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【解题策略】最值系列之费马点

2019-10-22  长沙7喜
皮耶·德·费马,17世纪法国数学家,有“业余数学家之王”的美誉,之所以叫业余并非段位不够,而是因为其主职是律师,兼职搞搞数学.费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献,除此之外,费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等.
据说费马在提出“费马大定理”时,在笔记本上写道:我已经想到了一个绝妙的证明方法,但是这个地方不够写,我就不写了吧。看得出那个时候纸确实挺贵的,然后,直到1995年,才由英国数学家怀尔斯证明出,而距离费马逝世,已经过去了330年.
果然,数学搞得好的都是装x的一把好手.
言归正传,今天的问题不是费马提出来的,是他解决的,故而叫费马点.

问题描述

在△ABC内找一点P,使得PA+PB+PC最小.

【分析】在之前的最值问题中,我们解决的依据有:两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等.
阿哈哈哈,此处一个也用不上!
其实理论还是上面的理论,本题难点在于有3条线段,我们需要对这三条线段作一些位置上的变化,如果能变换成在一条直线上,问题就能解决了!
算了算了,不墨迹了,直接报答案了:
若点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则PA+PB+PC值最小,P点称为该三角形的费马点.
接下来讨论3个问题:
(1)如何作三角形的费马点?(是什么)
(2)为什么是这个点?(为什么)
(3)费马点怎么考?(怎么办)
01
如何作三角形的费马点?

是什么?

问题要从初一学到的全等说起:
(1)如图,分别以△ABC中的AB、AC为边,作等边△ABD、等边△ACE.
(2)连接CD、BE,即有一组手拉手全等:△ADC≌△ABE.
(3)记CD、BE交点为P,点P即为费马点.(到这一步其实就可以了)
(4)以BC为边作等边△BCF,连接AF,必过点P,有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°.

在图三的模型里有结论:

(1)∠BPD=60°;

(2)连接AP,AP平分∠DPE.

有这两个结论便足以说明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°.
原来在“手拉手全等”就已经见过了呀,只是相逢何必曾相识!
但是在这里有个小小的要求,细心的同学会发现,这个图成立的一个必要条件是∠BAC<120°,若∠BAC≥120°,这个图就不是这个图了,会长成这个样子:

此时CD与BE交点P点还是我们的费马点吗?
不不不,这时候就不是了,显然P点到A、B、C距离之和大于A点到A、B、C距离之和.
所以咧?是的,你想得没错,此时三角形的费马点就是A点!当然这种情况不会考的,就不多说了.
02
为什么是这个点?

为什么?

为什么P点满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°,PA+PB+PC值就会最小呢?
归根结底,还是要重组这里3条线段:PA、PB、PC的位置,而重组的方法是构造旋转!
在上图3中,如下有△ADC≌△ABE,可得:CD=BE.

类似的手拉手,在图4中有3组,可得:AF=BE=CD.

巧的嘞,它们仨的长度居然一样长!

更巧的是,其长度便是我们要求的PA+PB+PC的最小值,这一点是可以猜想得到的,毕竟最小值这个结果,应该也是个特别的值!

接下来才是真正的证明:

考虑到∠APB=120°,∴∠APE=60°,则可以AP为边,在PE边取点Q使得PQ=AP,则△APQ是等边三角形.

△APQ、△ACE均为等边三角形,且共顶点A,故△APC≌△AQE,PC=QE.
以上两步分别转化PA=PQ,PC=QE,故PA+PB+PC=PB+PQ+QE=BE.
没有对比就没有差别,我们换个P点位置,如下右图,同样可以构造等边△APQ,同样有△APC≌△AQE,转化PA=PQ,PC=QE,

显然,PA+PB+PC=PB+PQ+QE>BE.

还剩下第3个问题!

如果说费马点以前还算是课外的拓展内容,那现在,已经有人把它搬上了中考舞台!
03
费马点怎么考?

怎么办?

直接考,要不然还能怎么考?

看看今年2019武汉中考填空最后一题:

问题背景:如图1,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,DE与BC交于点P,可推出结论:PA+PC=PE.

问题解决:如图2,在△MNG中,MN=6,∠M=75°,MG=4倍根号2,点O是△MNG内一点,则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是______.

【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路,构造60°的旋转,当然如果已经了解了费马点问题,直接来解决就好了!

如图,以MG为边作等边△MGH,连接NH,则NH的值即为所求的点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值.(此处不再证明)

过点H作HQ⊥NM交NM延长线于Q点,

根据∠NMG=75°,∠GMH=60°,

可得∠HMQ=45°,

∴△MHQ是等腰直角三角形,

∴MQ=HQ=4,

∴NH=2倍根号29.

练习1

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=AC=1,P是△ABC内一点,求PA+PB+PC的最小值.

【分析】如图,以AD为边构造等边△ACD,连接BD,BD的长即为PA+PB+PC的最小值.至于点P的位置?这不重要!

如何求BD?考虑到△ABC和△ACD都是特殊的三角形,过点D作DH⊥BA交BA的延长线于H点,根据勾股定理,BD²=BH²+DH²即可得出结果.

练习2

如图,已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,点M为矩形内一点,点E为BC边上任意一点,则MA+MD+ME的最小值为______.

【分析】依然构造60°旋转,将三条折线段转化为一条直线段.

分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG,连接FG,

易证△AMD≌△AGF,∴MD=GF

∴ME+MA+MD=ME+EG+GF

过F作FH⊥BC交BC于H点,线段FH的长即为所求的最小值.

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