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王德春:几何学的本质

2019-10-30  物理网文

   (物理学201512)

   几何学是人们在长期的生活实践中逐渐发展起来的理论思维成果之一。在它的启蒙阶段,现实中的物体形状和理论上的几何形状,一般是被混为一体或不加区分的,直到柏拉图时代,人们才开始注意到几何形状对于理论和现实的不同。人们所画在物体表面上的线都是有一定宽度的,它并非是几何学理论所意味的那种没有宽度的线;画在沙面上的三角形诸角,实际上是一些小块的面积,因此也不是理想的尖角。几何学概念的意义与体现它的现实事物的不相吻合,使柏拉图相信在超越现实事物的表面,一定有着“理念”事物存在,它们以十全十美的完善方式,显示出理想的几何属性。因而可靠的几何学知识,不是由现实事物来直接提供的,它需要人们对“理念”事物的一种“洞见”行为才能获得。

  柏拉图的观点,代表了对几何学本质的早期见解,它使人们清楚地认识到,理想化的几何形状并不存在于人们生活的现实空间中。由于人们普遍认为欧几里德几何学中的每一条公理或公设,都不能从更为基本的前提中推导出来,而且每一条公理或公设对于处理现实事物都是有效的,所以,康德紧紧抓住几何学公理的不证自明性,认为几何学知识一定是通过逻辑以外的其它方式才能获得,并且是先天的和综合的。人们对现实事物所具有的几何特征的认识,实际上是把现实事物置于几何学先天公理的构架上使之呈现的结果。同柏拉图一样,康德也把确定性的几何形状,同现实空间中的事物形状区分开来,但是他没有用理想的事物来解释几何学的本质,而是认为几何学知识是先于人类认识的,它们不能从人们的认识中得到解释和说明。

  随着实验科学的发展,以及面对一系列通过实验所取得的丰硕成果,人们对科学理论的鉴别,逐渐倾向于依赖客观实验的检验。人们开始放弃柏拉图和康德的神秘主义几何学观点,并力图使几何学知识在现实空间中,能够得到客观实验的证明。高斯曾经测量过以三座山峰的顶端为顶点的三角形诸角,以试图验证这个三角形的内角和是否等于1800。后来爱因斯坦对此解释说,三角形内角和不等于1800,只有在很大的空间范围上才会明显,所以,对于我们附近的现实空间,欧几里得几何学是近似有用的。但是,高斯未能说明他所测量的三角形,为什么等同于理论意义上的几何三角形,爱因斯坦也没有区分三角形对于理论和现实的不同,他们回避了几何学中绝对理想化的几何形状,不存在于现实空间这一根本性的前提。理想化的直线和平面,在现实中没有与它们相对应的客观对象,研究直线平面几何形关系,应当只能针对理论意义上的直线和平面所构成的几何形及其几何关系。只有将几何学的研究对象,看作与物理学的研究对象一样,是外在于自然空间的情况下,人们才会考虑理论中的几何定律,是否符合客观实际的问题。非欧几何学者就是在这样的情况下,来提出他们的非欧几何学观点的。

  非欧几何学者认为,人们在实际应用几何学知识时,总是依据直观经验来选择几何定律的。由于空间弯曲这一客观原因,人们观察下的直线和平面,在事实上可能是曲线和曲面,因此,对于这样的几何学应用对象,人们只会依据直观经验来选择直线平面几何形定律,而不会把它们当做曲线曲面几何形问题来进行处理的。所以在理论上,人们仍然应当将这种事实上的曲线和曲面,称为直线和平面。同传统的欧氏几何学相比,非欧直线和平面,是观察下的直线和平面、事实上的曲线和曲面;欧氏直线和平面,是观察下的直线和平面、同时也是事实上的直线和平面。

  观察下的直线和平面、在事实上同时也是直线和平面,只有在理想化空间中才能实现,对于现实空间这种情况是不可能存在的。所以,非欧几何学者坚持认为欧几里德几何学,只能正确地适用于理想化空间中的事物形状,如果对欧几里德几何学在现实空间中应用时存在的偏差,不能采用有效的“修正”方法,那么,就有必要专门针对现实空间重新建立一套完整的几何学知识,这种几何学知识需要与空间弯曲的方式及程度密切地联系起来。其中,传统的欧几里德几何学,应当是在假设空间弯曲程度为零时的一种理想化特殊情况。

  从内在理论逻辑上来看,非欧几何学与欧氏几何学之间是不存在矛盾的,因为两者的几何学命题在结论上的不同,完全取决于两者在直线和平面概念上的不同,对此,人们不能因为非欧几何学和欧氏几何学同样都使用着直线和平面概念“称谓”,而误认为非欧平行线公设和欧氏平行线公设两者的前提条件,就是完全相同的。

