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为了管教熊孩子，我制定了一条家规：不听话的小朋友要挨打屁股（为了公平，爸爸做错事，也一样要被打）。 一般我会根据情节恶劣程度，分为打3个、5个或10个屁股这几个等级。没多久，熊孩子就学会了讨价还价： “能不能打2下轻的1下重的？” （3个屁股） “能不能打3下轻的2下重的？” （5个屁股） 原本我觉得小孩子学会讨价还价是一件好事，说明他会揣度你的心理，试探你的底线，学着用沟通协商的方式，最大化降低自己的损失。 但随着惩罚力度的加大——打屁股的数量达到10个的时候，新的问题就出现了：熊孩子好像不太识数。 “爸爸，你能不能打5下重的5下轻的？” “不行。” “那要不就6下重的5下轻的吧！” “不行！” “那就7下重的5下轻的总行了吧！” “你自己算算7加5等于10吗？” “嗯！” 听到娃自信满满的回答，鹿sama很发愁：“这孩子的数学怎么这么差，你的学霸基因怎么干不过我的学渣基因啊……” 虽然现在孩子还小，还不能看出来学霸基因和学渣基因到底谁胜谁负，但是，算不清7加5等于几，还真不一定代表孩子的数学能力差。 数学是人类的一种高级认知功能，包含了多种能力，比如逻辑思维能力、抽象概括能力、空间想象能力、推理能力、论证能力、运算能力等等。我们不能在孩子这么小的时候，因为他算不清数就过早地下定论认为他“数学差”。 算术能力的基础是能够正确表征数量。所谓对数量的表征，简单来说就是“识数”——即看到物体，你能知道有多少个。 这里面牵涉到一个很基础的心理学争论：我们对数字的表征是不是单一的？目前的证据比较支持这样的结论——我们的数字表征可能存在两个系统：一个是“感数”，一个是“计数”。  5可能是人类表征数量的一个分界点 早在1949 年，心理学家Kaufman就开始对人类的数字表征系统进行相关研究了，并根据被试在报告由不同数量点组成的点阵列（dot arrays）中点的数量的结果，提出了“感数”和“计数”的概念。 所谓感数，指的就是一个人对小额数字的表征（对小数，人们往往能够快速而准确的感知，4及4以内的数量能一眼看出来）； 而计数，则是指一个人对大额数字的表征（对大数，人们则需要经过一定的反应时间才能统计出来。比如图上有100个点，正常人就不可能一眼看出来，得数上一阵子。） 而“感数”和“计数”之间的一个明显的分界点就是“5”。  如图所示，当图表中点点的数量是4个以内时，反应时随数量的变化很小，每个项目增加50~80毫秒，且基本没有错误发生（通俗来讲就是，当数量在4以下时，正常人都能一眼就能看出来，且都能说对）； 而在觉察5 或5个以上点的数量时，反应时和正确率都呈现出伴随数量增加的线形变化（通俗来说就是，当数量达到5以上时，数量越多，算出数字所需的时间就越长，正确率也越低）。 可以看出，人对计算数量的反应时和正确率，在“5”之前和“5”之后出现了一个明显的断层。这就充分说明了，“感数”与“计数”是本质不同的“识数”过程，是两个不同的系统在管理着这个过程。 也就是说，人类的“感数”系统是有数量上限的（比较公认的说法是4个），数量超过4个以上，就会切换到“计数”系统了。 心理学家们进一步对儿童和动物进行了类似的实验，发现不具备语言能力的婴儿和猴子也具有与成人的“感数”“计数”系统类似的两种数字表征系统——即对小数( 1 至3 或4 的自然数) 的精确表征系统（object tracking system，OTS）和对大数( 大于3 或4 的自然数) 的近似表征系统( approximate number system，ANS) 。 从他们的命名上我们就可以看出，所谓小数表征，主要基于对单个物体的平行的注意或追踪（tracking），表征的过程受数量大小的限制（如前所讲，人类的小数表征的上限大约是4个）；小数表征是精确的，这一点与对大数的近似表征不同，数量多了，我就没法精确知道有多少个点了。 “几个字？”——我一眼就可以知道精确答案：3个， “那么我再换个例子，比如你现在看到的这一行字，不许数，你能一眼准确看出是几个字吗？”——我只能说“大概几十个字”。 一些很有趣的婴儿实验： 研究者准备了两个装了饼干的桶，让10 个月和12个月的婴儿在两个桶之间自由选择。当饼干数为1 块和2块时，婴儿选2块，当饼干数为2块 和3块时，婴儿选3；但当饼干数为3 块和6块时，婴儿就不会选了。 研究者把乒乓球逐个放进一个不透明的盒子里，然后让婴儿去搜索盒子取出乒乓球。当乒乓球的数量为1个至3个时，14个月的婴儿都能把球球全部找出来；而当球的数量为4 时，婴儿找出2个就不找了，因为4的数量超出他们的识数范围，只好随便瞎找找了。  脱口而出“7 6=13”，是练习的结果 从研究来看，3、4岁是儿童“数概念”快速发展的时期，一般来说，2、3岁儿童，已经基本认识了1–3的数字； 而4、5岁的儿童，则能学会5以上的数字和5以内的加减法，同时能够理解这些数字变化的规律，即数字的方向性和单位性变化。但再往5以上的加减法，则是一种通过练习获得的“规则记忆”能力，甚至连运算能力都称不上。 现在我家娃在被问到“7 3=？”时，他会说“妈妈，你让我用计算器先算一下，不然我怎么知道呢？”他妈妈不让用计算器，说那样不算。但我说，孩子其实没说错，这确实是需要先知道了正确答案，再练习，再记住的过程。就好比我们成年人，可以脱口而出“7 16=23”，这其实是一个速算练习的结果，并不像“1 2=3”一样是个可以不加思索得出的答案。 另外，虽然孩子们已经知道了越靠后的数字越大，但大小概念还是和我们大人的认知不同，他们对于大小的理解还处于一种“对数表征”的阶段（如下图）。  对数表征 vs 线性表征——对数表征是一种近似表征，而线性则是一种精确表征（这种精确表征的方式，需要后天的学习）。 上面这段话看上去很深奥是不是？看不懂是不是？没关系，不要紧，翻译成人话就是：作为一个大人，我们知道1个亿和10个亿的差距，远比1和10的差距要大；但是一个幼童，他虽然知道亿的单位很大，但是他并不能准确认知1个亿和10个亿之间的差距，还认为那跟1到10之间的差距差不多。 说起对1个亿不能正确感知，我怎么突然想起了一个人……  扯远了……说回来！ 我们家孩子目前对数字的认知主要就是停留在个、十、百、千、万这样的对数表征阶段。比如我们玩捉迷藏，他为了让自己多藏一会儿，会要求：“爸爸，你数到10个亿再找我”。而我则会：“1，2，3…10…1个亿，2个亿……10个亿！” 毫无破绽！ 同时，孩子们除了通过口头计数来学习数概念以外，他们还会通过许多其它的方式表征数量，如使用身体部分（掰手指），当数量大于5，一只手不够用的时候，我家娃会用脸来点数（因为两只手都用来表数了，缺乏一个点数的），这些表征方式都能促进儿童获得数概念。 鹿sama说：“说得好极了，这就是你不好好教儿子算术的借口？？”  （事先说明，下文没有广告） 研究发现，数数能力、数概念水平显著影响被试数量表征的模式和准确性，数数能力越高、数概念水平越高，被试数量表征越准确，越倾向形成线性数量表征（精确表征）。 此外，与认知加工相关的因素，主要包括空间能力、工作记忆、反馈等，也可能影响到儿童的数字表征能力。 其中，反馈作为一种直接的干预手段，对线性表征的形成十分重要——反馈的重要性主要体现在他们对儿童内部数字线有着校准的作用。 这句话是不是听上去又非常不明觉厉？到底啥意思呢？ 简单来说就是：教。 因此各位父母，千万不要忽视孩子提出的诸如“1万大还是1亿大”之类的问题，这是他们在自我发展数字概念！ 好了！我要继续滚回去写那些拖延了很久的Papers了！  张昕 北京大学心理与认知科学学院 副教授 解锁科学姿势 |
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