2020年高考理科数学《三角函数》题型归纳与训练【题型归纳】题型一三角函数的概念、诱导公式及同角关系式例1（1）点P从(1,0)出发，沿
单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A．(－，)B．(－，－)C．(－，－)D．(－，)(
2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P(－4,3)，则的值为________．【答案】（1）A（2）－
【解析】(1)设Q点的坐标为(x，y)，则x＝cos＝－，y＝sin＝.∴Q点的坐标为(－，)．(2)原式＝＝tanα.根据三角
函数的定义，得tanα＝＝－，∴原式＝－.【易错点】诱导公式和三角函数定义不熟练【思维点拨】(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题
(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应
用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为
简等．题型二三角函数的图象及应用例1已知曲线，，则下面结正确的是（）.A.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得
到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C
.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标
不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】D【解析】（1），，首先曲线、统一为一三角函数名，可将用诱导公式处理．．
横坐标变换需将变成，即．注意的系数，在右平移需将提到括号外面，这时平移至，根据“左加右减”原则，“”到“”需加上，即再向左平移．故
选D.【易错点】函数图像水平方向平移容易出错【思维点拨】平移变换理论(1)平移变换:①沿x轴平移,按“左加右减”法则;②沿y轴平移
,按“上加下减”法则.(2)伸缩变换:①沿x轴伸缩时,横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的倍(纵坐标y不变);②沿
y轴伸缩时,纵坐标y伸长(A>1)或缩短(0致,应用诱导公式化为同名函数再平移.例2函数的部分图像大致为（）.【答案】C【解析】由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时，，排
除D；当时，，排除A.故选C.【易错点】函数图形判断通过过排除法【思维点拨】例3函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所
示，则ω，φ的值分别是()A．2，－B．2，－C．4，－D．4，【答案】A【解析】(1)因为＝－，所以T＝π.又T＝(ω>
0)，所以＝π，所以ω＝2.又2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，且－<φ<，故φ＝－.【易错点】求φ时，容易忽略讨论k【思维点拨】题型
三三角函数性质例1（1）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω>0,0<|φ|<)为奇函数，且函数y＝f
(x)的图象的两相邻对称轴之间的距离为.(1)求f()的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的
图象，求函数g(x)的单调递增区间．【答案】（1）f()＝2sin＝（2）[kπ－，kπ＋](k∈Z)．【解析】（1）f(x)＝s
in(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝2[sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)]＝2sin(ωx＋φ＋)．因为f(x)为奇函数，
所以f(0)＝2sin(φ＋)＝0，又0<|φ|<，可得φ＝－，所以f(x)＝2sinωx，由题意得＝2·，所以ω＝2.故f(x
)＝2sin2x.因此f()＝2sin＝.(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f(x－)的图象，所以g(x)＝f(x－)
＝2sin[2(x－)]＝2sin(2x－)．当2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单
调递增，因此g(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．【易错点】【思维点拨】题型四三角函数范围问题例1函数的最大值是
．【答案】1【解析】，令且，，则当时，取最大值1．【易错点】换元之后转化为二次函数在定区间上的定义域及最值【思维点拨】例2函数的最
大值为.【答案】【解析】.【易错点】【思维点拨】辅助角公式运用例3【2017年Ⅲ】函数的最大值为（）.A．B．1C．
D．【答案】A【解析】.故选A.【易错点】本题属于中档题，基础差一点的学生在解题思路方面可能会存在一定问题，三角恒等变换中公式
的选择对于学生来说是一个难点，对于老师教学来说是一个重点，选择合适的公式能起到事半功倍的效果！【思维点拨】题型五三角函数求值问题
例1已知，，则.【答案】【解析】由又，所以.因为，所以，.因为，所以.【易错点】【思维点拨】例2（1）若，则（）(A
)(B)(C)1(D)（2）（）A．B．C．D．【答案】（1）A（2）【解析】（1）由，，得，
或，，所以，则，故选A（2）原式=【易错点】【思维点拨】例3已知函数f(x)＝sinsinx－cos2x.(1)求f(x)的最小
正周期和最大值；(2)讨论f(x)在上的单调性．【答案】（1）f(x)的最小正周期为π，最大值为,（2）f(x)在上单调递增；在上
单调递减【解析】(1)f(x)＝sinsinx－cos2x＝cosxsinx－(1＋cos2x)＝sin2x－cos
