名师 | 例谈高中数学一题多解的“套路”

作者简介：

何振华，男，任教于江苏省南通市海门中学，海门市优秀教育工作者。文章来源：《福建中学数学》2018年第12期。

一、文章摘要

众所周知，一题多解，可以开阔思路，提升分析问题和解决问题的能力，培养发散性思维，融会贯通知识和方法。而学生知道一题多解的好处，但怎样才能一题多解却是难点。本文以2018江苏高考数学卷第13题为例谈谈高中数学题一题多解的一些套路。

二、试题呈现

分析：本题多变量最值问题，由于所求足够简洁，所以问题的切入点是题干的化归，而题干的信息主要是角平分线、三角形中的角度、长度。

三、策略方法

思考方向1：由概念出发，联想概念的相关特征，探究解题策略

由题意，从“角平分线”出发，联想角平分线的相关特征，形成解题策略。

策略1.1：利用角平分线性质和向量关系突破

由角平分线联想到角平分线性质AD：DC =c：a，由图象特征是爪型图，联想到向量关系。

策略1.2：利用角平分线性质和余弦定理关系突破。

由角平分线性质得 AD：DC = c：a ，依据三角形特征联想到求解 AD，DC。

思考方向2：由考察知识点出发，联想知识的相关解题方法，探究解题策略

由题意，题干信息与三角形相关，联想到通过正余弦定理解三角形，探究切入点。

思考方向3：由图形特征出发，联想图形信息，探究解题策略

策略 3.1 利用整体与局部的面积关系突破

角平分线BD将ΔABC分成两个小三角形将三角形分成两部分，探究整体和局部的关系得出面积关系：SΔABC =SΔABD+SΔBDC。

策略 3.2 构造平行线，利用三角形相似突破

思考方向4：由常用解题方法出发，尝试使用解析法，探究解题策略

由题意，考虑能否将题设中的长度、角度信息代数化，从而使用解析法求解。

策略4 坐标化，利用三点共线关系突破

思考方向5 由常见数学模型入手，探究解题策略

由上述思考方向：本题化归为：已知a>0，c>0，ac=a+c，求4a+c的最小值，这显然是使用模型求解。

四、归纳总结

笔者认为一题多解，实质就是通过多角度多层次分析，探究问题的多种解题策略．因此在解题过程中，我们若能从概念、常用思想方法、知识的常用方法、数学模型几个维度入手，往往可以帮助我们发现问题的切入点，自然地找到问题的多种突破策略，这就是高中数学题一题多解的套路。

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