2020届高三好教育精准培优专练培优点四恒成立问题一、最值分析法例1:设,当时,恒成立,求的取值范围.二、参变量分离法例2:已知函数,如 果当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.三、数形结合法例3:已知不等式在上恒成立,则实数的取值范围是.对点增分集训一、选择题1 .已知,,若对任意的,恒成立,则实数的取值范围是()A.B.C.D.2.已知函数,当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是()A .B.C.D.3.已知,不等式在上恒成立,则的取值范围是()A.B.C.D.4.若不等式对任意恒成立,则的取值范围是()A.B .C.D.5.已知函数,若在上恒成立,则的取值范围是()A.B.C.D.6.设正数,,对任意,不等式恒成立,则正数的取值范围是( )A.B.C.D.二、填空题7.已知函数,若恒成立,则实数的取值范围是.8.若不等式对于任意的都成立,则实数的取值范围是.9 .已知函数,对任意的,都有,则最大的正整数为.10.已知,,若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围为.三、解答题11.已知函数 .(1)求函数在点处的切线方程;(2)如果当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.12.已知函数,,.(1)当时,求函数的单调区间; (2)若对于任意的,,不等式恒成立,求实数的取值范围.13.已知函数,其中.(1)讨论函数的单调性;(2)若对于任意的,不等式在上 恒成立,求的取值范围.14.已知函数,.(1)求函数的单调区间;(2)若对于任意的恒成立,求的取值范围.培优点四恒成立问题答案 例1:【答案】【解析】恒成立不等式为,只需,令,则对称轴为.①当时,在单调递增,∴,∴,即;②当时,在单调递减,在单调递增,∴,∴ ,即.综上,.例2:【答案】【解析】∵,∴,即只需要即可,设,∴,令(分子的符号无法直接判断,所以考虑再构造函数进行分析)∴,∵, ∴,∴在单调递增,∴,∴,∴在单调递增,∴当时,,∴.∴实数的取值范围是.例3:【答案】【解析】先作出的图象,观察图象可得:若要使 不等式成立,则的图象应在的上方,∴应为单增的对数函数,即,另一方面,观察图象可得:若要保证在时不等式成立,只需保证在时,即可,代入 ,可得,综上可得:.一、选择题1.【答案】D【解析】由,可得,∴,设,∴,∴在上单调递增,在上单调递减,∴,∴,∴.2.【答案】D 【解析】若恒成立,则,,∴在单调递减,在单调递增,,,∴,∴.3.【答案】A【解析】作出的图象可知为减函数,∴等价于在恒成立,即, 解得.4.【答案】B【解析】恒成立不等式变形为,即的图象在图象的上方,先作出的图象,对于,可看作经过平移得到,而平移的距离与的取值 有关.通过观察图象,可得只需,解得.5.【答案】D【解析】由,可得,∴,∴,其中.∴只需要,令,,令,,当时,,∴在单调递减,又, ∴,即,∴在单调递减,∴,∴.6.【答案】B【解析】由,可得,∴,,可得在单调递增,在单调递减,故,∴若原不等式恒成立,只需,再进 行一次参变分离,,则只需,,∴,∴,解得.二、填空题7.【答案】【解析】∵,即恒成立,∴,若不等式恒成立,只需,令,∵,∴.8.【 答案】【解析】先作出的图象,观察图象可得:若要使不等式成立,则的图象应在的上方,∴应为单减的对数函数,即,观察图象进一步可得,要使 不等式对于任意的都成立,只需时,,即,∴.9.【答案】【解析】,即,作出函数和的图象,可知,,,∴,即的最大整数值为.10.【答案 】【解析】令,可得,,由可得,当时,,,,即,∴在上单调递增,∴,即,解得,结合,可得.三、解答题11.【答案】(1);(2).【 解析】(1),,,∴函数在点处的切线方程为.(2)当时,由,可得,即只需要,设,令,,∵,∴,在单调递增∴,∴,在单调递增,,.综 上,实数的取值范围为.12.【答案】(1)函数在上单调递增,在上单调递减;(2).【解析】(1)当时,,,易得当时,,当时,,∴函 数在上单调递增,在上单调递减.(2)恒成立,只需,由,得,令,解得,∴在单调递减,在单调递增,∴,∴,都有恒成立,即只需.,当时, 令,则,与矛盾,当时,,∴解得,∴在单调递增,在单调递减,∴,∴,解得,综上所述:.13.【答案】(1)见解析;(2).【解析】( 1),当时,可得恒成立,∴在单调递增;当时,令,可解得或,∴在,单调递增;在,单调递减.(2)若在上恒成立,则只需,由(1)可知在 的边界处取得最大值,∴,即对任意的恒成立,∴,可得.综上,的取值范围为.14.【答案】(1)见解析;(2).【解析】(1),①当时 ,恒成立,∴在上单调递增;②当时,函数在上单调递减,在上单调递增.(2)由可得,设,,,∴恒成立,,∴,否则若,由于连续,∴必存 在区间使得,即在单调递减,进而,使得,不符题意.∴.下面证任意的均满足条件.构造函数(时的)则,当时,,∴,∴,.若要恒成立,只需 证明即可.又,,可得,令,,当时,,∴在单调递增,,即,∴在单调递增,成立,∴时,,恒成立,符合题意.综上,的取值范围为.精准培优专练好教育云平台——教育因你我而变13 |
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