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问题来源： 1202年，意大利数学家Leonardo Fibonacci提出了这样一个问题：在最佳条件下，一年里，一对兔子能繁殖多少对兔子？这个理论实验规定，母兔总是生下成对的兔宝宝，每对由一公一母组成。两只新生的兔子被安置在一个有围栏的院子里，然后让像正常兔子一样繁殖。长到一个月才能开始繁殖，所以第一个月只有一对兔子。在第二个月月底，母兔产下两只兔子。当第三个月到来时，原来的一对兔子又产了一对新生儿，而它们早期的后代则已经成年。此时便留下了三对兔子，其中两对将在下个月再生两对兔子。 每个月的兔子对数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144。这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，这个数列被命名为斐波那契数列。 通项公式： 很显然，这个数列的每一项都是正整数，可是通项公式是确实用无理数表示的。 特性： 斐波那契数列有很多神奇的特性，其中有不少涉及到很多复杂的数学领域，我们仅就高中生容易理解的范围简单讨论一些： 平方项：从第二项开始，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1。 黄金分割：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887…… 集合子集：斐波那契数列的第n+2项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。两倍项关系：f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1) 整除性：每3个连续的数中有且只有一个被2整除， 每4个连续的数中有且只有一个被3整除， 每5个连续的数中有且只有一个被5整除， 每6个连续的数中有且只有一个被8整除， 每7个连续的数中有且只有一个被13整除， 每8个连续的数中有且只有一个被21整除， 每9个连续的数中有且只有一个被34整除…… 斐波那契螺旋线:也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例。作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线。 自然界中的斐波那契数列： 斐波那契数在自然界中经常出现，足以证明它们反映了一些自然发生的模式。通常可以通过研究各种植物的生长方式来发现。如： 观察向日葵中心的种子阵列，你会发现其中包含了某种螺旋图案致使它左右弯曲。令人惊讶的是，如果你计算这些螺旋，得到的总数将是一个斐波那契数字。将螺旋分为指向的左侧和右侧，您将获得两个连续的斐波那契数。你可以破译松果，菠萝和花椰菜的螺旋图案，它们都反映斐波那契数列。 花和树枝： 有些植物在生长点，即树枝形成或分裂的地方表达斐波那契数列。一个枝干生长后产生分支，会产生两个生长点。接下来，主枝干生成另一个分支，从而产生三个增长点。然后树干和第一分支产生两个增长点，使总数达到五个。此模式继续遵循斐波那契数。此外，如果你计算花上的花瓣数，通常会发现花瓣的总数就是斐波那契数列中的数字之一。例如，百合和鸢尾有三个花瓣，金凤花和野玫瑰有五个花瓣，飞燕草有八瓣等等。 蜜蜂： 蜜蜂群由蜂王、一些雄峰和大量工蜂组成。雌蜂（蜂王和工人）都有双亲，即雄峰和蜂王。另一方面，雄峰则从未受精的卵子中孵化出来。这意味着它们只有一个母亲。 因此，斐波那契数字可以表示雄峰的家谱，因为它分别有一个父母，两个祖父母，三个曾祖父母等等。 人体： 好好看看镜子里的自己，你会发现，你的大多数身体部位都遵循了数字1，2，3和5。你有一个鼻子，两只眼睛，每个肢体都有三段，每只手有五根手指。人体的比例和测量值也可以按黄金比例进行划分。DNA分子也遵循这个数列，在双螺旋结构的每一个完整周期中，长度为34埃，宽度为21埃。 为什么这么多的自然模式反映了斐波那契数列？几个世纪以来，科学家们一直在思考这个问题。在某些情况下，这种关联可能只是巧合。在其它情况下，这个比率之所以存在，是因为这种特定的增长模式逐渐被证明为是最有效的增长模式。我们可以这样简单理解，这个数列，如果用面积或容量来表示，就是后面的刚好能装下前面两个，这就意味着符合这样的规律最省空间，效率利用最高。而自然选择的结果就是淘汰掉了效率利用低的生物。 |
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