基于有限元的接触导线频变阻抗曲线计算



基于有限元的接触导线频变阻抗曲线计算

武伟康，陈剑云

摘 要：为确定接触导线的频变阻抗曲线，满足牵引供电系统中暂态过程计算的需要，本文采用有限元ANSYS Maxwell计算软件，给出了不同型号接触导线交流电阻和内电感随频率变化曲线以及不同标称截面积接触导线等效半径的计算方法。

关键词：接触导线；频变阻抗曲线；等效半径；有限元

0 引言

在电气化铁路牵引供电系统中，接触导线的阻抗值是系统设计的重要参数，直接影响系统的供电能力，同时也决定了继电保护的阻抗特性。一般而言，导线的阻抗值随频率变化，即为频变参数。在基础供电设计中，使用设计手册给出的工频（50 Hz）下的导线阻抗值即可满足供电设计的需求。但是随着对牵引供电系统运营维护要求的提高，谐波监测与抑制、暂态过程分析以及行波故障测距等技术已成为研究热点，显然只有工频阻抗值是远远不够的，宽范围的频变阻抗是供电系统暂态分析的必要基础参数。

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导线阻抗计算的关键是求解导线的内阻抗。内阻抗仅与导线本身的几何形状以及导电率相关，包含内电阻和内电感2部分，其计算的难度在于交流电流的趋肤效应[1，2]，即随着电流频率的升高，导体中的交流电流会趋向导体的边缘，电流密度在导体内呈现非均匀分布，随着频率的升高其内电阻变大，内电感减小。内阻和内感值可以通过贝塞尔微分方程求解获得，由一组包含Kelvin函数的等式给出[3，4]。值得注意的是，求解的前提是导线视为规则圆形截面的圆柱体。

对于接触导线内阻抗的计算，由于该导线具有非圆形的不规则截面，无法套用贝塞尔计算公式。为了解决这一困难，许多文献采用通过导体截面的面积或周长计算出一个等效的半径[5～7]，然后近似代入公式求解的方法，然而该方法存在一定计算误差。文献[6]和[7]采用对导体剖分的方法计算导体的内阻抗，采用均匀的正方形网格对不规则截面导体进行划分，而且前提是假定电流在每一子导体的横截面上呈均匀分布，这明显是不合理的；文献[8]和[9]通过构建等效管状模型求解不规则截面导体的内阻抗，但等效后模型的半径选取仍是需要面临的问题。随着有限元方法（Finite-Element Method）以及相应软件的兴起与广泛应用，非规则截面导体的电磁场计算变得容易实现，理论上可以计算任意形状截面的导体，并通过非均匀网格的剖分获取足够的精度[10～12]。

农业经济管理是一项系统性的工程，需要一支强有力的农业经济管理队伍作为支撑。因此，必须大力开展农业经济管理队伍建设，提高农业经济管理相关人员的综合素质，提高其胜任能力。应对农业经济管理相关人员实施定期教育和培训，深化其对农业经济管理的认识，强化其工作责任感和使命感，提升其政治素养，优化其创新意识及能力，继而以端正的态度开展高水准的农业经济管理工作。

随着我国高速电气化铁路的飞速发展，涌现出许多新型的合金接触导线，国家铁道行业标准（TB/T 2809-2017）[13]中给出各种接触导线的原始数据，包括导线的截面图和合金材料的电导率等。本文采用有限元软件（ANSYS Maxwell）计算各种接触导线0～10 MHz频率范围的频变阻抗特性曲线，为进行系统谐波分析和暂态计算提供基础，同时也计算出接触导线的等效半径，该等效半径是计算导线外电感的必要参数。

1 圆形截面导线内阻抗计算原理及方法

接触导线为非圆形截面的导体，为了便于理解牵引网阻抗计算原理，先讨论圆形截面导线阻抗的计算方法。在牵引供电系统中，牵引网一般由接触线、承力索、钢轨和回流线等多导体构成，导线和导线间有自阻抗和互阻抗，这些自阻抗和互阻抗是进行系统分析时必须考虑的参数。下文讨论第i根导线的自阻抗Zii。Zii是表示单相导线—大地回路电磁感应关系的阻抗，包括3个部分[14]：（1）导线的内阻抗Zc；（2）导线和大地均为理想导体时的回路电感Lii；（3）大地的内阻抗Zg。其表达式为