  在几何学中,“线”是没有宽度的,“面”也是没有厚度的,如何将非欧几何学概念、特别是非欧直线和平面概念,在现实空间中具体地实现,始终是非欧几何学者无法解决的问题。即使是高斯等人给出的曲线曲面非欧几何形模型,也只能存在于理想化空间之中,它们不能脱离“线无宽和面无厚”这些几何学基本概念所必须的基本要求,而外在于现实空间中。另外,直线和平面概念所具有的“无限”含义,只有在理论上被理解,它们是欧几里德几何学中的第五公设或平行线公设成立的必要前提条件。仅凭实际观察,不能给予非欧直线和平面概念以“无限”的含义。那么,非欧平行线公设表述的具体几何关系又是什么呢?

  事实上,欧几里德几何学中的第五公设表述的是平行线公设的例外情况,因为在同一平面上两条直线之间的位置关系,除了相互平行就是相交,所以,人们在习惯上认为“平行”概念和“不相交”概念是等价概念。但是,在几何学中,平行概念只能用两条直线之间的距离处处相等来进行定义,该定义不仅要适用于直线平面几何关系,对于立体几何关系也同样要适用,而两条不相交直线之间的距离处处相等,只有在同一欧氏平面上才会出现,对于曲线曲面立体几何形来说,平行概念和不相交概念就不能被看作是等价的概念。非欧几何学者可以在“观察”时认为同一“平面”上的不相交直线,是相互平行的直线,但不能从“事实上”来认为同一“曲面”上的不相交曲线,是相互平行的曲线。非欧几何学者,实际上是在以观察时因错觉而认为的直线和平面为前提,然后按照事实上的曲线和曲面来考察几何关系,之后将得出的结论,再回过头来用误认为的直线和平面来陈述的,他们之所以这样看待具体的几何关系的理由,就是认为几何学中的直线和平面,是外在于自然空间中的直线和平面。据此他们认为,由于自然空间不存在绝对的理想化平直情形,因而传统的欧氏几何学,只是一种近似正确的几何学理论。至于客观的自然空间中,是否存在着几何学所必须要求的点、线、和面,则是非欧几何学者所没有考虑的。

  认为欧几里德几何学中的第五公设陈述的几何关系,被蕴含在其它具体的几何学命题中,并且可以从其他的几何学命题中推导出来,恰恰说明了第五公设在欧氏几何学中并不是孤立的,那种认为可以割断第五公设与其它具体几何学命题之间的逻辑关系,并且可以舍弃或改变第五公设的结论,而不会与其它具体的几何学命题产生矛盾的观点,是毫无根据的。几何学是以对点、线和面等一般性概念所必须具有的理论要求,所作出的公共假设为前提条件的,然后才能根据这一前提条件,来对直线和平面等具体概念及其特性,作出具体的定义,这样定义出的直线和平面概念,才能规定着所有关于直线平面几何形命题的前提与结论。欧几里德几何学中的第五公设或平行线公设,实际上不是几何学首要的公共假设条件,它只是一个具体的直线平面几何形命题,如果不对直线和平面概念重新作出不同的定义,要改变第五公设或平行线公设的结论,在理论上是绝对不可能的。所以,要通过改变直线和平面概念,来改变欧氏第五公设或平行线公设的结论,就必然要改变欧氏几何学中其它所有涉及到直线和平面概念的几何学命题。非欧几何学者认为仅仅改变第五公设或平行线公设的结论,就能代表一种全新的几何学知识体系,是根本错误的。

  几何学是一门纯粹抽象的理论知识体系,它的本质属性,是由点、线和面等基本概念必须具有的一般性质所决定的,它的研究对象,是由点、线和面等具体概念构成的具体几何形。欧几里德几何学始创于二千多年以前的古希腊时代,虽然后来的人们陆续做了一些修补工作,但始终没有触及到几何学的根本性问题。即使当今普遍使用的几何学理论体系,在逻辑结构和理论内容上,都明显存在着混乱和错误之处。比如,几何学公设应当是对点、线和面等一般性概念所必须具有的性质作出的公共假设条件,它不涉及到任何具体的几何概念和具体的几何形及其几何关系。而在《几何原本》中,欧几里德未能将“点是没有部分的”、“线有长无宽”和“面有大小无厚”等一般性几何概念所必须具有的性质,做为确立整个几何学时必须具有的公共假设条件来首先给出,而是将它们通过直线和平面等具体概念、并且是以定义的方式作出了具体说明;对于曲线曲面几何形中的“线”和“面”的概念所具有的一般性质,欧几里德没有明确地将它们同时概括在内。又如,欧几里德在《几何原本》中用点来定义直线的性质,和用直线来定义平面的性质,都不能保证直线和平面概念在理论意义上的绝对“连续”的性质;它导致了后来的人们,误认为“点”是构成一切几何对象的唯一基本要素,即点构成线、线构成面、面构成体。

