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18世纪后半叶，一些数学家为“欧几里得几何是唯一一种宇宙空间表现形式”这一思想的葬身之棺钉下了最后一颗钉子。而这一荣誉应当由三位数学家来分享，他们一位来自俄罗斯，一位来自匈牙利，还有一位来自德国。
第一位公开发表论文，从整体上阐述这门全新几何学的人就是俄罗斯数学家尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobachevsky，1792—1856， 图 6 - 3）。这是一种建立在像马鞍一样的弯曲表面上的几何。在这门几何学中（今天我们称为双曲几何），替代欧几里得第五公理的表述就成了如下的形式：“在平面上给定一条直线和不在直线上的一点，经过该点至少能作出两条与给定直线平行的平行线。” 罗巴切夫斯基几何学与欧几里得几何学还有一个重要的区别：在欧几里得几何中，三角形的内角和总是 180°（图 6 - 4b），而在罗巴切夫斯基几何中，三角形的内角和总是小于 180°（图 6 - 4a）。罗巴切夫斯基的学术观点主要发表在《喀山公报》上，而这份杂志在当时并不出名，所以他的理论完全没有得到应有的重视。直到 19 世纪 30 年代，有关罗巴切夫斯基几何的理论被翻译为法语和德语后，才引起了人们的广泛关注。在此之前，匈牙利年轻的数学家鲍约·亚诺什（János Bolyai，1802—1860）并未看到罗巴切夫斯基的文章，也在 1820 年左右系统地阐述了与罗巴切夫斯基几何类似的几何学理论。出于年轻人特有的激情，他在 1823 年给父亲的信中写道：“我发现了一些精美绝伦的东西，这让我无比震惊……我从一片虚无中创造了一个全新的世界。”他的父亲鲍约· 法卡斯（Farkas Bolyai）也是一名数学家，图 6 - 5 是他的肖像。在 1825 年，亚诺什已经完成了研究，准备让父亲看看自己关于这门新几何学的理论著作的草稿。亚诺什把这份手稿命名为《空间的科学绝对性》。虽然年轻的亚诺什兴高采烈，但他的父亲却不能确定这种理论是否正确。不过，法卡斯还是决定把儿子的新几何作为他本人的两卷本著作的附录一同出版——法卡斯的书以研究经典几何、代数和分析学的基础为主要内容。据说，这本书写作手法十分有趣， 书名就叫《为好学的年轻人所写的关于数学基本原理的随笔》。该书出版后，法卡斯送给了他的朋友高斯（图 6 - 6）一本，而高斯不仅在当时就被认为是最杰出的数学家，并且被后世许多人推崇为人类有史以来最伟大的数学家之一，足以和阿基米德与牛顿并肩。可惜，由于爆发了霍乱，送给高斯的那本书在混乱中遗失了，法卡斯又给高斯送去了另一本。高斯终于在 1832 年 3 月 6 日给法卡斯回了信。不过，他的评论与年轻的亚诺什所期望的并不完全一样。 ▲(a)内角和小于 180° (b)内角和等于 180° (c)内角和大于 180° 图 6 - 4 “如果我一上来就说，我无法称赞这本著作，您也许会感到十分惊讶。但除此之外，我的确没法再说别的了。这是因为如果我表扬它，就是在表扬我自己。事实上，这本书的所有内容——您儿子的思想和他所得出的结论——与我的想法几乎一模一样。而在过去的 30 或 35 年里，这些想法一直占据着我的一部分思考。所以我有些茫然无措。迄今为止，我从未把这些结论写下来，而且我当时想，在我的有生之年都不会把它们拿出来发表。”
我在这里要插上一句，很明显，高斯担心这种激进的新几何学会被康德学派的哲学家们当作哲学中的异端邪说。高斯称这些人为“毕欧申人”（Boetians），在古希腊语中，这个词是“愚蠢”的同义词。之后高斯继续写道：
“另一方面，我当时又想以后把它们都记录下来，这样一来， 至少它们不会随着我一起消失。因此，对我而言这真是一个惊喜， 这让我省却了记录这些想法的麻烦。我十分高兴是我的老朋友的儿子先于我之前把这些思想用文字表达了出来。”
虽然法卡斯觉得高斯对亚诺什的评价很高，他认为高斯的赞扬“令人欣喜”，但是，亚诺什却因为自己的研究与高斯的思想完全相同而备受打击，并从此之后彻底地消沉了。在接下来的近十年时间里，他一直拒绝相信高斯在自己之前就已经开始研究这门几何的说法，而且，还因此严重影响了父子之间的感情——亚诺什怀疑父亲过早地把自己的研究结论透露给了高斯。后来，当亚诺什最终确认高斯的确在 1799 年左右就开始研究这一课题时，他变得更加愤世嫉俗，这种糟糕的心态也影响了他的学术研究。在亚诺什去世前， 他留下了大约两万页的数学手稿，但相比而言，这些研究显得暗淡无光。