2x－＝sin－，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.(2)当x∈时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)
单调递增，当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减．【易错点】【思维点拨】解答技
巧，方法策略等题型六简单的三角恒等变换例1(2018·新疆第二次适应性检测)的值是________．【答案】2【解析】依题意得＝
＝＝＝2.【易错点】【思维点拨】解答技巧，方法策略等例2已知tanα＝2.(1)求tan的值；(2)求的值．【答案】（1）-3（
2）1【解析】(1)tan＝＝＝－3.(2)＝＝＝＝1.【易错点】【思维点拨】解三角函数的给值求值问题的基本步骤(1)先化简所求式
子或所给条件；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．例3若sin2α＝，sin(β－α
)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是()A.B.C.或D.或【答案】A【解析】选A∵α∈，∴2α∈，∵sin2α＝，∴2α
∈.∴α∈且cos2α＝－，又∵sin(β－α)＝，β∈，∴β－α∈，cos(β－α)＝－，∴cos(α＋β)＝cos[(β－α
)＋2α]＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α＝×－×＝，又α＋β∈，所以α＋β＝.【易错点】【思维点拨】
对于给值求角问题，通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正、余
弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正弦或余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较
好．【巩固训练】题型一三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若是角终边上一点，且，
则.【答案】-8.【解析】由tan＝＝，得tanθ＝，∴sinθcosθ＝＝＝＝.故填.2.(1)已知tanα＝2，求值：①
；②4sin2α－3sinαcosα－5cos2α.(2)已知θ∈(0，π)，且sinθ＋cosθ＝，求sinθ－cos
θ的值．【答案】(1)①-1②1(2)【解析】(1)①＝＝＝－1.②4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝＝＝
＝1.(2)∵sinθ＋cosθ＝，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝，∴sinθcosθ＝－.
∵θ∈(0，π)，θ∈，∴sinθ>0>cosθ，sinθ－cosθ>0.由(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθ
cosθ＝1＋＝，得sinθ－cosθ＝.3.若cos(π－α)＝且α∈，则sin(π＋α)＝()A．－B．－C．－D
．±【答案】B【解析】cos(π－α)＝－cosα＝，∴cosα＝－.又∵α∈，∴sinα＝＝＝，∴sin(π＋α)＝
－sinα＝－，故选B．题型二三角函数图像1.为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图象，可以将函数y＝cos3x
的图象(A)A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【答案】A【解析】因为y＝sin3x＋
cos3x＝cos，所以将y＝cos3x的图象向右平移个单位后可得到y＝cos的图象.2.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的
部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝()A．1B．C．D．【答案】D【解析】
观察图象可知，A＝1，T＝π，∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ).将代入上式得sin＝0.由|φ|<，得φ＝，则f(x)＝si
n.函数图象的对称轴为x＝＝.又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，∴＝，∴x1＋x2＝，∴f(x1＋x2)＝sin＝，故选D
．3.已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性.【答案】(1)ω
＝1(2)f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.【解析】(1)因为f(x)＝2sin的最小正周期为π，且ω>0.从而有＝
π，故ω＝1．(2)因为f(x)＝2sin.若0≤x≤，则≤2x＋≤.当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；当<2x＋≤，
即0，函数f(
x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是()A．B．C．D．[0,2]【答案】A【解析】由0得，＋<ωx＋<
ωπ＋.又y＝sinx在上递减，所以解得≤ω≤，故选A．2.设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是()A．f(x)的一个周
期为－2πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝D．f(x)在单调递减【答案】D【解析】根据函数解
析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数一个周期为－2π，A项正确；当x＝时，x＋＝3π，所以cos＝－1，所以B项正确；
