2020年高考理科数学：基本初等函数题型归纳与训练【题型归纳】题型一指数运算与对数运算例1已知函数则f(f(1))＋f的值是()A.5
B.3C.－1D.【答案】A【解析】由题意可知f(1)＝log21＝0，f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，f＝+
1＝2＋1＝3，所以f(f(1))＋f＝5.【易错点】确定的范围再代入.【思维点拨】本题较简单，分段函数计算题代入时要先确定范围，
再代入函数.例2定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(2019)＝()A．－1B．0C．1D．2【答案】
D【解析】∵2019＝6×337－3，∴f(2019)＝f(－3)＝log2(1＋3)＝2.故选D.【易错点】转化过程【思维点
拨】x>6时可以将函数看作周期函数，得到f(2019)＝f(3)，然后再带入3，得出f(3)＝f(－3).题型二指对幂函数的图
象与简单性质例1函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A.a>1，b<0B.a>1，b
>0C.00D.0义域上单调递减，所以0的符号【思维点拨】(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；(2)对于有关指数型
函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分
类讨论．例2已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)
，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为()A.a＜b＜cB.c＜a＜bC.a＜c＜bD.c＜b＜a【答案】B【解析】
由函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，得m＝0，所以f(x)＝2|x|－1，当x＞0时，f(x)为增函数，log0.53＝－l
og23，∴log25＞|－log23|＞0，∴b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)＝f(0)，故选B.
【易错点】①对称性的条件转化；②利用单调性或图象转化到同一单调区间比较大小.【思维点拨】函数的图象关于对称；指对幂函数比较大小时像
本题中a,b一样可以换成同底数的数，可以化为一样的底数利用单调性比较大小.题型三二次函数的图象与性质例1已知函数f(x)＝x
2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．【答案】（－，0）【解析】
由于f(x)＝x2＋mx－1＝mx＋(x2－1)，可视f(x)为关于m的一次函数，故根据题意有解得－题转化为最值问题.例2已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．【答案】a<1时,f(x)min=a-2；a
≥1时，f(x)min=－.【解析】①当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上单调递减，∴f(x)min＝f(1)＝－2.②当
a>0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向上，且对称轴为直线x＝.当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x的图象的对称轴
在[0，1]内，∴f(x)在上单调递减，在上单调递增．∴f(x)min＝＝－＝－.当>1，即0图象的对称轴在[0，1]的右侧，∴f(x)在[0，1]上单调递减．∴f(x)min＝f(1)＝a－2.③当a<0时，f(x)＝ax
2－2x的图象的开口方向向下，且对称轴x＝<0，在y轴的左侧，∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上单调递减．∴f(x)min＝f
(1)＝a－2.综上所述，f(x)min＝【易错点】忽略a＝0情形；对称轴不确定分类讨论【思维点拨】二次函数f(x)＝ax2＋bx
＋c(不妨设a>0)在区间[m，n]上的最大或最小值如下：(1)当∈[m，n]，即对称轴在所给区间内时，f(x)的最小值在对称轴处
取得，其最小值是；若≤，f(x)的最大值为f(n)；若≥，f(x)的最大值为f(m)．(2)当?[m，n]，即给定的区间在对称轴的
一侧时，f(x)在[m，n]上是单调函数．若n<，f(x)在[m，n]上是减函数，f(x)的最小值是f(n)，最大值是f(m)．(3)当不能确定对称轴是否属于区间[m，n]时
，则需分类讨论，以对称轴与区间的关系确定讨论的标准，然后转化为上述(1)(2)两种情形求最值．题型四函数图象的综合考查例1函数
的图象可能是()【答案】B.【解析】法一函的图象过点(e，1)，排除C，D；函数的图象过点(－e，－1)，排除A，选B.法二
由已知，设，定义域为{x|x≠0}.则f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，排除A，C；当x＞0时，f(x)＝lnx在