  对几何学基本概念的性质事先做出设定,是确定几何学中所有具体概念的前提条件,确定了几何学中的具体概念,然后才能由它们构建各种不同的几何形,进而考察它们所具有的各种几何关系。对于一切几何形的认识,和它们所具有的几何关系的理解,完全都依赖于构建这些具体的几何形时使用的具体概念所具有的理论含义。不事先明确点、线和面等基本概念所具有的性质,然后再椐此确定它们的具体概念,如直线和平面、曲线和曲面等,首先来讨论几何形及其所具有的具体几何关系,在理论逻辑上原本就没有正确性可言。正因为传统的欧氏几何学存在着这一方面的缺陷,非欧几何学者才把几何学的研究对象,置于现实空间来考虑的。

  按照正常的逻辑要求,未加明确的概念是不能做为前提条件来加以使用的,即人们不可能根据未知的前提条件,来推导出可知的结论。在所有的几何学命题中,都必须用已知的公设和具体概念等做为前提条件,这就要求人们在确定具体的几何学命题时,对所使用的前提条件都必须严格地审查,即使是众所周知的几何条件,在理论上没有明确之前,都是不能做为前提条件来使用的。

  在《几何原本》中,欧几里德没有从认识的高度上,对点、线和面等一般性概念所必须具有的性质,首先作出公共假设条件,而是将它们以具体的定义和几何关系来具体陈述的。因此,欧几里德几何学在整体框架上,没有将几何学首先必须给出的公共假设条件,同此后的具体定义和命题在逻辑层次上严格地区分开来。《几何原本》中所述的五条公设,实际上也只是对具体概念的定义,和对具体几何关系的陈述,它们不能成为几何学首先必须给出的公共假设条件。

  几何学的研究对象,是由点、直线、曲线、平面、曲面等具体概念构成的具体几何形。在确定这些具体概念之前,对点、线和面等一般性概念所必须具有的性质,首先应当加以明确。在理论逻辑上,点、线和面等一般性概念及其所具有的性质,是整个几何学理论体系的首要前提条件,它们在几何学中不能从更为基本的前提条件中逻辑地推导出来;它们只能依据人类认识的固有要求,以公共假设的方式来首先设立。这就势必要求人们来追溯点、线和面等一般性概念,在人类认识中的最初来源问题。

  “线”是人们在日常生活和工作中遇到的基本概念之一。在起初上,人们线的观念的形成,来源于太阳、山脉和动植物等等在人们观察下呈现的“轮廓线”。这种轮廓线将人们看到的东西与它相邻的空间领域截然地区分开来,并展现出一定的空间形状。久而久之,人们便逐渐懂得了用在墙面或其它物体上面做出的线条,来表达他们在现实生活中看到的事物形状。在人们的观察下,轮廓线实际上就是两种相邻的事物体系、在人们的观察中呈现的分界线,这种分界线对于人们的观察而言,只起到区别“分界线”两边事物体系的作用,它本身是没有“宽度”意义的。所以,人们在现实生活中用“线条”来表达某一具体事物的形状时,并不在意他们所做出的线条宽度问题,线条的宽度,在不影响人们对事物形状的表达和理解的情况下,一般是被忽略不计的。

  “轮廓线”或“分界线”,只是人们在观察外在事物时感知的主观结果,它并不是外在事物本身所固有的。人们画在物体上面的可见线条,表达的是人们在观察时感知的“轮廓线”或“分界线”,它的理论意义同样也不能在现实空间中实现。所以,几何学中的线,实际上就是对人们在观察时感知的“轮廓线”或“分界线”所作出的主观抽象,它所具有的“有长无宽”的性质,完全是由没有宽度的“轮廓线”或“分界线”所决定的。

  从“平面”的角度上来观察和识别外在事物的形状,可以感知到两种相邻事物体系之间的“轮廓线”或“分界线”;如果从“立体空间”的角度上来观察和识别外在事物的形状,就可以感知到物体与相邻的空间领域之间的“分界面”。同“分界线”一样,这种“分界面”对于人们的观察而言,只起到区分“分界面”两边事物体系的作用,它本身是没有“厚度”意义的。所以,人们在用可见线条来表示“分界面”、进而表达具体物体的外表面时,从来不会认为它们是有“厚度”的。

  根据以上线与面的概念在认识上的来源,以及在实际应用中的必然要求,几何学的公共假设条件可以设立如下:

