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将素数分解为音乐，这就是黎曼假设的数学结论。对这个数学定理诗意化的描述就是素数本身拥有音乐，并且还是后现代的音乐。 ——麦克尔·贝里,布里斯托大学 文章: plus.maths.org/content/music-primes 译者: 向海飞 校对: 向海飞 翻译小组成员介绍: 向海飞 武汉市人，2002年华中理工大学应用电子技术专业本科毕业。现在洛阳工作。 质数与音乐 古往今来许多人都曾评论过数学和音乐之间的相似性。莱布尼兹曾说过：“音乐给予人下意识数数时的愉悦感受。”但二者的相似性不仅在于数数方面。音乐作品的美感与最优秀的数学作品之间有诸多共性。在这些作品中，都先确立主题，然后旋律激荡、扣人心弦，直到最后渐入佳境。正如我们重听一段音乐就会发现初听时错过共鸣那样，数学家们经常也有这种体会，即在重复阅读证明过程时，注意到那些使得作品自洽的精妙之处。  音乐比之于数学的优势之一，在于身体和乐音之间的物理联系。每当我听到舒伯特的《死神与少女》四重奏时，都会兴奋到颈发矗立。某些乐曲所激发出的兴奋感是数学无法比拟的。从未接受任何音乐训练的人也能欣赏音乐会的原因就在于此。而常人要经过多年的数学训练，才会拥有聆听伟大数学作品的“耳朵”。 我们的数学教育失误之一在于，很少人意识到在校园算数之外，竟还有如此精彩的数学乐章有待他们去欣赏。我们在学校里花时间学习数学作品的音阶和节拍，却不明白熟练习题会把我们带往何种趣所。若体会不到聆听拉赫曼尼诺夫作品时的乐趣，则很少人能有耐心去学习钢琴。 黎曼的交响曲 数学中最伟大的交响乐作品之一是黎曼猜想——人类试图理解质数的奥秘。每一代数学家都在这件事上贡献出了自己的力量，共同影响着人类对质数的理解。 每当我们试图掌握这些神秘的质数时，音乐主题就会变奏转调。但这是一部未完成的交响曲。我们仍在等待一位伟大的数学家，期望他能将最后的和弦添加到这伟大的作品之中。 但数学和音乐不只是美学上相似。黎曼发现，音乐的物理特性是开启质数秘密的钥匙。他发现了神秘的调和结构，可以解释当大自然选择质数时，高斯的质数骰子是如何真正落地的。 遇见小编推荐阅读《电话号码为质数的概率有多大？》一文  高斯的函数与质数的比较 学生时代的黎曼非常害羞，他宁愿窝在校长图书室里阅读数学书籍，也不愿跟同学们出去玩耍。期间他首次了解到高斯关于质数分布规律的猜想。基于质数骰子的想法，高斯给出了名为对数积分的函数，这个函数似乎能很好地估计质数的分布。上图显示该函数与100以内质数数目的对比关系。 高斯的猜想基于掷骰子。骰子有一面标为“质数”，其他各面是空白。骰子的面数随着测试的数值增大而增加，高斯发现对数积分函数可以给出骰子的面数。例如要测试1000左右的质数需要一个六面骰子。为了猜出质数的数量，高斯假设一个6面骰子掷出质数面的概率是1/6。但掷6000次骰子当然不太可能正好出现1000次质数面。一个公平的骰子允许高于或低于这个概率值。但是有没有办法去理解高斯的理论猜想和质数骰子落地方式呢?当时33岁的黎曼在哥廷根工作，他发现可以用音乐来解释如何把高斯图变成实际计量质数的阶梯图。 形状和声音 要理解黎曼的想法，关键是要搞懂，为什么由音叉、小提琴和单簧管等乐器分别演奏的同一个音符A，听起来却有明显差异。音叉的声波图看起来像一个完美的正弦波。相比之下，小提琴演奏的同一个音符的声波图就像锯齿。你可以通过下面视频对比音叉、小提琴和单簧管演奏的A音的声音和波形。 小提琴与音叉的外观和音色都不同，小提琴演奏时发出的不仅有单音A，同时含有其他不同的频率成分，叫做谐波。每段合理弦长下的正弦波都对应一个额外的音符。每个谐音都比根音震动得更快，意味着谐音听起来比根音尖锐。各谐音随频率走高而偏静，即其相应正弦波的振幅会降低。  在音叉波形图上添加这些额外的谐波，可以看到如何把正弦波形变成小提琴的锯齿波形。通过下面动图，看看前五个谐波是如何组合在一起形成小提琴的声音波形的。  与小提琴的声音不同，单簧管的声音是用城墙上炮垛口形状的方波波形来描述的。与小提琴的尖锐音相比，它的声音更接近闷音。正如小提琴特有的声音是由额外的和声组成一样，单簧管的声音也是通过同时演奏一组不同频率的正弦波而形成的。这些正弦波必须与单端开口的单簧管的长度相符。因此单簧管的谐音序列有异于小提琴。  把所有谐音波形加起来，可见单簧管的方波形状源于音叉A音的基波。通过这个链接，看看前五个谐波如何组合成单簧管的声音波形。  黎曼的谐波
黎曼发现，高斯的对数积分函数图像就像乐器发出的根音一样，但是存在一些特定的谐波，一旦加到图像上，就会逐渐将其变成质数的真像或“声音”。正如单簧管的谐波加到正弦波上形成方波那样。  黎曼最早发现的一些谐波 下边动画展示了添加前100个谐波的效果。每增加一个谐波，原本平滑的图形就变得更扭曲。黎曼意识到，当添加无数个谐波时，最终的图像会精确匹配质数函数的阶梯形状。 黎曼谐波的影响 革命性的想象