(0，＋∞)上为增函数，排除D，故选B.【思维点拨】含对数函数的图象要考虑定义域，对于含对数函数的复合函数图象题，要注意判断复合后
的奇偶性，进而分析图象对称性.例2函数的图像大致为（）【答案】B【解析】由f(x)的奇偶性，排除A；f(1)>0,排除D；
当x趋近于正无穷大时，f(x)趋近于正无穷大,故选B.【易错点】忽略正无穷大时的函数值【思维点拨】判断函数奇偶性→根据选项代入特殊
值判断函数值正负→根据极限判断趋近值.题型五复合函数的简单性质例1设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是_
_______.【答案】(－1，0).【解析】由f(x)是奇函数可得a＝－1，∴f(x)＝lg，定义域为(－1，1).由f(x)<
0，可得0<<1，∴－1互为倒数.可记住常见具有奇偶性的复合函数.常见奇函数：或；或常见偶函数：（如）、（如）例2若函数在区间上是增函数，求a的取值范围
.【答案】【解析】令，∵函数为减函数，∴在区间上递减，且满足，∴，解得，所以，的取值范围为.【易错点】对数型函数的定义域【思维点拨
】利用复合函数同增异减的性质得出参数需满足的不等式组.题型六函数性质综合例1设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直
线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝()A．－1B．1C．2D．4【答案】C.【解析】设(x，y)是函数y＝
f(x)图象上任意一点，它关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)，由y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，
可知(－y，－x)在y＝2x＋a的图象上，即－x＝2－y＋a，解得y＝－log2(－x)＋a，所以f(－2)＋f(－4)＝－log
22＋a－log24＋a＝1，解得a＝2，选C.【易错点】关于直线对称的函数求法例2设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意
的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，则：①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(
1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝x－3.其中所有正确命
题的序号是________．【答案】①②④【解析】由已知条件：f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确
；当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝1＋x，函数y＝f(x)的图象如图所示：当3f(x)＝f(x－4)＝x－3，因此②④正确，③不正确．【思维点拨】研究函数性质时一般要借助于函数图象，体现了数形结合思想．【巩固
训练】题型一指数运算与对数运算1.设函数则f(－2)＋f(log212)＝()A.3B.6C.9D.12【答案
】C【解析】因为－2＜1，log212＞log28＝3＞1，所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，f
(log212)＝2log212－1＝2log212×2－1＝12×＝6，故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9，故选C.
2.化简：2lg5＋lg2(lg2＋2lg5)＋(lg2)2＝________.【答案】2.【解析】原式＝2lg5＋
(lg2)2＋2lg2·lg5＋(1－lg5)2＝(lg2)2＋2lg2·lg5＋(lg5)2＋1＝(lg2＋l
g5)2＋1＝2.3.已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为____________．【答案】3.【解析】原式＝.题型二
指对幂函数的图象与简单性质1.函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为()A.
B.C．2D．4【答案】B【解析】f(x)＝ax＋loga(x＋1)是单调递增(减)函数(原因是y＝ax与y＝loga(x
＋1)的单调性相同)，且在[0,1]上的最值分别在两端点处取得，最值和为f(0)＋f(1)＝a0＋loga1＋a＋loga2＝a，
∴loga2＋1＝0，∴a＝.2.若a＝，b＝x2，c＝，则当x>1时，a，b，c的大小关系是()A.cC.a1时，所以c()A.B.C．(1，)D．(，2)【答案】B【解析】由题意得，当0函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方．又当x＝时，＝2，即函数y＝4x的图象过点.把点代入函数y＝logax，得a＝.
