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作者：张天蓉 1. 橡皮膜上的几何学 石墨烯能带结构的奇妙之处，不仅仅是因为石墨烯的能带结构是奇特的锥形，还因为它具有拓扑性质。 拓扑是一个数学概念。在数学中，拓扑学和几何学一样，都是研究空间位置关系和空间形态变化的专门学科，但二者研究的方式不同。拓扑学抽象处理 “点之间的距离”， 侧重于探讨点与点之间的连接方式——“连没连”、“怎样连”等这样一类的问题。我们可以这样来理解拓扑：如果两个几何图形都能象橡皮一样地被拉伸、变形而不撕裂或粘贴，且几何形态可以互相转换，就说这“两个几何图形具有相同的拓扑”。因此，拓扑也被俗称为“橡皮膜上的几何学”。 “面包圈和咖啡杯”是最典型的几何形状不同而“拓扑相同”的例子。 拓扑属于“流形”性质。虽然流形可以看成是直线或平面等平坦欧几里德空间的推广，但拓扑注重的是空间的整体几何形态，除非从局部看流形，才可能是与欧式空间一样的。 二维流形（亦即几何形态）的拓扑性质最直观。例如，球面、环面、面包圈面、莫比乌斯带、克莱因瓶等等都是二维流形的例子。尽管这些流形在每个点附近（局部）看起来都类似于平面，但整体拓扑却大不一样，比如球面或面包圈这样的流形属于“有限、无边界、有方向”。 “有限、无边界、有方向”是一种拓扑特性，可以用“亏格”来描述和分类。通俗地说，亏格就是曲面上洞眼的个数（图3-1-1）。亏格数为0，属于球面一类的流形；亏格数等于1，对应的是面包圈或咖啡杯一类的拓扑流形。在图3-1-1中还画出了亏格=2、3、5所对应的图形。诸如饭碗、立方体等几何形体都与球面有相同的拓扑性质，即亏格数都是0。 图3-1-1：不同的亏格表示的不同种类拓扑流形 亏格被称为拓朴不变量。例如图3-1-1中第二列显示的物体是亏格=1的例子，意思是说我们可以将一砣面团捏成一个甜甜面包圈形状，然后又可以将它捏来捏去逐渐变形为一个咖啡杯。只要在捏面团的过程中总能保持面团的那么一个“洞”存在，从来也未弄出个新洞，就意味着拓扑流形的“亏格”数总是等于1，也就是保持拓扑不变。 拓扑概念在理论物理学中主要是应用于凝聚态物理、量子场论和宇宙学中描述物理现象。石墨烯属于凝聚态物理的范畴，拓扑概念的引入与量子霍尔效应及拓扑绝缘体的发现相关。 理论物理中的拓扑要涉及到“纤维丛”。纤维丛的拓扑特性用“陈数”描述，也是一个拓扑不变量。纤维丛可以看作是乘积空间的推广，简单的说，二维平面XY可以当作是两个一维空间X和Y的乘积；圆柱面可以看作是圆圈和一维直线空间的乘积。 纤维丛是基空间和切空间（纤维）这两个拓扑空间的乘积。那些脑洞大开的数学家或物理学家把平面看作是以X为基底、Y为切空间的丛，而圆柱面是以圆圈为基底、一维直线为切空间的纤维丛，还充分发挥想象说什么这只不过是平面和圆柱面都是平庸的纤维丛，之所以平庸是因为两个空间相乘的方法在基空间的每一点都是一样的，如果不一样的话，那就可能是非平庸的纤维丛了。忽然间，这些脑洞大开的大腕想起了莫比乌斯带（图3-1-2）。 图3-1-2：纤维丛 有搞笑之人给了纤维丛一个通俗而直观的图像：将人的头作为基底，头发是切向基底的纤维，长满了头发的脑袋就是纤维丛。 纤维丛有平庸和不平庸之分，并用“陈数”为0或非0来表示。陈数可直观地理解为基空间的点改变时，纤维绕着基空间转了多少圈。