问题描述 在△ABC内找一点P,使得PA+PB+PC最小. 是什么? 在图三的模型里有结论: (1)∠BPD=60°; (2)连接AP,AP平分∠DPE. 为什么? 类似的手拉手,在图4中有3组,可得:AF=BE=CD. 巧的嘞,它们仨的长度居然一样长! 更巧的是,其长度便是我们要求的PA+PB+PC的最小值,这一点是可以猜想得到的,毕竟最小值这个结果,应该也是个特别的值! 接下来才是真正的证明: 考虑到∠APB=120°,∴∠APE=60°,则可以AP为边,在PE边取点Q使得PQ=AP,则△APQ是等边三角形. 显然,PA+PB+PC=PB+PQ+QE>BE. 还剩下第3个问题! 怎么办? 直接考,要不然还能怎么考? 问题背景:如图1,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,DE与BC交于点P,可推出结论:PA+PC=PE. 问题解决:如图2,在△MNG中,MN=6,∠M=75°,MG=4倍根号2,点O是△MNG内一点,则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是______. 【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路,构造60°的旋转,当然如果已经了解了费马点问题,直接来解决就好了! 如图,以MG为边作等边△MGH,连接NH,则NH的值即为所求的点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值.(此处不再证明) 过点H作HQ⊥NM交NM延长线于Q点, 根据∠NMG=75°,∠GMH=60°, 可得∠HMQ=45°, ∴△MHQ是等腰直角三角形, ∴MQ=HQ=4, ∴NH=2倍根号29. 练习1 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=AC=1,P是△ABC内一点,求PA+PB+PC的最小值. 【分析】如图,以AD为边构造等边△ACD,连接BD,BD的长即为PA+PB+PC的最小值.至于点P的位置?这不重要! 练习2 如图,已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,点M为矩形内一点,点E为BC边上任意一点,则MA+MD+ME的最小值为______. 【分析】依然构造60°旋转,将三条折线段转化为一条直线段. 分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG,连接FG, 易证△AMD≌△AGF,∴MD=GF ∴ME+MA+MD=ME+EG+GF 过F作FH⊥BC交BC于H点,线段FH的长即为所求的最小值. |
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