第7讲角平分线的判定与性质
知识框架图：
【知识点与方法梳理】
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线的判定定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
作已知角的平分线的方法：
已知：∠ＡＯＢ(如图)
求作：∠ＡＯＢ的角平分线OC.
作法：1.以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。
2.分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，
两弧在∠AOB内部交于点C。
3.作射线OC，射线OC即为所求。
【经典例题】
例1．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，
求证：CF=EB
例2.已知：如图，AD、BE是△ABC的两条角平分线，AD、BE相交于O点
求证：O在∠C的平分线上
例3.如图AB∥CD，∠B＝90°，E是BC的中点。DE平分∠ADC，
求证：AE平分∠DAB。
【经典练习】
1如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，
OB＝OC，求证∠BAO＝∠CAO
2.如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连结DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论。
3.如图，在CD上求作一点P，使它到OA，OB的距离相等（写出作法）。
4.要将如图中的∠MON平分，小梅设计了如下方案：在射线OM，ON上分别取OA＝OB，过A作DA⊥OM于A，交ON于D，过B作EB⊥ON于B交OM于E，AD，EB交于点C，过O，C作射线OC即为MON的平分线，试说明这样做的理由.
5.如图△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE、DF分别垂直AB、AC，垂足为E、F，求证：EB=FC
6.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是28，AB＝8cm，AC＝6cm，求DE的长．
【巩固练习】
基础训练题
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，
交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是（）
A.m+nB.mnC.D.
2.如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB′，那么该条件可以是（）
A、BB′⊥ACB、BC=B′CC、∠ACB=∠ACB′D、∠ABC=∠AB′C
3、如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=∠OFE。其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.如图，在ΔABC中，分别是AB、AC上的点，
EF=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且，则ΔPE的周长是___________cm.
如图（7）：AC⊥BC，BM平分∠ABC且交AC于点MN是AB的中点且BN=BC。
求证：（1）MN平分∠AMB，（2）∠A=∠CBM。
6.如图：在△ABC中，∠B，∠C相邻的外角的平分线交于点D。
求证：点D在∠A的平分线上。
8.如图9、在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线
AD、CE交于点O，求证：AE+CD＝AC。
能力提高题
1.已知：如图，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC+CD。
2.已知，如图2，∠1＝∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB+BC＝2BD，
求证：∠BAP+∠BCP＝180°。
3、如图，已知∠CAD=∠CDA，AC=BD，E在BC上，DE=EC，求证：AD平分∠BAE
A
BDEC
(提示:延长AE到P,使得EP=AE,连接CP,证三角形ABD与PAC全等)
4.如图，已知AB∥CD，O是∠ACD，∠CAB的平分线的交点，且OE⊥AC于E点，OE=12，求AB与CD之间的距离
AB
E
O
CD
6
A
C
D
E
B
F
F
E
D
C
B
A
O
P
O
D
C
B
A
A
E
B
D
C
F
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