整数划分总结（动态规划）

先引入一个比较实际的问题：分苹果

题目

M个相同苹果放到N个相同篮子里有多少种放法,允许有篮子不放。
1<=M<=10，1<=N<=10
例如5个苹果三个篮子，3，1，1 和 1,1,3是同一种放法
输入 7 3
输出 8

思路

设f(m,n) 为m个苹果，n个盘子的放法数目：

1. 当n>m：必定有n-m个盘子永远空着，去掉它们对摆放苹果方法数目不产生影响。即if(n>m) f(m,n) = f(m,m)　　

2. 当n<=m：不同的放法可以分成两类： 
   （1）有至少一个盘子空着，即相当于f(m,n) = f(m,n-1); 
   （2）所有盘子都有苹果，相当于可以从每个盘子中拿掉一个苹果，不影响不同放法的数目，即f(m,n) = f(m-n,n).而总的放苹果的放法数目等于两者的和，即 f(m,n) =f(m,n-1)+f(m-n,n)

递归出口条件说明：

当n=1时，所有苹果都必须放在一个盘子里，所以返回１；
当没有苹果可放时，定义为１种放法；
递归的两条路，第一条n会逐渐减少，终会到达出口n==1;
第二条m会逐渐减少，因为n>m时，我们会return f(m,m)　所以终会到达出口m==0．

代码

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <stack>
#include <algorithm>
using namespace std;
// apple 个 苹果 basket 个 篮子
int ShareApple(int apple,int basket){
// 因为我们总是让apple >= basket来求解的，所以apple - basket >= 0,
// 让apple = 0时候结束，如果改为apple = 1，可能得不到正确解
if(apple == 0 || basket == 1){
return 1;
}//if
// 篮子多于苹果 按照苹果个数分
else if(apple < basket){
return ShareApple(apple,apple);
}//else
return ShareApple(apple,basket-1) + ShareApple(apple - basket,basket);
}
int main(){
int apple,basket;
//freopen("C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\acm.txt","r",stdin);
while(cin>>apple>>basket){
cout<<ShareApple(apple,basket)<<endl;
}//while
return 0;
}

是不是看着很简单？递归就是如此，思路很容易理解，但是很多子问题重复计算，复杂度很高。。。额。。。重点就是要说的动态规划咯（自底向上）

经典问题：整数划分

1. /* 

2.    整数划分 

3.    （一）将n划分成若干不同整数之和的划分数 

4.    （二）将n划分成若干正整数之和的划分数 

5.    （三）将n划分成k个正整数之和的划分数 

6.    （四）将n划分成最大数不超过k的划分数 

7.    （五）将n划分成若干个 奇正整数之和的划分数 

8. */  

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<algorithm>
#include<sstream>
#define eps 1e-9
#define pi acos(-1)
#define INF 0x7fffffff
#define inf -INF
#define MM 12900
#define N 50
using namespace std;
typedef long long ll;
const int _max = N + 10;
int dp[_max][_max],n,k,out[6];
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("input.txt","r",stdin);
#endif // ONLINE_JUDGE
while(scanf("%d%d",&n,&k)==2){
/*****************整数划分（二）******************/
memset(dp,0,sizeof(dp));
dp[0][0] = 1;
for(int i = 0; i <= n; ++ i)
for(int j = 1; j <= n; ++ j){
if(j>i)dp[i][j]=dp[i][i];
else dp[i][j] = dp[i-j][j] + dp[i][j-1];
}
out[1] = dp[n][n];
/*****************整数划分（四）******************/
out[3] = dp[n][k];
/*****************整数划分（三）******************/
memset(dp,0,sizeof(dp));
dp[0][0] = 1;
for(int i = 1; i <= N; ++ i)
for(int j = 1; j <= i; ++ j){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j];
}
out[2] = dp[n][k];
/*****************整数划分（五）******************/
memset(dp,0,sizeof(dp));
dp[0][0] = 1;
for(int i = 0; i <= n; ++ i)
for(int j = 1; j <= n; ++ j){
if(j&1){
if(j>i)dp[i][j] = dp[i][i];
else dp[i][j] = dp[i-j][j]+dp[i][j-1];
}
else dp[i][j] = dp[i][j-1];
}
out[4] = dp[n][n];
/*****************整数划分（一）******************/
memset(dp,0,sizeof(dp));
dp[0][0] = 1;
for(int i = 0; i <= n; ++ i)
for(int j = 1; j <= n; ++ j){
if(j>i)dp[i][j]=dp[i][i];
else dp[i][j] = dp[i-j][j-1] + dp[i][j-1];
}
out[5] = dp[n][n];
/*****************输出******************/
for(int i = 1; i<= 5; ++ i)
printf("%d\n",out[i]);
printf("\n");
}
return 0;
}
/*
/*****（一）将n划分成若干不同整数之和的划分数************
dp[i][j]表示将整数i划分成不超过j的划分数，分含不含j两种情况
dp[0][0] = 1
dp[i][j] = dp[i-j][j-1] + dp[i][j-1];(j<=i)
= dp[i][i]                (j >i)
=>ans = dp[n][n]
/*****（二）将n划分成若干正整数之和的划分数*************
dp[i][j]表示将整数i划分成不超过j的划分数，分含不含j两种情况
与（一）区别，j可重复
dp[0][0] = 1
dp[i][j] = dp[i-j][j] + dp[i][j-1];(j<=i)
= dp[i][i]                (j >i)
=>ans = dp[n][n]
/*****（三）将n划分成k个正整数之和的划分数*************
dp[i][j]表示将整数i划分成j个正整数的划分数，考虑j组数中含不含1
dp[0][0] = 1
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-j][j];
如果不包含1，那么每组数至少为2，从每堆数中各拿出1还能够成j堆数dp[i-j][j]
=>ans = dp[n][k]
/*****（四）将n划分成最大数不超过k的划分数************
dp[i][j]表示将整数i划分成不超过j的划分数，分含不含j两种情况
是（二）的特例
dp[0][0] = 1
dp[i][j] = dp[i-j][j] + dp[i][j-1];(j<=i)
= dp[i][i]                (j >i)
=>ans = dp[n][k]
/*****（五）将n划分成若干个 奇正整数之和的划分数******
dp[i][j]表示将整数i划分成不超过j的划分数，分含不含j两种情况
dp[0][0] = 1;
j是奇数，正常判断
dp[i][j] = dp[i-j][j] + dp[i][j-1];(j<=i)
= dp[i][i]                (j >i)
j是偶数,dp[i][j] = dp[i][j-1]//往下递推
=>ans = dp[n][n]
*/