发现高等整数论这般快乐。”(《史谈》第2页)。同书第59页，是工艺学校准备创校时，一位化学家向国民议会的代表吹嘘科学的妙用。《数学简史》第193-194页有一段Jacobi指责Fourier狭隘的功用主义。
要讨论那些数学有没有用，倒不如讨论那些数学是比较有益的。在这里，历史的透视同样的变成极有用的参考资料。 从另一个角度来看，Archimedes(阿基米德，纪元前287-212年)积极的参与Syracuse城的防卫工作，中国历代的数学家多次参与历法的修订，法国大革命时代度量衡的修订就是在Lagrange 、M. Condorcet(1743-1794年)、Monge、Laplace、Legendre等人的手中完成的 。可是今日的数学家似乎越来越退缩到自己的象牙塔里。这是多么强烈的对比。 数学家其实应该多留意数学与其他自然科学、工程学、哲学、经济学、历史的关系 。在教学上，用数学的各种应用来引起学习动机是个好主意，可是其中分寸要如何把握呢? 现在的学生念数学大概只看到一个接一个的定理从眼前列队而过，数学课本变成一间十八般兵器的收藏室，凌乱而且令人头痛。 学生们知道这些兵器往日的雄风吗？他们知道如何正确的使用这些兵器吗？他们有能力铸造新的兵器吗？ 正如高木贞治说的，在复变函数课堂上，上星期教完Taylor 定理，这星期就接着留数定理。学生大概都不知道，两者的发现相去十年之久，并且是留数定理先诞生(《史谈》第88页)。 要使数学课程生动活泼，并且促使学生创造性的学习，教师具备数学史的知识可能是必要的。在这意义之下，我很乐意推荐这两本书。 可惜这两本书只处理到十九世纪。J. Dieudonné 的书《Abrege d'histoire des mathematiques: 1700-1900》，主要目的是讨论十九世纪数学，实际内容却涵盖到二十世纪三十年代数学各种主要部门的发展。如果有人能把它译成中文，那该多么好！ 传播数学，普及大众 欢迎把我们推荐给你身边的朋友 ▼ |
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