f(x＋π)＝cos＝cos，当x＝时，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C项正确；函数f(x)＝cos在上单调递减，在上单调递
增，故D项不正确，故选D．3.已知函数①y＝sinx＋cosx，②y＝2sinxcosx，则下列结论正确的是()A．两个
函数的图象均关于点中心对称B．两个函数的图象均关于直线x＝－对称C．两个函数在区间上都是单调递增函数D．将函数②的图象向左平移个单
位得到函数①的图象【答案】C【解析】函数①y＝sinx＋cosx＝sin，②y＝2·sinxcosx＝sin2x，由于①
的图象关于点中心对称，②的图象不关于点中心对称，故A项不正确；由于函数①的图象不可能关于直线x＝－对称，故B项不正确；由于这两个函
数在区间上都是单调递增函数，故C项正确；将函数②的图象向左平移个单位得到函数y＝sin的图象，而y＝sin≠sin，故D项不正确，
故选C．题型四三角函数范围问题1.已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是.?【答案】【解析】由题意可
得T=2π是f(x)=2sinx+sin2x的一个周期,所以求f(x)的最小值可考虑求f(x)在[0,2π)上的值域.由f(x
)=2sinx+sin2x,得f''(x)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2.令f''(x)=0,可得
cosx=或cosx=-1,x∈[0,2π)时,解得x=或x=或x=π.因为f(x)=2sinx+sin2x的最值只能在x
=,x=,x=π或x=0时取到,且f,f=-,f(π)=0,f(0)=0,所以函数f(x)的最小值为-2.已知y＝3－sinx－
2cos2x，x∈，求y的最大值与最小值之和．【答案】【解析】∵x∈，∴sinx∈.又y＝3－sinx－2cos2x＝3－s
inx－2(1－sin2x)＝22＋，∴当sinx＝时，ymin＝；当sinx＝－或sinx＝1时，ymax＝2.故函数的
最大值与最小值的和为2＋＝.3.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称.
(1)求ω，φ的值；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)若x∈，求f(x)的最大值与最小值，【答案】(1)ω＝.(2)，k∈Z
(3)函数f(x)的最大值为1，最小值为0.【解析】(1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)是R上的偶函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z
，且0≤φ≤π，则φ＝，即f(x)＝cosωx.因为图象关于点M对称，所以ω×π＝＋mπ，m∈Z，ω＝＋，又0<ω<1，所以ω
＝.(2)由(1)得f(x)＝cosx，由－π＋2kπ≤x≤2kπ，且k∈Z得，3kπ－≤x≤3kπ，k∈Z，所以函数的递增区
间是，k∈Z.(3)因为x∈，所以x∈，当x＝0时，即x＝0，函数f(x)的最大值为1，当x＝－时，即x＝－，函数f(x)的最小值
为0.题型五三角函数求值问题1.设α，β为钝角，且sinα＝，cosβ＝－，则α＋β的值为()A．B．C．D．或【答案
】C【解析】∵α，β为钝角，sinα＝，cosβ＝－，∴cosα＝，sinβ＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ
－sinαsinβ＝>0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈，∴α＋β＝.2.已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋2sin
ωxcosωx(0<ω<1)，直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数y＝g
(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求sinα的值.
【答案】（1）f(x)的单调递增区间为(k∈Z)（2）【解析】(1)f(x)＝cos2ωx＋sin2ωx＝2sin，（2）由
于直线x＝是函数f(x)＝2sin的图象的一条对称轴，所以sin＝±1，因此ω＋＝kπ＋(k∈Z)，解得ω＝k＋(k∈Z)，又0<
ω<1，所以ω＝，所以f(x)＝2sin.由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x
)的单调递增区间为(k∈Z).(2)由题意可得g(x)＝2sin，即g(x)＝2cos，由g＝2cos＝2cos＝，得cos＝，
又α∈，故<α＋<，所以sin＝，所以sinα＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.3.已知cos＝，求cos－sin2的值.【答案】－【解析】cos－sin2＝cos－sin2＝－cos－＝－－＝－.题型六简单的三角恒等变换1.已知sin＝cos，则cos2α＝()A．1B．－1C.D．0【答案】选D【解析】∵sin＝cos，∴cosα－sinα＝cosα－sinα，即sinα＝－cosα，∴tanα＝＝－1，∴cos2α＝cos2α－sin2α＝＝＝0.2.计算＝________(用数字作答)．【答案】【解析】＝＝＝＝.3.已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β＝________.【答案】【解析】由cosα＝，0<α<，得sinα＝＝＝，由0<β<α<，得0<α－β<，又∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝＝.由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.∴β＝.44 |
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