若函数y＝4x的图象在函数y＝logax图象的下方，则需1时，不符合题意，舍去．所以实数a的取值范围是
.题型三二次函数的图象与性质1.若时恒成立,求实数a的取值范围.【答案】【解析】分离参数a,可得则当时，令所以f(x)在时单调递
增，所以也可利用二次函数性质分类讨论.2.设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，
则实数m的取值范围是()A.B．[2，＋∞)C．(－∞，0]∪[2，＋∞)D．[0,2]【答案】D【
解析】二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f′(x)＝2a(x－1)＜0，x∈[0,1]，所
以a＞0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x＝1.所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.a＞0也
可利用f(x)＝ax2－2ax＋c=a(x2－2x)＋c=a(x－1)2－a＋c在对称轴左边递减得到.3.已知函数f(x)＝x2－
2ax＋5(a>1)．(1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且
对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．【答案】（1）a＝2；（2）[2,3]
．【解析】(1)∵f(x)＝(x－a)2＋5－a2(a>1)，∴f(x)在[1，a]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a]．∴解
得a＝2.(2)∵f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，∴a≥2.又x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1，∴f(x)m
ax＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2.∵对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|
≤4，∴f(x)max－f(x)min≤4，得－1≤a≤3.又a≥2，∴2≤a≤3.故实数a的取值范围是[2,3]．题型四函数图
象的综合考查1.函数的图象大致是（）【答案】D【解析】从奇偶性可排除B，且易知当x>1时，原函数大于0，排除A，当x>0时，对
函数求导单调性可排除C.故选D.2.函数f(x)＝ln的图象是()【答案】B.【解析】自变量x满足，当x＞0时，可得x＞1，当x
＜0时，可得－1＜x＜0，即函数f(x)的定义域是(－1,0)∪(1，＋∞)，据此排除选项A、D；函数y＝单调递增，故函数f(x)
＝ln()在(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增，故选B.3.函数y＝在[－2,2]的图象大致为()【答案】D.【解析】利用导数
研究函数y＝在[0,2]上的图象，利用排除法求解．∵f(x)＝|，x∈[－2,2]是偶函数，又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排
除A，B.设g(x)＝，则g′(x)＝4x－ex.又g′(0)<0，g′(2)>0，∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，∴
f(x)＝在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.题型五复合函数的简单性质1.已知函数为奇函数则实数的值为．【答案】
1.【解析】由奇函数得：,,,因为,所以2.若函数f(x)＝loga(x2－ax＋5)(a＞0，且a≠1)满足对任意的x1，x2，
当x1＜x2≤时，f(x2)－f(x1)＜0，则实数a的取值范围为________．【答案】(1,2).【解析】当x1＜x2≤时
，f(x2)－f(x1)＜0，即函数在区间(－∞，]上为减函数，设g(x)＝x2－ax＋5，则，解得1＜a＜2.3.函数的值域为(
)A．(0，＋∞)B．(1，＋∞)C．[1，＋∞)D．(－∞，＋∞)【答案】B【解析】令2x＝t，则函数可化为y＝t2＋2t
＋1＝(t＋1)2(t>0)．∵函数y＝(t＋1)2在(0，＋∞)上递增，∴y>1.∴所求值域为(1，＋∞)．故选B.题型六函数
性质综合1.设方程的根分别为x1，x2，则()A．0＜x1x2＜1B．x1x2＝1C．1＜x1x2＜2D．x1x2≥2【答案
】A.【解析】方程的根分别为x1，x2，所以，，可得x2＝，令f(x)＝，则f(2)f(1)＜0，所以1＜x1＜2，所以＜x1x2
＜1，即0＜x1x2＜1.故选A.2.若函数的值域是[4，＋∞)，求实数a的取值范围．【答案】【解析】当x≤2时，f(x)＝－x＋
6，f(x)在(－∞，2]上为减函数，∴f(x)∈[4，＋∞)．当x＞2时，若a∈(0,1)，则f(x)＝3＋logax在(2，＋
∞)上为减函数，f(x)∈(－∞，3＋loga2)，显然不满足题意，∴a＞1，此时f(x)在(2，＋∞)上为增函数，f(x)∈(3
＋loga2，＋∞)，由题意可知(3＋loga2，＋∞)?[4，＋∞)，则3＋loga2≥4，即loga2≥1，∴1＜a≤2.3.已知定义域为R的函数是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．【答案】（1）a＝2，b＝1;（2）.【解析】(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1.从而有.又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－.1011 |
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