Zii= jwLii + Zc + Zg （1）

1.1 规则圆截面导线的内阻抗计算

规则圆截面导线的内阻抗计算式为

Zc=Rc + jwLc （2）

式中，Rc和Lc分别为导线的交流电阻和内电感，与导线直流电阻Rd和直流内电感Ld之间有如下关系：

Rc = aRRd = aR （3）

Lc = aLLd = aLaL (H/km) （4）

其中

（5）

（6）

（7）

式中，r为导线半径，m；ω为电流频率，rad/s；s为导线电导率，，r为导线电阻率，W·m；m0为真空磁导率，m0 = 4π·10-4(H/km)；m为导线磁导率，对于非铁磁性材料m = m0。

系数aR，aL为Bessel函数表示，其变量是mr，故而使导线电阻Rc和电感Lc成为与电流频率有关的函数。Bessel函数均有以多项式表达的公式，可于数学手册查出。此外，在进行内阻抗数值计算的过程中，Bessel函数的变量mr可能因高频率、高磁导率、大导线尺寸而出现大参数，从而导致Bessel函数不收敛以及计算结果出现错误。在该情况下，可以采用Bessel函数的多项式近似等方法对计算结果进行修正，并取得较好的结果[6，15]。

1.2 导线和大地均为理想导体时的回路电感计算

导线和大地均为理想导体时回路电感Lii计算式为

(H/km) （8）

式中，ri为导线半径，m；hi为导线对地平均高度，m。

综上，由式（3）—式（8）可以看出，无论是计算导线的内阻抗，还是计算导线和大地均为理想导体时的回路电感，均涉及导线的半径。对于一般规则圆截面导线，其半径比较容易确定。但对于截面形状不规则的导线，首先要确定其计算半径，下文对非规则截面导线内阻抗计算方法及等效半径的确定方法进行分析。

2 非规则导线内阻抗计算原理与方法

若导线截面不是规则的圆形，无相应半径，通常的处理方法是选取与导线等周长或等面积的圆形导体半径作为其计算半径[6，7]。该方法有一定的合理性，但是导体截面形状与圆形状的偏差越大，误差越大，显然采用该方法计算宽频范围的频变阻抗曲线是不可用的。

有限元分析法（FEA）是基于结构力学分析迅速发展起来的一种现代计算方法，是20世纪50年代首先在连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛应用于求解热传导、电磁场、流体力学等问题。ANSYS Maxwell是一个功能强大、结果精确、易于使用的二维/三维电磁场有限元分析软件[10]，可用于静电场、静磁场、时变电场、时变磁场、涡流场、瞬态场和温度场计算等。采用Maxwell软件计算非规则截面导体的内阻抗显然是较好的选择。

采用有限元方法计算非规则截面导体内阻抗需构造的边界条件[10，11]：假定非规则截面导体放置在一个假想的半径为a的圆柱面中，该圆柱面是理想导体，导体与圆柱面构成回路。由于趋肤效应的存在，通常认为导体的电感Lc由2部分构成：磁场在导体外部周围产生的电感，称外电感Lext，以及磁场在导体内部形成的电感，称内电感Lint，即Lc = Lint + Lext。外电感与导体所处的位置、周围环境有关，与电流频率无关。内电感与导体内部电流分布有关，受趋肤效应的影响，它是关于频率的函数，且随着频率的升高，趋肤效应越明显。当频率趋于无穷大时，可认为电流均集中在导体的表面，此时内电感为零，只存在外电感[9]。设非规则截面导线的等效半径为Re，则有

（9）

则 （10）

在海上人命救助中，搜救国为尽速救助海上遇险人员，可能会通过其他国家的领海，而在通过之时也可能会从事定位、搜寻乃至探测等其他活动。[2]这些活动都可能对沿海国的领海安全构成一定的威胁，对沿海国正常在本国领海内从事的生产经营活动带来负面的干扰。基于此，沿海国可根据本国领海主权的排他性，协调并指挥其他搜救船舶无害通过本国的领海[3]，这被称之为由主权而派生出的协调权，其理论范畴尚在本国国内法的宽度之内。

式中，L¥为频率趋于无穷大时导体电感，a为外壳圆柱面的半径。

3 接触导线内阻抗有限元软件计算

3.1 计算模型边界条件设定

3.1.1 绘制接触导线截面图形

地势平缓的山地采用宽窄行打塘点播，规格为55-60 cm，小行为30 cm，塘距为25-30 cm，每亩用种量300 g，每塘播种5-8粒，留苗3-4株，亩有效株13000-16000株。地势较陡的山地采用撒播，亩用种量400-600 g，亩留有效株32000-38000株，前作收获后，于9月15日-10月5日清理地间杂物，深耕细耙，及时抢墒播种。

参照国家铁道行业标准（TB/T 2809-2017），在Auto CAD中绘制接触导线截面图形，接触导线的截面形状为带有悬吊沟槽、合金种类识别沟槽的不规则圆形。根据接触导线的截面形状、角度、尺寸，绘制的CAD图形如图1所示。