不过，毋庸置疑，高斯的确对非欧几何进行了大量思考。他在 1799 年 9 月的一篇日记中写道：“在几何的原理方面，我们取得了非凡的成就。”接着，他在 1813 年又提到：“关于平行线理论，我们如今并不比欧几里得知道得更多。这是数学中让人脸红的一部分，它迟早会变成另一种完全不同的形式。”几年之后，高斯在1817 年 4 月 28 日所写的一封信中又讲道：“我现在越来越确信，今天的（欧几里得）几何学的必然性并不能被证实。”最终，高斯得 出的结论与康德的观念恰好相反：欧几里得几何不能被视为普适的永恒真理，并且“不能把欧几里得几何与算术相提并论（因为算术是先验性的），但大致可以与力学相提并论”。费尔迪南德·施韦卡特（Ferdinand Schweikart，1780—1859）是一位法理学教授，他在 1818 年或 1819 年写信告诉高斯，他也独立得出了类似的结论。由于高斯和施韦卡特都没有公开发表过他们的观点和结论，所以在传统上，人们一直把发现非欧几何的荣誉归于罗巴切夫斯基和鲍约·亚诺什——其实，这两位绝不是非欧几何的独家“缔造者”。 双曲几何犹如晴天霹雳一般打破了数学世界的沉寂，给欧几里得几何学唯一的不可动摇的空间描述带来了沉重打击。在高斯、罗 巴切夫斯基和鲍约之前，欧几里得几何长期以来一直被视为世界的 本质。然而，人类还可以选择一套不同的公理来构建一门完全不同 的几何，这一事实让人们第一次开始怀疑，数学似乎是人类的发 明，而不是独立存在于人思维之外、等待人类去发现的真理。同 时， 欧几里得几何学与真实物理空间之间的直接关系也破裂了， “数学是宇宙的语言”这一思想暴露出了致命的缺陷。 当高斯的一名学生波恩哈德·黎曼证明双曲几何并不是非欧几何的唯一形式时，欧几里得几何学的优越地位变得更加岌岌可危了。黎曼于 1854 年 6 月 10 日在德国哥廷根做了一场演讲，演讲中处处闪耀着天才的思想火花。图 6 - 7 展示的是这篇后来公开发表的演讲稿的第一页。黎曼借助“以几何基础为前提的猜想”表达了自己的观点。黎曼一开始就说：“几何学预先假设了空间的概念，并假定了构建空间的基本原理。但是，几何对此仅给出了名称上的定义，而这些概念和原理的本质说明是以公理的形式出现的。” 但他接着又指出：“那些预先假设之间的关系还不为人所知。我们看不出它们之间的任何联系是否是必然的，或者在多大程度上是必然的，甚至不能预先确定，它们之间是否可能存在联系。”在各种 可能的几何学理论中，黎曼重点研究了椭圆面几何。这是一门建立在椭圆体表面上的几何理论（图 6 - 4c）。请注意，在这门几何学中，两点之间的最短距离并不是一条线段，而是大圆上的一段弧， 而这个圆的圆心恰好也是球心。航空公司就是利用这一特性来确定飞行航线的，所以，从美国到欧洲的国际航班的飞行线路并不是我们在地图上看到的直线，而是一段向北的大圆弧。你可以很轻易地证明，任意这样的两段大圆弧都会在直径的两端相交。例如，地球上的任意两条经线，在赤道附近看上去是平行的，实际上却会在两极相交。在欧几里得几何学中，经过直线外的一点只能作一条与该直线平行的平行线。而非欧几何则不同。在双曲几何中，经过直线外的一点至少能作两条与该直线平行的平行线。而在椭圆面几何中，连一条这样的平行线也没有。黎曼把非欧几何的概念推向了更为广泛的天地——他把这类几何引入三维、四维，甚至维度更高的空间曲面中。在这个过程中，黎曼拓展出了一个关键概念——曲率。曲率标识了曲线或曲面的弯曲比率。例如，在一个鸡蛋壳的表面上，蛋壳中段部分的曲线要比经过蛋壳两端尖头的曲线平缓，也就是说曲率要小。黎曼提出了任意多维空间中的曲率的精确数学定义。通过这一定义，黎曼让最早由笛卡儿提出的“几何与代数的结合”变得更加紧密。在黎曼的研究中，包含任意多个变量的方程式 都能在几何学中找到自己的对应，而高级几何中的新概念也成了方程式的一部分。
19 世纪出现了全新的几何之后，欧几里得几何并不是唯一的受害者，康德关于空间的思想也未能幸免。让我们回想一下，康德曾经断言，人类感知到的信息在进入意识之前，必须经过欧几里得几何学中的模板加以重组。但是，19 世纪几何学家们的“直觉” 似乎在一夜之间全部被唤醒了。很快，他们就在非欧几何领域取得了众多进展，并开始学习沿着非欧几何指明的全新道路去感受世界。最终，欧几里得几何学对空间的感知竟然被证明是后天学来的，而不是直觉获取的。面对这些剧烈的变化，法国著名的数学家亨利·庞加莱（Henri Poincaré，1854—1912）提出，几何的公理“既不是综合的先验性直觉，也不是经验事实。它们是约定俗成的。我们根据经验事实做出选择，而这种选择是自由的”。换句话说， 庞加莱仅把公理视为“伪装的定义”。
庞加莱的观点不仅受到了上述非欧几何思想的启发，同时也受到了当时不断涌现的其他新几何的鼓舞。在 19 世纪末前，新几何的发展似乎不受控制了。例如，在投影几何学（比如，当电影胶片上的影像被投射到屏幕上时形成的图形）中，直线和点这两个角色可以互换，因此，关于点和线（请注意这里的次序）的定理能变为线和点的定理。在微分几何学中，数学家利用微积分研究各种数学空间的局部几何属性，例如球面或环面上的几何属性。这几类几何和其他类型的几何乍一看似乎是数学家充满想象的发明，而不是对物理空间的精确描述。那么，后人又该如何证明“上帝是数学家”？毕竟，如果“上帝总在研究几何学”（历史学家普卢塔克认为这句话出自柏拉图），那么哪一种几何是神采用的呢？
很快，对欧几里得几何缺点的深刻认识引起了数学家对数学基础的普遍关注，特别是数学与逻辑之间的关系。我在这里就提一句：“公理是不证自明的”这一观点已经动摇了。虽然 19 世纪的人们也见证了代数和分析领域的一些重大进展，但是，几何学的发展对数学本质问题的影响是最深远的。
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