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19世纪前半叶，数学上出现几项革命性的成果： 一、几何的变革——非欧几何的发现17世纪，笛卡尔和费马分别独立创立解析几何，将变量引入数学，为微积分的发展铺平了道路，也引起了几何学的代数化，蕴藏了几何本身的深刻变革。几乎同时，由于绘画的需要，射影几何也在悄悄发展，代表是法国的德扎格（1591-1661）和帕斯卡（1623-1662）。 非欧几何的诞生还需要一项铺垫，便是不依赖坐标系的解析几何学——微分几何。自解析几何建立以来，曲线和曲面的研究一方面方便了，因为可以借助于坐标将其代数化，另一方面也复杂化了，因为坐标变化极其麻烦。为此，一方面研究坐标变换手段，另一方面，发展不依赖坐标系的解析几何，曲线曲面的性质不因坐标变换而改变，必然存在变换不变量，这是曲线和曲面的本征性质。那么，关于直线和平面本身性质的微分几何研究，便触及到了欧几里得几何的边缘。 1795年，法国的蒙日（1746-1818）出版了《分析应用于几何的活页论文》一书，成为历史上第一个微分几何教科书，他用微分来表示曲线和曲面的各种性质。1828年，高斯的《关于曲面的一般研究》一文中推广了欧拉的曲率概念，开创了微分几何发展新时代。1829年，罗巴契夫斯基发表《论几何原理》，提出违反第五公设的几何学的可能性，这是历史上第一篇反欧几里得几何文献。自从公元前300年《几何原本》成书以来，其中数千条论断中的任何一条都未曾被推翻过，人们已经习惯于将其当作金科玉律。罗巴契夫斯基创立的非欧几何今天就以他的名字命名。其实在1825年，匈牙利的青年波尔约（1802-1860），便向高斯寄过一篇论文，以简介概括的形式提出了一个完整的、无矛盾的非欧几何体系，到高斯说这问题我30到35年前便已考虑过了，于是不了了之。直到1832年，波尔约的论文才作为其父亲的一本书的附录出版。1854年，黎曼（1826-1866）在哥廷根的就职演说《关于几何基础中的假设》中，推广了空间概念，提出流形及其上的度规，开创了几何学更广阔的领域——黎曼几何学，欧几里得几何和各种非欧几何都是其特例。 非欧几何的出现，改变了人们认为欧氏几何唯一地存在是天经地义的观点。它的革命思想不仅为新几何学开辟了道路，而且是20世纪相对论产生的前奏和准备。非欧几何学的发现还促进了公理方法的深入探讨，研究可以作为基础的概念和原则，分析公理的完全性、相容性和独立性等问题。 二、代数的进化——近代代数的产生首先是1629年，法国数学家吉拉尔在其《代数学新发现》中论述了代数基本定理。此定理已经提出便被笛卡尔、牛顿等众多学者反复陈述和应用，欧拉、拉格朗日等力图证明却未果。直到1876年，高斯在其博士论文中给出了第一个证明。 那么，五次或更高次的代数方程能否给出统一的求根公式呢，就像一二三四次方程那样？这个问题一直悬而未决。拉格朗日在1770年的论述中，提到用根式解四次以上的方程是不可能解决的问题之一，但未能给出证明。1824年，年轻的挪威青年阿贝尔（1802-1829）才迈出关键的一步，但论文《证明一般五次方程的不可解性》被柯西迟迟扣留而不得发表，后者只得自费出版。阿贝尔的论文促使人们思考什么样的方程才是可解的。这一问题被法国青年伽罗瓦（1811-1832）彻底解决，其中，伽罗瓦提出群的概念，成为近世代数的发端。 伽罗瓦 近代代数是相对古典代数来说的，古典代数的内容是以讨论方程的解法为中心的。群论之后，多种代数系统(环、域、格、布尔代数、线性空间等)被建立。这时，代数学的研究对象扩大为向量、矩阵，等等，并渐渐转向代数系统结构本身的研究。1843年，哈密顿发现了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。不可交换代数的出现，改变了人们认为存在与一般的算术代数不同的代数是不可思议的观点。 1872年，克莱因发表著名的《爱尔兰根纲领》，用无限连续变换群对几何学进行分类，受克莱因的影响，李1874年发表《论变换群》，开始建立连续变换群的一般理论，并阐述其在几何/力学/微分方程分类原则中的中心地位。连续群现被称为李群，与伽罗瓦置换群和高斯在数论研究中引入的变换群一起成为抽象群论的重要源头。 三、分析的算术化与集合论的创立自从1821年，柯西出版了《分析教程》以来，微积分的发展便进入了另一个轨道，成了数学分析。 1874年威尔斯特拉斯提出了一个引人注目的例子，要求人们对分析基础作更深刻的理解。他提出了被称为'分析的算术化'的著名设想，实数系本身最先应该严格化，然后分析的所有概念应该由此数系导出。他和后继者们使这个设想基本上得以实现，使今天的全部分析可以从表明实数系特征的一个公设集中逻辑地推导出来。 现代数学家们的研究，远远超出了把实数系作为分析基础的设想。欧几里得几何通过其分析的解释，也可以放在实数系中；如果欧氏几何是相容的，则几何的多数分支是相容的。实数系(或某部分)可以用来解群代数的众多分支；可使大量的代数相容性依赖于实数系的相容性。事实上，可以说：如果实数系是相容的，则现存的全部数学也是相容的。 19世纪后期，由于戴德金（实数定义：戴德金分割，《连续性和无理数》）、康托（论实数定义和超限数，《一般集合论基础》）和皮亚诺的工作，这些数学基础已经建立在更简单、更基础的自然数系之上。即他们证明了实数系(由此导出多种数学)能从确立自然数系的公设集中导出。 20世纪初期，证明了自然数可用集合论概念来定义，因而各种数学能以集合论为基础来讲述。 此外，达朗贝尔的弦振动方程，欧拉的常微分方程，拉格朗日的变分法，阿贝尔的椭圆函数积分，以及庞加莱的微分方程定性理论，是微积分方面的重要发展；欧拉的戈尼斯堡七桥问题，摩尔根的四色定理，庞加莱的位置分析，则是新型的拓扑学；费马大定理，哥德巴赫猜想，欧拉和高斯的二次互反律，黎曼的ζ函数，以及刘维尔关于超越数的理论，则是数论的进展；还有黎曼的复变函数论，傅里叶变换，拉普拉斯变换，克莱因的爱尔兰根纲领，希尔伯特的几何基础等等，这些构成了现代数学的大繁荣。 以上是1900年之前的数学。进入二十世纪后，概率论和计算机也加入了数学的行列，得到了充足的发展。 |
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