图1 不同型号接触导线截面的CAD图形

图1中，不计接触导线合金种类识别沟槽。标称截面积为120 mm2，CAD绘制的截面积S = 120.852 7 mm2；标称截面积为150 mm2，CAD绘制的截面积S = 150.626 5mm2，实际面积与计算截面积的偏差分别为0.122%、0.247%。

3.1.2 建立模型

如图2所示，在ANSYS Maxwell软件中，首先将接触导线截面的CAD图形导入，找到坐标原点后，在接触导线外围任意设置一个可以包裹住的圆，用以设置计算时的边界条件。外圆半径的大小只影响导线的外感计算值，不影响导线的内感计算值，具体见4.3节，本文设定圆的半径为a = 10 mm。

图2 不同型号接触导线截面的ANSYS Maxwell建模图形

3.2 计算参数设置

在ANSYS Maxwell中，计算导体内阻抗的参数设置步骤：图形建立®设置求解器®添加材料属性®设置边界条件®设置激励源®设置网格部分®求解设置®数据导出。建立模型后应先设置求解器，不同场求解器模式下对应的参数选项不同，本文选用涡流场求解器求解导体的交流内阻抗[10]。

根据TB/T 2809-2017标准，新建添加几种典型的接触导线材料属性，如表1所示。在接触导线外围圆的边界上设置狄利克莱边界条件；对应涡流场求解器的激励源类型，选择激励源为电流源，并施加在导体上。在求解设置中，设置用以计算导体内阻抗的频率点，本文设置起始频率点为0.1 Hz，最高频率点为10 MHz，不同频段设置不同的频率间隔，共计127个频率点。

表1 不同型号接触导线的材料属性

参数接触导线型号 CT-120CTA-120CTS-120CTSM-150CTMH-150CTCZ-150 相对介电常数er111111 相对磁导率m r0.999 9910.999 9910.999 9910.999 9910.999 9910.999 991 电导率s/(S·m-1)5.8×1075.8×1075.5×1075.0×1074.0×1074.5×107 质量密度rm/(kg·m-3)8 8908 8908 9208 9208 8908 920

3.3 计算结果

仿真计算完成后，可以选择在计算区域绘制各种类型的场图，对于瞬态磁场，有如矢量磁位A、磁场强度H、磁感应强度B、电流密度J、能量Energy、其他场量Other以及用户自定义场量等，每一种场量又分为矢量图和标量图等选项[10]。图3、图4所示为2种不同规格的接触导线仿真计算结果。

图3 接触导线CT-120的有限元计算结果

图4 接触导线CTSM-150的有限元计算结果

从图3（a）、图4（a）中可以看出，对接触导线的网格剖分呈现出表层密集、内部稀疏的现象，这是由于计算时考虑导体的趋肤效应；从图3（b）、图4（b）可以看出，磁场的分布主要集中在导体的表层，磁场强度向导体内部依次减弱，导体中心最弱，且随着频率的升高，趋肤效应越明显。

孔庆东的解读偏重于揭露鲁迅平民化的一面，这不仅将一个完整、丰富、多维的鲁迅形象展示给大众，同时幽默的语言与故事化的讲述风格让观众感到轻松。但在《百家讲坛》对鲁迅形象进行传播、重构的过程中，仍然存在一些问题。

2.2.2 供试品溶液 精密称取药材样品细粉（过4号筛）50 mg，置于2 mL离心管中，精密加入甲醇1.5 mL，称定质量，超声（功率：250 W，频率：40 kHz，下同）处理30 min，放冷至室温，再次称定质量，用甲醇补足减失的质量，12 000 r/min离心10 min，取上清液，经0.22 μm微孔滤膜滤过，取续滤液，即得。

4 接触导线频变阻抗曲线分析

4.1 直流内阻抗

在计算接触导线直流内阻抗[14]时，ANSYS Maxwell仿真软件计算的起始频率不能从0 Hz开始（当频率为0 Hz时，导线内阻抗即为导体的直流内阻抗）。直流电阻Rd和直流内电感Ld的计算式为

谢里丹风格图案中大面积叶片和花瓣部分压制细纹装饰。从图1可以看出，在叶子中间和花心周围有突起的脊状表现，花径的主线条附近往往有细小的装饰线衬托。这会显得叶子更为立体。花瓣和叶子边缘的处理是用P代号的拇指纹印花工具敲打出来的效果。背景装饰的底纹通常是用小圆点来表现，这些装饰性刀线，使得整体作品更加完善和华丽。

