2020届高三好教育精准培优专练培优点九线性规划一、求目标函数的最值例1：已知、满足．（1）若，求的最值；（2）若，求的最值；（3）若，求
的最值．【答案】（1），；（2），；（3），．【解析】（1）画出可行域如图：画出直线，并平移得在点处最大，在点处最小．由，求出为，
由，求出为，，．（2）画出可行域如图：表示可行域内的点到原点的距离的平方，由图可在点处最大，在点处最小．∴，．（3）画出可行域如图
：，表示可行域内的点与原点连线的斜率，由图可在点处最大，在点处最小．由，可得为，，．二、根据目标函数最值求参数例2：已知，满足，若
使取得最小值的点有无穷多个，则．【答案】【解析】将变形，得，若要使取最小值的点有无穷多个，则直线与平行，∴．例3：已知不等式组，
所表示的平面区域为面积等于的三角形，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，不等式组，所表示的平面区域如
图：三角形的一个顶点的坐标为．∵直线与轴的交点的坐标为，直线与的交点的坐标为，∴，即，∴三角形的面积为，解得（舍去）．故选D．三、
线性规划的应用例4：某校食堂以面食和米食为主，面食每百克含蛋白质个单位，含淀粉个单位，售价元；米食每百克含蛋白质个单位，含淀粉个单
位，售价元．学校要给学生配制成盒饭，每盒至少有个单位的蛋白质和个单位的淀粉，应如何配制盒饭，才既科学又使费用最少？【答案】每份盒饭
中有面食百克，米食为百克，费用最省．【解析】设每份盒饭中面食为百克，米食为百克，费用元．目标函数为，线性约束条件为，画出可行域如图
：画出直线并平移，得在点处最小，求出点为．所以每份盒饭中有面食百克，米食为百克，费用最省．对点增分集训一、选择题1．已知点和在直线
的两侧，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知，所以，所以．2．已知，满足，则的最小值为（）A
．B．C．D．【答案】B【解析】作出不等式组，表示的区域如图，结合图形可知当动直线经过点时，动直线在轴的截距最大，有最小值，．3．
已知满足，则的最大值等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】作出约束条件所表示的平面区域（如图），而，表示点和的连线的斜率
，由图知点和连线的斜率最大，所以．4．不等式组表示的平面区域的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作出约束条件所表示的
平面区域（如图），，，所以三角形面积为．5．已知，，满足约束条件，若的最小值为，（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所
示，画出可行域（如图内部），目标函数可化为，当直线经过时取到最小值，则，即．6．设实数，满足约束条件，则的最大值为（）A．B
．C．D．【答案】D【解析】由实数，满足约束条件，作可行域如图，由图可知，当过时，取得最大值，由，解得，此时取最大值．7．已知实数
，满足不等式组，若目标函数的最大值为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不等式的可行域，如图所示，令，则可得，当最
大时，直线的纵截距最大，将直线平移可知，目标函数经过点时，取最大值，可得，∴．8．实数，满足条件，目标函数的最小值为，则该目标函数
的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】画出满足条件的可行域，可知目标函数在点处取得最小值，所以，求得，从而目标函数
在点处取得最大值，即．二、填空题9．设，满足约束条件，求的最大值．【答案】【解析】可行域如图所示中的区域，得，，，作出直线，再将
直线平移，当经过点时，轴截距最大，即达到最大值，得，所以最大值是．10．不等式组表示的平面区域的面积为．【答案】【解析】不等式组
所表示的平面区域如图中阴影部分，易求得，点坐标，，∴．11．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过亩，投入资金不超过万元，假设种
植黄瓜和韭菜的产量；成本和售价如下表：为使一年的种植总利润（总利润总销售收入总种植成本）最大，那么黄瓜的种植面积（单位：亩）为．
【答案】【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为，亩，总利润为万元，则目标函数为，线性约束条件为，即，画出可行域如图所示，作出直线，向
上平移至过点时，总利润最大，．三、解答题12．某公司计划年在甲，乙两个电视台做总时间不超过分钟的广告，广告总费用不超过万元，甲，乙
电视台的广告收费标准分别为元/分钟和元/分钟，假定甲，乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为万元和万元，问
该公司如何分配在甲，乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收拾是多少？【答案】见解析．【解析】设公司在甲电视台和乙电视
台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得，目标函数为，不等式组等价于可行域如图所示，作直线，即，平移直线，从图中可知，
当直线过点时，目标函数取得最大值，联立，解得，，∴点的坐标为，∴元，该公司在甲电视台做分钟广告，在乙电视台做分钟广告，公司收益最大
，最大收益是万元．13．老师计划在晚自习解答同学甲，乙的问题，预计解答完一个学生的问题需要分钟，若甲，乙两人在晚自习的任意时刻去问
问题是互不影响的，则两人独自去时不需要等待的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设甲，乙分别在晚上过，分钟后去问问题，则依题意知，，应满足，作出该不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分所示，则所求概率．精准培优专练好教育云平台——教育因你我而变13 |
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