从图3-1-2可见，相对于平直的圆柱面而言，当基空间参数变化一圈时，莫比乌斯带上的“纤维”就绕着基空间“扭”了一圈。 2. 石墨烯的量子霍尔效应 拓扑何以与石墨烯沾上边，还得从霍尔效应讲起。 经典的霍尔效应是埃德温·霍尔（Edwin Herbert Hall, 1855–1938）于1880年发现的，说的是磁场中的通电导体会受到力的作用。 图3-2-1：霍尔效应 图3-2-1a所示的是金属中自由电子移动而产生的霍尔效应：磁场、电流以及霍尔电压之间的方向性关系。但是，如果在半导体材料中，运动的电荷即载流子不一定是电子，也有可能是带正电的“空穴”，这种情况下产生的霍尔电势的方向便会有所不同。因此，我们可以借助霍尔效应研究半导体中的载流子，确定掺杂后的半导体材料中的载流子类型——到底是空穴还是电子，进一步则可以测量载流子的浓度。 至今霍尔效应的发现已经140多年，其间对各种霍尔效应的研究一直连续不断，尤其是自上世纪80年代发现量子霍尔效应之后，所发现的各种霍尔效应组成了一个大家族，标志着这是凝聚态物理中的一大热门课题。 霍尔电压一般被称为横向电压，以区别于沿电流方向的驱动电压。横向电压和纵向电流I之比，可以定义一个横向的霍尔电阻rxy。在经典霍尔效应中，霍尔电阻rxy与磁场B的关系是一条倾斜上升的直线，而纵向电阻rxx一般是一条与磁场无关的水平线（图3-2-2a）。 图3-2-2：霍尔效应大家族 1980年，德国物理学家冯·克利青（von Klitzing）发现了如图3-2-2b所示的量子霍尔效应，他也因此获得1985年诺贝尔物理学奖。 量子霍尔效应与经典霍尔效应的区别在于：经典霍尔电阻rxy与磁场B的直线关系被图3-2-2b中更为复杂的曲线所代替。后者测量的横向霍尔电阻曲线出现了一个一个的量子化“平台”。纵向电阻的表现也和经典情况大相径庭，经典霍尔效应中的纵向电阻（通常意义下的电压与电流之比）是一个常数，而在量子霍尔效应中表现出剧烈地上下震荡。 继量子霍尔效应被发现之后，物理学家们又发现了分数量子霍尔效应（图3-2-2c）。当海姆第一次从石墨中分离出石墨烯后，便迫不及待地用实验证实了石墨烯的整数量子霍尔效应，他发现石墨烯中的量子霍尔效应与当年标准的量子霍尔效应现象有所不同（图3-4-1）。同样在2005年，另一个实验团队观察到了石墨烯的分数量子霍尔效应。 图3-2-3：石墨烯的整数霍尔效应 从图3-2-3可见，石墨烯的整数量子霍尔效应中，霍尔电阻rxy没有??=0的平台。 我们知道，大部分的霍尔效应现象只在低温下（低於4.2K）才能被观察到。但石墨烯的量子霍尔效应非常特别：在常温下就能发生！石墨烯因为在狄拉克点附近的电子是无质量的相对论费米子，这使得石墨烯的载流子具有极高的迁移率，以至于在室温下也照样观测到石墨烯的量子霍尔效应，而不是像其它材料那样从低温到室温表现出很大的变化。 解释量子霍尔效应所采用的是一个“冰糖葫芦模型”，它把量子霍尔效应与拓扑现象联系起来了。 就二维经典霍尔效应而言，一个在均匀磁场中运动的电子所受到的磁力（洛仑兹力）遵从右手规则，应该处处与其运动方向垂直（图3-2-4a）。由于磁力不对电子作功，所以电子的速率将保持不变但运动方向会不断改变。这意味着电子将保持回旋的圆周运动（图3-2-4b左）。 图3-2-4：电子在磁场作用下的回旋舞 如果在电子运动的二维平面上同时还存在着电场，那么电子便会在跳回旋舞的同时因为电场库仑力的作用而在二维平面上移动。