2020年高考理科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练【题型归纳】题型一含参数的分类讨论已知函数，导函数为，（1）求函数的单调区间；（
2）若在[—1，3]上的最大值和最小值。【答案】略【解析】（I），（下面要解不等式，到了分类讨论的时机，分类标准是零）当单调递减
；当的变化如下表：+0—0+极大值极小值此时，单调递增，在单调递减；（II）由由（I）知，单调递增。【易错点】搞不
清分类讨论的时机，分类讨论不彻底【思维点拨】分类讨论的难度是两个，（1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理，由
于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意
将结果进行合理的整合。题型二已知单调性求参数取值范围问题例1已知函数，若函数在上是单调增函数，求的取值范围【答案】【解析】
,依题意在上恒有成立，方法1：函数，对称轴为，故在上单调递增，故只需即可，得，所以的取值范围是；方法2：由，得，只需，易得，因此
，，所以的取值范围是；【易错点】本题容易忽视中的等号【思维点拨】已知函数在区间可导：1.在区间内单调递增的充要条件是如果在区间内
，导函数，并且在的任何子区间内都不恒等于零；2.在区间内单调递减的充要条件是如果在区间内，导函数，并且在的任何子区间内都不恒等于
零；说明：1.已知函数在区间可导,则在区间内成立是在内单调递增的必要不充分条件2.若为增函数，则一定可以推出；更加具体的说，若为增
函数，则或者，或者除了x在一些离散的值处导数为零外，其余的值处都；3.时，不能简单的认为为增函数，因为的含义是或，当函数在某个区
间恒有时，也满足,但在这个区间为常函数.题型三方程与零点1．已知函数，若存在三个零点，则的取值范围是（）A.B.C.
D.【答案】D【解析】很明显，由题意可得：，则由可得，由题意得不等式：，即：，综上可得的取值范围是.本题选
择D选项.【易错点】找不到切入点，“有三个零点”与函数的单调性、极值有什么关系？挖掘不出这个关系就无从下手。【思维点拨】函数零点
的求解与判断(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间
[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(
3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．题型四、导
数证明不等式例1当时，证明不等式成立。【答案】略【解析】设则∵∴∴在内单调递减，而∴故当时，成立。【易错点】不能顺利把不等式
转化为等价的函数、方程问题【思维点拨】注意观察不等式的结构，选择合理的变形，构造函数，把不等式问题转化为函数的极值、最值问题。【巩
固训练】题型一含参的分类讨论1.已知函数（I）求的单调区间；（II）若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。【答案】略
【解析】（I）当且仅当时取“=”号，单调递增。当变化时，、的变化如下表：—1+0—0+极大值极小值（II）当恒成立。
由（I）可知若上单调递减，上不单增，不符合题意；综上，a的取值范围是[0，1]2.已知函数，求函数的极值.【答案】略
【解析】由可知:①当时,,函数为上的增函数,函数无极值;②当时,由,解得;时,,时,在处取得极小值,且极小值为,无极大值.
综上:当时,函数无极值当时,函数在处取得极小值,无极大值.3.已知,求的单调区间。【答案】略【解析】函数的导数（ⅰ）当时
，若，则；若,则；则在（－∞，0）内为减函数，在（0，＋∞）内为增函数。（ⅱ）当a>0时，由＞0则在（－∞，－）内为增函数，在（0
，＋∞）内为增函数。由＜0，在（－，0）内为减函数。（ⅲ）当a<0时，由＞00
-，在（－∞,0）∪（-，+∞）内为减函数。4.若函数没有极值点，求的取值范围。【答案】略【解析】由已知可得，若函数不存在极值
点，则在方程即中，有，解之得规律小结：极值点的个数，一般是使方程根的个数，一般情况下导函数若可以化成二次函数，我们可以利用判别式研
究，若不是，我们可以借助图形研究。题型二已知单调性求参数范围已知在R上是减函数，求的取值范围。【答案】略【解析】：对求导得，由题
意可知对任意实数恒有,讨论：当，显然不符合题意；当时也不符合题意；当时，依题意必有，即，综上可知的取值范围是3.已知，函数在是一
个单调函数。试问函数在上是否为单调减函数？请说明理由；若函数在上是单调增函数，试求的取值范围。【答案】略【解析】解：（1），若函数
在区间上单调递减，则在上恒成立，即对恒成立，这样的值不存在。所以函数在区间上不是单调减函数。（2）函数在区间上是单调增函数，则，
即在上恒成立，在此区间上，从而得规律小结：函数在区间上递增，递减在此基础上再研究参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解）注意
：解出的参数的值要是使恒等于0，则参数的这个值应舍去，否则保留。题型三方程与零点1.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范
围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，，函数有两个零点，不符合；当时，，令，得，可知在必有一个零点，也不符合；当
时，，得，故选C2.设为实数，函数，当为何值时，方程恰好有两个实数根.【答案】略【解析】求导得，∵当或时，；当，；∴在和单调递减
，在在单调递增，∴的极小值为，的极大值为；要使方程恰好有两个实数根，只需的图象与轴恰有两个公共点，画出的草图，∴且或且；∴或故当
或时，方程恰有两个实数根.3.若函数，当时，函数有极值，（1）求函数的解析式；（2）若函数有3个解，求实数的取值范围．【答案】略【
解析】求导得，（1）由题意，得所求解析式为（2）由（1）可得：令，得或当变化时，、的变化情况如下表：—单调递增↗单调递减↘
单调递增↗因此，当时，有极大值当时，有极小值函数的图象大致如图：由图可知：题型四、导数证明不等式1、当时，证明不等式成立
。【答案】略【解析】设则令则当时，在上单调递增，而在上恒成立，即在恒成立。在上单调递增，又即时，成立。2、已知函数其中,为常数.
当时，证明：对任意的正整数,当时，有。【答案】略【解析】证法一：，当为偶数时，令则.当时，单调递增，又，恒成立，成立。当为奇数
时，要证,由于，只需证,令,则当时，单调递增，又，当时，恒有,即，命题成立.综上所述，结论成立.证法二：当时，当
时，对任意的正整数，恒有，故只需证明令,则当时，，故在上单调递增，因此，当时，，即成立.故当时，有.即.3、设函数，证明：当时，；【答案】略【解析】证明：所以在上单增，而故当时，4、已知函数，设，证明：【答案】略【解析】证明：，设当时，当时，即在上为减函数，在上为增函数∴，又∴，即设，当时，，因此在区间上为减函数；因为，又∴，即故综上可知，当时，21 |
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