但黎曼到底是在哪里找到这些奇怪的质数谐波来修正高斯的猜想，使之成为真的质数之音的呢？他其实在酝酿一个令人兴奋的新话题，这个话题是从法国大革命中产生的：虚数的新世界。多年来，人们无法接受负数可能有平方根——毕竟负数乘以负数总是正数。但是法国大革命给了数学家们探索新世界的勇气。他们发明了新的月份和新的日子，所以为什么不创造新的数呢？所以出现了新的数 i —— -1的平方根。（译者注：自此以下，作者在用词上对虚数和复数没有做出严格的区分，为保留作者原意，不宜更改其用词，读者应能够自行区分）所有其他的虚数都是用这个新数字和普通数字组合得到的，例如 -3+4i。 虚数的世界 虚数的迷人之处是它们在实数轴上无处安放。数轴上包含了2，-3，或 e 的位置，但是这里找不到虚数的位置。正是黎曼的老师高斯建议为这个新生的虚数 i 创造一个新数轴。在这幅虚数图中，普通的数字(或数学家所称的实数)位于横贯东西的数轴上，而南北方向与虚数部分相对应。所以每个虚数，都变成了地图上的一个点。比如 -3+4i，它对应向西 3 个单位向北 4 个单位的点。瞬间，一幅虚数世界的地图出现了，虚数变得更加形象。 黎曼试图将虚数当做函数的输入。通常我们可以画出一个函数的图形，其中输入沿水平方向变化，输出是图形的高度。但是虚数的函数的图像是一幅地形图，函数的输出由虚数世界中各点处的高度表示。 虚数图景(An imaginary landscape) 小编注: 上图 x 轴为实数部分, y 轴为虚数部分, z 轴为相应 ζ 函数的值. 黎曼发现了一种非常特殊的虚数函数图像，由zeta函数产生。他发现这个函数与质数的秘密有关。特别是，可以用地形图上的0海拔点(水平高度恰好位于海平面的点, 即 ζ 函数的零点)来产生那些特殊谐波。这些谐波将高斯的图形转换成真正的质数阶梯函数。黎曼用地形图上各个0海拔点的坐标来产生各次谐波。谐波的频率取决于0海拔点的纵向距离，谐波的强度取决于0海拔点的横向距离。 模式渐显
黎曼的这张地图上，0 海拔点貌似应随机分布。但当他标出其中一些点时，发现了明显的规律。0 海拔点都排成一列：每个点的横坐标都相同。这意味着所有的和声都处于完美的平衡状态。随着音乐的发展，每个和声都会渐强，但没有任何一个和声会比另一和声更响亮。如果平面上有的 0 海拔点偏离了这条线，那就意味着其中的一个和声会最终淹没其他所有和声。这就像听管弦乐队的演奏，听到大号的声音渐渐淹没了乐队其他成员的声音。 虽然看起来这条线像是穿越了地形图，但黎曼没能证明每个0海拔点都在这条神奇的线上（数学家们称之为“临界线”)，但他猜这是对的。黎曼的猜想是：证明zeta函数的每一个非平凡零点都在实部等于1/2的直线上。即使没人为此悬赏百万美元，数学家们也情愿用灵魂去换取这个问题的答案。 从某种意义上说，黎曼的发现代表了模式搜索者对大自然给我们带来的混乱无序的真正胜利。通过黎曼所构想出的镜像世界，质数的随机性转化为这些0海拔点的秩序。许多伟大的数学家一直在努力证明黎曼的这一猜想，你可在我的《The Music of the Primes》一书中读到他们的故事，这本书在Plus杂志第26期中有评论文章。 如果黎曼猜想是正确的，它就能解释为什么质数中没有强模式。在黎曼的临界线以外的零点将导致质数被贴上强模式的标签，因为这个谐波控制了其余的谐波。黎曼猜想是说我们相信事实并非如此。和声处在某种完美的平衡中，创造着质数大潮的无尽涨落。 高斯的猜测就像预测一个六面骰子掷了6000次，正好出现1000次质数面。黎曼的谐波的高度告诉我们，高斯的猜测离质数骰子的实际落地方式有多大的差异，即高斯的猜测和质数的实际数量之间的误差。 那么质数骰子有多公平？如果骰子的理论行为和N次抛掷后的实际行为之间的差异在N的平方根的范围内，数学家们就称它为“公平的”。黎曼谐波的高度是由相应的0海拔点的横坐标所给出的。如果横坐标是c，那么谐波的高度就像N^c一样增长。这意味着这个谐波对高斯猜想和质数之间的误差的贡献将是N^c。如果黎曼假设是正确的，且c总是1/2，误差就会是N^1/2(这是N的平方根的另一种写法)。如果这是真的，黎曼假设意味着大自然的质数骰子是公平的，高斯理想的质数骰子的误差值不会超过N的平方根。 黎曼：我们仍不知道他是否正确 黎曼39岁时就给出了他的伟大猜想，不久就去世了。面对黎曼留下的烂摊子，管家销毁了他许多未出版的手稿，直到她被哥廷根的教员拦住。是否曾有一份黎曼猜想的证明手稿，永远消失在他那过分热心的管家的厨炉焰火中了呢？我们永远不得而知。 黎曼的早逝使数学界失去了一位巨人。正如世界失去了与黎曼同龄的成年舒伯特（译注：舒伯特1797-1828，享年31岁，黎曼1826-1866，享年40岁）的音乐作品一样，世界在等待一位继任者去强化黎曼试图捕捉质数音律时产生的洞察力。(完) |
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