在磁场强度B较小的情况下，电子可能来不及“回旋”一周就已经来到了金属片的边界上，在边界处积累起来形成霍尔电势，产生经典霍尔效应（图3-2-4b左）。 如果这时增大磁场，会使电子回旋的角频率增大，电子将转半径更小的圈（图3-5-1b中），跳起转圈的回旋舞，也就是开始产生整数量子霍尔效应。在这样的情况下，两个邻近回旋圈的电流互相抵消了，只有边界上的电子不能形成完整的回旋，最终只朝一个方向前进。大概正是因为如此，在量子霍尔效应中只有边缘电流。 图3-2-4b（中间）所示6个电子和2个磁通量子（N=6，N？=2）相当于每3个电子分享1个磁通量子，对应于整数量子霍尔效应的平台n=6/2=3。如果磁场继续增加，磁通量子多起来，出现1个磁通量子被更少的电子数分享，n便会减小。图3-2-4b（右边）所示6个电子分享6个磁通量子（N=6，N?=6），因而n=(6/6)=1，即n=1的平台。 图3-2-5：量子霍尔效应的“冰糖葫芦”模型 如果磁场再继续增大，每个电子将分配到比n=1更多的磁通量子。这时的N0＞N，n = N/N0就成为一个分数1/2，1/3…，也就是说，这种情况下展现出了分数霍尔效应！ 上述量子霍尔效应中电子与磁通量子数目的分配关系，可以形象地用“冰糖葫芦”来描述。如图3-2-5：将一个电子表示成一个山楂（绿色圆饼），穿过电子的磁通量子用一根竹签表示（蓝色箭头）。仔细看看冰糖葫芦不就恍然大悟——这个模型不是与拓扑联系起来了吗？几种简单模式可以用本文已经介绍过的拓扑 “亏格”数来表征（见图3-2-6）。 图3-2-6：分数量子霍尔态对应的拓扑 3. 拓扑绝缘体 除了以上所列举的几种霍尔效应，还有一种量子现象是不需要外加磁场的，称为“量子自旋霍尔效应”。美国斯坦福大学的华人学者张守晟首先预言了HgTe/CdTe量子阱体系中的量子自旋霍尔效应，并且很快被德国的一个研究团队用实验所证实。此外，中国科学院院士薛其坤带领的团队，2013年在世界上首次发现了“量子反常霍尔效应”，完成了霍尔效应大家族的三重奏（见图3-3-1）。 图3-3-1：霍尔效应大家族的三重奏 量子自旋霍尔效应中的边缘电流是自旋电流。在量子自旋霍尔效应中，电子的两种自旋（上和下）产生两股方向相反的运动，因而形成总电荷电流为0而边缘的净自旋流却不为0。这种状态下的电子以新的姿势非常有序地“舞蹈”，上自旋的电子和下自旋的电子虽然面对面地移动，但各有其道，互不干扰，产生两股自旋流。如图3-3-1所示，边缘的红、蓝两种颜色表示上自旋电流和下自旋电流。 由于量子自旋霍尔效应导致材料出现边缘电流，如果将石墨烯一类的二维材料扩大到3维，便出现了“拓扑绝缘体”的新概念。 拓扑绝缘体最直观的性质就是其内部为绝缘体，而表面却能导电，就像是一个绝缘的瓷器碗镀了金之后具有了表面的导电性。不过，这是两种本质上完全不同的表面导电性。镀金碗表面的导电性，对瓷器来说是外加的，将随着镀层的损坏而消失；而拓扑绝缘体的表面导电不是材料表面的性质，而是源自绝缘体本身的内禀性质。所以拓扑绝缘体的表面永远导电，杂质和缺陷都不会影响它。 换言之，拓扑绝缘体体内绝缘而表面具有导电特性的根源在于体材料的能带拓扑结构，并非是因为表面塗了一层某种导电材料。这意味着即使将原来的表面切去，新的表面仍然会导电——因为体材料能带的结构是不会改变的，它的拓扑性质保护着表面的导电性永远存在。 