这道数学题太难了，多数人只能解答一问，需要数次证明三角形相似

例题：（初中数学综合题）如图，过圆O外一点D作圆的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于点C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为弧BC的中点；

（2）若CF=3，DE·EF=15/4，求EF的长．

今天，数学世界给大家分析一道初中数学综合题，看完此题后，大多数人很快做出了第（1）问，但是几乎没有人求出第（2）问。这题的第（2）问确实有一定难度，如果不有效运用已知条件，肯定是很难做出来的。解本题的关键是灵活运用相似三角形的判定与性质，以及切线的性质。下面，我们就一起来分析这道例题吧！

分析：第（1）问要证明E为弧BC的中点，只要推出两弧所对的圆周角相等就可以了，由于DE与圆O切于点E，就可以连接OE，这是圆中有切线时常作的辅助线。可以得到∠EAD=∠OEA=∠OAE，即可证明结论。

第（2）问要求EF的长，由于已知DE·EF=15/4，可以考虑借助相似得出比例式，求出相关线段的长度。而圆O的半径未知，不妨设圆O的半径为x，可以利用比例式求出半径，进而推出所求线段的长。

解答：（1）证明：连接OE，

∵DE与圆O切于点E，

∴OE⊥DE，

∵AD⊥DE．

∴OE∥AD，

∴∠EAD=∠OEA，

∵∠OEA=∠OAE，

∴∠EAD=∠OAE，（两弧所对的圆周角）

∴E为弧BC的中点.

（2）解：连CE，则∠AEC=90°，

∵DE与圆O切于点E，

∴∠ACE=∠AED，

∵∠EAD=∠CAE，

∴△ADE∽△AEC，

∴DE/AD＝CE/AE，

∵∠EAF=∠CEF，∠F=∠F，

∴△FCE∽△FEA，

∴CE/AE＝CF/EF，EF^2=FC·FA，

∴DE/AD＝CF/EF，即DE·EF=AD·CF，

∵CF=3，DE·EF=15/4，

∴AD=5/4 ，

∵OE∥AD，

∴△AFD∽△OFE，

∴OE/AD＝OF/AF，

设圆O的半径为x，则OE=x，OF=x+3，AF=2x+3，

代入OE/AD＝OF/AF中，化简得8x^2+7x-15=0，

∴x1=1，x2=-15/8 （舍去），

∴AF=5，CF=3，

∵EF^2=FC·FA=15，

∴EF=√15.