Rd = r / pr2 （11）

Ld = m / 8p （12）

下面给出2种不同型号接触导线CT-120、CTSM-150的直流电阻：

=

1.420×10-4W/m

从 “夏伟诉亚马逊公司擅自删除订单”案的判决看出，该案的主要争议点在于:亚马逊公司提供的“格式条款”是否对夏伟形成了法律约束力。因此，本文将主要围绕两个问题进行探讨：第一，电商平台提供的格式条款在形式和程序上需要受什么规则约束；第二，进一步思考，假设本案中的格式条款订入了合同，那格式条款的内容本身是否会因为更改了《合同法》关于合同成立的规则而产生效力瑕疵？以下将具体展开分析。

=

通过引导学生大量阅读经典，培养人文素养。通过为学生开设英语时事新闻、英美报刊选读、焦点访谈等系列课程，从VOA、BBC、CRI、CNN、NPR、ABC等选取最新教学材料，培养学生关心国家大事，关注国际形势，及时获取信息的能力。在教学中采用以学生为中心的教学方法，启发引导学生思考，注重培养学生批判性思维能力。

1.324×10-4W/m

由于直流内电感只与导体材料的磁导率有关，且对非铁磁材料有m = m0，所以不同型号的接触导线直流内电感均为

= 5×10 -5 H/km

4.2 交流内阻抗

通过对有限元仿真计算结果的分析，得出影响接触导线阻抗仿真计算结果的几个因素：（1）计算趋肤效应透入深度对应的频率f；（2）激励电流源的幅值大小；（3）接触导线的型号。下文对不同影响因素的计算结果进行对比分析。

4.2.1 不同趋肤效应透入深度计算频率下的交流内阻抗计算

综上所述，面对职校学生的现状，职校的每位英语教师，都应考虑到学生的实际，既不妄自菲薄，也不拔苗助长；要设身处地的为学生着想，尊重，爱护学生；积极搭建平台，让学生展示才华；利用任务驱动，激发潜力；关注情感，因材施教。这样，教学氛围定能和谐，学生定能学以致用，有所收获。如此，职业学校的英语教学有望走出一片更为广阔的天地。

图5所示为CT-120导线电流源幅值I = 800 A时内阻抗频变曲线。

由图5可以看出，起始仿真频率f = 0.1 Hz时，Rc = 0.142 7 W/km，Lc = 5.179 8×10-5 H/km，此时的交流内阻抗值和直流内阻抗值很接近，可以看出，对非铁磁材料导体，当频率很低时，趋肤效应不明显，此时可以近似地认为电流呈均匀分布。随着频率的升高，内电感不断减小且最终趋于零，为了更好地呈现内电感随频率变化的趋势，图5（b）中横坐标频率的最大值设定为100 kHz，以下同理。对应图5中的交流内阻抗频变曲线，表2给出了交流内阻抗计算结果的部分数值。

图5 CT-120导线电流源幅值I = 800 A时内阻抗频变曲线

表2 CT-120导线交流内阻抗的部分计算结果

频率/Hz交流电阻/(W·km-1)内电感/ (×10-5H·km-1) 50.142 75.185 7 500.143 35.174 7 5000.189 14.370 7 5 0000.523 31.512 7 50 0001.567 70.462 4 500 0004.867 70.130 6 5 000 00015.182 00.018 6 9 500 00019.480 00.001 2

图6、表3所示分别为CTMH-150导线电流源幅值I = 400 A时内阻抗频变曲线及有限元计算交流内阻抗的部分结果。

自2009年成为校长以来，我先后带领学校经历了合并薄弱校、搬迁校区、增加新校区的挑战，带领学校成功实现了由省一级学校到示范性高中的跨越。初任校长，年轻的我倍感责任与压力。在角色转变中，面对纷繁复杂的学校管理，对“做怎样的教育”“怎样才能做更好的教育”，我感觉迷茫，缺乏信心。而打破这一局面，则是在我成为了广州市优秀校长培训班的一员之后。

图6 CTMH-150导线电流源幅值I = 400 A时内阻抗频变曲线

表3 CTMH-150导线交流内阻抗的部分计算结果

频率/Hz交流电阻/ (W·km-1)内电感/ (×10-5H·km-1) 50.166 05.201 2 500.166 65.193 2 5000.208 74.552 2 5 0000.569 51.637 8 50 0001.701 10.500 5 500 0005.279 80.140 8 5 000 00016.340 00.019 5 9 500 00021.019 00.002 5