那么，拓扑绝缘体的能带结构到底怎么样呢？既然是绝缘体，能带结构是否应该是那种“上面导带、下面价带、中间隔着宽禁带”的形式呢？ 事实上，拓扑绝缘体和普通绝缘体类似，导带价带间的能隙都很宽，但二者的能带的拓扑性不一样。一般来说，普通绝缘体能带的拓扑如图3-3-2中右下图所示的环形，而拓扑绝缘体的导带和价带互相纠结起来，如图3-3-2中左下图所示的打不开的绳结。绳结的具体形态及其形成的原因与材料特性有关，可能会因材料的不同而有所区别，但绳结与绳圈具有完全不同的拓扑，不将绳结剪开后重新连接，就不可能过渡到普通绳圈的形状。 拓扑性质的一个典型例子是能带翻转。对于普通晶体材料而言，孤立原子中电子能级的s轨道分裂形成导带，p轨道形成价带，导带在上而价带在下。但在某些特定情况下（例如张守晟所预言的HgTe），强烈的自旋-轨道耦合效应把p轨道分裂的某些轨道推到了s轨道之上，于是形成了能带翻转。 图3-3-2直观显示了能带翻转的拓扑绝缘体表面电流的形成。图左边阴影部分表示拓扑绝缘体，右边白色是外部真空或者普通绝缘体（真空属于普通绝缘体）。中间的阴影与白色之界限代表拓扑绝缘体表面。能带图中的价带用实线表示，导带用虚线表示。在右上图的普通绝缘体中，实线虚线截然分开，而在左上图的拓扑绝缘体中，价带顶和导带底附近，有一段（红色）实线虚线互换了，标志着拓扑绝缘体内部的能带翻转。界面的左边是拓扑绝缘体翻转的能带，右边是普通的正常能带。 从能带图看，能带要从翻转能带过渡到正常能带，就像绳结变成绳圈一样，一定要在界面处剪断后重新连接才行。另一方面，就能带图而言，导带和价带之间增加了两条斜线，这意味着界面上的电子有了从价带跃迁到导带的通道，可使界面变成导体。这就是拓扑绝缘体表面具有导电性的原因。 图3-3-2：拓扑绝缘体 拓扑绝缘体所提及的拓扑是波矢空间中能带图的拓扑，这与材料本身在真实空间的拓扑形状是完全无关的，和材料晶体的空间构型也无关。看看图3-3-2中界面的能带图，那不就是石墨烯能带图中的狄拉克锥吗？实际上，也正是因为石墨烯狄拉克锥的特殊能带结构启发了物理学家的思维，使他们首先想到在石墨烯中寻找量子自旋霍尔态。 图3-3-3列出了石墨烯及量子霍尔态等几种物态在费米能级附近的能带图：图3-3-3b是量子霍尔态（或拓扑绝缘体）的能带示意图，它的导带及价带在费米能级附近的形状接近抛物线，类似于普通绝缘体，它因为边缘态的存在而导电。在图3-3-3b中，量子霍尔态的边缘态是一条连接导带和价带的直线，因而量子霍尔态在低能态附近的行为和石墨烯相仿，其能量和动量的关系是线性的，同样存在无质量的相对论性准粒子。
图3-3-3：石墨烯及量子霍尔态能带图之比较 普通的绝缘体也可能产生边缘态而形成边缘导电，但它和拓扑绝缘体的边缘态有本质区别。图3-3-3d画出了普通绝缘体的能带，其中的边缘态曲线与费米能级相交，意味着在此绝缘体中可以存在边缘电流，但这种边缘导电性是不稳定的，边缘态曲线可以收缩回去而消失不见，也就是没有拓扑保护。这不同于图b、图c所示两种量子效应下的边缘态是一条直线，直通通从上到下将导带和价带绑到一起。概括讲，一句话：普通绝缘体与拓扑绝缘体边缘态的拓扑结构互不相同，前者的拓扑结构是平庸的，而后者是非平庸，其导电性能受拓扑性质所保护。 |
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