几何证明辅助线很难，应该如何去思考和分析？

我是中考数学当百荟，从事数学教学三十多年。

针对题主的提问，先厘清一个认识上的误区，再结合具体例子谈如何思考和分析。

一。一个误区

类似问题，在实际工作中，经常有学生和家长问：老师，我（家小孩）不怕几何证明，就怕作辅助线，是怎么回事？

就像一个学美术的人说，我不怕画人体，就是怕画眼睛。

如果把辅助线孤立于具体问题之外，就会以为辅助线是活生生硬作出来的，这是初学者容易产生的认识误区。

在实际教学中，没有哪个老师会孤立地教学生作辅助线。因为辅助线就是“一条线”，画一条线，没有什么难的。况且从本质上说，辅助线本身是客观存在的，画不画它都在，一直在那。只不过在画出来之前，它是隐性的，不可见而已。由隐性变显性，是要有数学思维参与的，是一系列的心理活动。

可见辅助线的问题，重点不在如何画？而在于为什么要这么画？因而，学会具体问题具体分析，理解产生问题的原因，找到解决问题的办法，才是学习的正道。从这个角度来说，辅助线不是作出来的，而是分析出来的！

二。一个例子

举一个大家熟悉的例子吧！

勾股定理的证明。历史上关于勾股定理的证明方法有近五百种之多，这些方法都堪称经典。我们以欧式几何的鼻祖，欧几里得的证明方法为例，来分析其策略和思路，学习他解决问题的机智！

---图1---

如上图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，求证：AC^2+BC^2=AB^2.

欧几里得证明的主要思路分三步：

第一步，从勾股定理结论的结构分析，边的平方，边的平方和。

边的平方，让人很容易联想到正方形的面积；边的平方和，自然就是两个正方形的面积之和。因而，把勾股定理进一步具象化（如图）：两个正方形的面积之和，等于另一个正方形的面积。

看下图2用颜色表示，即：黄+红=绿。

---图2---

在这一过程中，把边的平方具象为正方形，由数（边的平方）到形（正方形），好像只是一小步转换，其实是认识上的一大步（数形结合）！当然，对于本问题来说，这还只是万里长征的第一步。如果仅从添加辅助线的角度来看，这一步要添加三三得九，九条辅助线，才能把“三边”扩充为“三个正方形”。

勾股定理的近500种证法，大多数都是沿用这条思路：先将勾股定理的结论转化为三个正方形的面积之间的关系，再对其中的两个较小的正方形进行分割，使之“填满”较大的正方形，反之亦然。只不过这些方法采用的“分割”和“填充”的方式、方法不同。表面看起来是一种巧合，其实是一种必然。

第二步，落实“分割“的具体想法。

---图3---

• 如上图3，将大正方形沿直角三角形斜边上的高CD所在直线，分割成两个矩形（黄，红）；
• 用颜色相对应，只要说明颜色相同的正方形和矩形面积相等，就说明大正方形（图2的绿色）刚好被两个较小的正方形（黄，红）“填满”；
  

第三步，落实“填充“的具体想法。

---图4---

以说明黄色正方形与黄色矩形面积相等为例。

• 如图4，进一步将黄色正方形与黄色矩形分割成二等分（连对角线A1C,AD1）,只需说明它们的一半（蓝色三角形,△A1AC与△AA2D1）面积相等即可；
  

• 如图5，进而只需证明两个黑色的三角形（△A1AB与△CAA2）全等（SAS可判）即可；

---图5---

因为图5中的两个黑色三角形与图4中两个蓝色三角形分别为夹在两组平行线（BC1//AA1,CD1//AA2）之间，且同底等高，其面积分别相等。

至此，思路打通！

其主要逻辑链条：黑色三角形全等=》黑色三角形等面积

=》蓝色三角形等面积=》黄色正方形与矩形等面积。

采取同样的策略，可以证明红色正方形与红色矩形面积相等。

三。一点反思

从以上的举例可以看出：

1.仅仅从添加辅助线的角度来说，由最开始的一个直角三角形（图1）演变成图6所示的超级复杂的图形，不知添加了多少条线！如果不经过分析明细思路，这些“线”是不可能现出原形的。欧几里得的这种证明方法，迄今已经2000多年，即便在今天，在此时，我们如果不能明白其证明思路，这些辅助线看起来也只能是一团乱麻。

---图6---

所以，既然是辅助线，必然是其辅助作用，在证明过程中是联通条件与结论的桥梁。它不能游离于具体问题之外，也不是凭空产生的，必然来源于具体问题具体分析。

2.在几何证明过程中，添加辅助线本身就是证明过程的一部分。是作平行线还是垂线，是平移还是旋转，添加什么样的“线”，何时添加，这取决于分析问题的能力。所以，与其纠结辅助线的作法，不如回过头来，夯实基本功，多做题，善分析，勤总结。这才是学习几何证明的正道。