4.2.2 不同幅值的电流源激励下交流内阻抗计算

图7、图8及表4所示为不同幅值的电流源激励下交流内阻抗仿真曲线及部分计算结果。

图7 CT-120导线f = 10 kHz时内阻抗频变曲线

图8 CTCZ-150导线f = 10 kHz时内阻抗频变曲线

表4 CTCZ-150导线交流内阻抗的部分计算结果

频率/Hz电阻/(W·km-1)内电感/ (×10-5H·km-1) 50.147 65.195 3 500.148 25.184 3 5000.193 34.418 3 5 0000.534 51.537 3 50 0001.602 10.464 6 500 0004.969 50.125 3 5 000 00015.868 00.017 4 9 500 00021.923 00.002 4

4.2.3 不同型号接触导线的交流内阻抗计算

③-4层中砂(Q3al+pl)：灰白色～灰黄色，局部青灰色，密实，饱和，局部含黏土成分，上部主要为中砂，局部为粉砂；矿物成分以石英、长石为主，磨圆度一般，级配不良；场区普遍分布。

图9、表5、表6所示为不同型号接触导线的交流内阻抗仿真曲线及部分计算结果。

图9 f = 10 kHz，电流源幅值I = 400 A时不同型号接触导线的内阻抗频变曲线

表5 CTS-120导线交流内阻抗的部分计算结果

频率/Hz交流电阻/ (W·km-1)内电感/ (×10-5H·km-1) 50.150 55.183 9 500.151 15.173 9 5000.195 64.429 9 5 0000.538 51.551 9 50 0001.612 00.473 8 500 0004.996 90.132 9 5 000 00015.725 00.019 2 9 500 00020.396 00.001 2

表6 CTSM-150导线交流内阻抗的部分计算结果

频率/Hz交流电阻/ (W·km-1)内电感/ (×10-5H·km-1) 50.132 85.205 0 500.133 55.192 0 5000.181 04.300 0 5 0000.505 11.466 8 50 0001.517 70.448 7 500 0004.713 90.127 3 5 000 00014.659 00.018 0 9 500 00018.648 00.001 1

4.3 接触导线的等效半径

由式（10）可知接触导线的等效半径计算方法，式中包裹接触导线的圆柱面的半径a以及外电感Lext为变量，且外电感Lext随着圆柱面半径a的增大而增大，但计算得到等效半径不会发生变化，仿真计算时也验证了这一点，计算结果见表7。表8给出圆柱面半径a = 10 mm情况下不同型号接触导线的外电感及等效半径计算结果。

表7 CT-120导线的等效半径计算结果

圆柱面的半径a/mm外电感/(×10-5 H·km-1)等效半径Re/mm 109.118 66.338 6 1212.773 06.336 1 1314.375 06.335

表8 不同型号接触导线外电感及等效半径计算结果（a = 10 mm）

接触导线型号外电感/(×10-5 H·km-1)等效半径Re/mm CT-1209.118 66.338 6 CTA-1209.118 66.338 6 CTS-1209.114 16.340 0 CTSM-1506.917 67.078 6 CTMH-1506.913 87.077 3 CTCZ-1506.911 27.078 2

5 结论

本文采用有限元软件ANSYS Maxwell对多种接触导线进行分析计算，给出了0～10 MHz频率范围内接触导线的频变阻抗曲线，包括直流电阻、交流电阻、交流电感、等效半径等。这些曲线和参数可为牵引供电系统时频电磁暂态分析提供基础参数。通过分析计算结果，得出以下结论：

（1）接触导线的交流电阻随频率的升高而增大，内电感随频率的升高而减小，且当频率趋于10 MHz时，可以认为内电感减小到零。

（2）国家铁道行业标准（TB/T 2809-2017）中几种典型的接触导线，标称截面积为120 mm2的接触导线等效半径约为6.34 mm；标称截面积为150 mm2的接触导线等效半径约为7.08 mm，该等效半径参数在导线的自阻抗计算中尤为重要。

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Abstract: In order to determine the frequency-dependent curve for contact wire, meet the requirements for calculation of transient state in traction power supply system, the paper adopts the finite element ANSYS Maxwell calculation software, puts forward the frequency-dependent curve of contact wire resistance and inner inductance as well as the calculation method for equivalent radius of contact wires with different nominal cross section areas.

Key words: Contact wire; frequency-dependent curve; equivalent radius; finite element

DOI：10.19587/j.cnki.1007-936x.2019.02.012

中图分类号：U223.2

文献标识码：A

文章编号：1007-936X(2019)02-0044-07

收稿日期：2018-08-23

作者简介：武伟康.华东交通大学电气工程学院，硕士研究生；

陈剑云.华东交通大学电气工程学院，教授。

基金项目：国家自然科学基金（51467004）。