2020届高三好教育精准培优专练培优点十六利用空间向量求夹角一、求直线与直线的夹角例1：在长方体中，，则直线与所成角的余弦值为．二、求直
线与平面的夹角例2：正三棱柱的侧棱与底面边长相等，则与平面的夹角的余弦值为．三、求平面与平面的夹角例3：正方体中，二面角的大小是
．对点增分集训一、选择题1．已知四面体中，平面平面，为边长的等边三角形，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D
．2．正方体的棱上（除去棱）到直线与的距离相等的点有个，记这个点分别为，，，则直线与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．
3．如图所示，正方体的棱，的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．4．在正方体中，点为的中点，则平面
与平面所成的锐二面角的余弦值为（）A．B．C．D．二、填空题5．在正方体中，，分别是、的中点，则异面直线与所成角的余弦值为．6
．如图，在正方体中，，分别为，的中点，则平面和平面所成二面角的正弦值为．三、解答题7．如图，在底边为等边三角形的斜三棱柱中，，四
边形为矩形，过作与直线平行的平面交于点．（1）证明：；（2）若与底面所成角为，求二面角的余弦值．培优点十六利用空间向量求夹角答
案例1：【答案】【解析】在长方体中，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，．设直线与所成角为，则，直线
与所成角的余弦值为．例2：【答案】【解析】设，以为原点，建立空间直角坐标系坐标系如图，则，，，又平面的一个法向量，设与平面的夹角为
，则，故．例3：【答案】【解析】设正方体的棱长为，以为原点建立空间直角坐标系，，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法
向量，则，取，得，设二面角的平面角为，，∴二面角的大小为．一、选择题1．【答案】A【解析】根据题意画出图形如下图所示：∵平面平面，
平面平面，，∴平面．以过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，∴，∴异面直线与所成角的余弦值为．2．【答案】
D【解析】正方体的棱上到直线与的距离相等的点分别为：，的中点，的四等分点（靠近），假设与重合，的中点为，的四等分点（靠近）为，以为
坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，∴，，．设平面的法向量，则，即，取，得，设直线与平面所成角
为，则直线与平面所成角的正弦值为．3．【答案】C【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，，
取平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则，∴直线与平面所成角的正弦值为．4．【答案】B【解析】以为原点建立如图所示的空间直角坐标
系，设棱长为，则，，，∴，．设平面的一个法向量为，所以有，即，解得，∴，∵平面的一个法向量为，∴，即平面与平面所成的锐二面角的余弦
值为．二、填空题5．【答案】【解析】设正方体的棱长为，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，∴，，∴，∴异面直线与所成角的余弦值为
．6．【答案】【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，，，．设平面的一个法向量，则，取，得
，平面的一个法向量，设平面和平面所成二面角为，则，所以．三、解答题7．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）连接交于点，
连接．因为平面，平面，平面平面，所以．又因为四边形为平行四边形，所以为的中点，所以为的中位线，所以为的中点．又因为为等边三角形，所
以．（2）过作平面垂足为，连接，设，因为与底面所成角为，所以．在中，因为，所以，．因为平面，平面，所以．又因为四边形为矩形，所以，
因为，所以．因为，平面，平面，所以平面．因为平面，所以．又因为，所以为的中点．以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角
坐标系，如图．则，，，．因为，所以，，因为，所以，，，．设平面的法向量为，由，得，令，得，所以平面的一个法向量为．设平面的法向量为
，由，得，令，得，，所以平面的一个法向量为．所以，因为所求二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．精准培优专练好教育云平台——教育因你我而变11 |
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