1、由于物体的形状在人们的观察中,是以没有宽度的“界线”来呈现的,所以,设立用以表达物体形状的几何线,必须没有宽度意义。

2、由于人们在观察时感知到的不同“界线”之间有着共同连接点,所以,用以表示这种不同“界线”的几何线,可称为相交几何线;其中,不同几何线之间的相交位置称为交点。“点”可以表示几何空间中的任何具体位置,它本身没有面积或体积意义。

3、由于人们在观察中感知到的“界线”总是连续的,所以,设立用以表达物体形状的几何线也必须是连续的,以保证两条几何线能够任意相交,并存在交点。

4、由于物体的表面在人们的观察中,是以没有厚度的“界面”来呈现的,所以,设立用以表达物体表面的几何面,必须没有厚度意义。

5、由于人们在观察中感知的“界面”总是连续的,所以,设立用以表达物体表面的几何面必须是连续的,以保证两个几何面能够任意相交,并存在绝对连续的公共交线。

6、物体的立体形状在人们的观察中是以“界线”和“界面”来共同呈现的。由于“界线”和“界面”是连续的,所以,用以表达物体形状的几何形体的内部,也应当是连续的,以保证几何形体被几何面任意所截时,其截面为绝对连续的几何面。提示:

(1)、无论几何线上排列的几何点如何之多,它们所占据的长度始终为零;

(2)、无论几何面上排列的几何线如何之多,它们所占据的面积始终为零;

(3)、无论几何形体内部的截面如何之多,它们所占据的体积始终为零。

(4)、以上三条提示所述定律,已经被包含在上述公共假设条件中,在理论上可以不需要特别说明。

  在对几何学中的具体概念和几何关系作出具体定义时,应当考虑先后逻辑次序,即在作出具体定义时,不能使用在此前未加明确的几何条件。下列部分定义可供参考:

1、在几何空间中,任意两点之间的最短连线称为有限直线;直线在理论意义上可以双向无限延长。除直线外其它的几何线统称为曲线,其中包括规则曲线和不规则曲线。直线是所有几何线中的一种特殊情况。

2、在几何空间中,以不在同一直线上的任意三点之间的最短连线为边缘线的所有几何面中,面积最小的几何面称为有限平面;平面在理论意义上可以四向无限伸展。除平面外,其它的几何面统称为曲面,其中包括规则曲面和不规则曲面。平面是所有几何面中的一种特殊情况。

3、在几何空间中,与已知相交直线完全重合的平面只有一个(已被包含在定义2中)。如果相交直线将与它们重合的平面分割成四个全同的部分,则称该两条相交直线,为相互垂直的直线;其中的交点称为垂足。任一直线上的给定点到垂足之间的直线长度,称为点到直线之间的距离。

4、在几何空间中,间距处处相等的两条直线,称为相互平行的直线。

5、由两条相交直线的半部分构成的几何形称为角;构成角的两条直线之间的相互倾斜程度,称为角度。在同一平面上,如果将两条相互垂直的直线所构成的角,定义为直角,则平面周角为四直角。

6、规则曲线的弯曲强度,称为曲率。在同一平面上,由一条曲率不变的曲线构成的封闭几何形,称为图形。圆形的中心位置称为圆心;从圆心到封闭曲线上任意一点的直线长度,称为圆形的半径。圆形是平面上所有曲线几何形中的一种特殊情况。

  用数学方法来描述几何形及其几何关系,可以称之为数学几何学,其中也包括人们熟知的解析几何学。在数学几何学中,几何形及其几何关系是事先存在的描述对象,数和数学方程是描述时所使用的理论工具。人们根据几何对象的具体不同,可以用数量方法和坐标方法对它们进行描述。数量方法是通过单位几何线长度,将几何形中的几何线长度在量上的关系,直接转化为数的关系来表述,比如a2+b2=c2(勾股定理)、和л(圆周率)=L(周长)/R(直径)等。坐标方法是通过单位几何线长度,将解析方程中x、y、z的不同解转化为具体的几何线长度或几何空间距离,然后在已知空间坐标系中确定解析方程不同的解所对应的不同坐标位置点,从而达到用这些坐标位置点来表达具体几何形及其几何关系的目的。在这里,空间坐标系不是由三条相互垂直的“数轴”构成的;解析方程的解做为纯粹的数,也不能直接对应空间坐标系中的具体坐标位置,它需要通过单位几何线长度,还原为具体的几何线长度或几何空间距离。

  用数量方法来描述几何形及其几何关系,具有理论上的绝对性意义;因为它只涉及到对几何线长度的数量化问题。用坐标方法来描述几何形及其几何关系,就只能具有理论上的相对性意义;因为在空间坐标系中,无论怎样密集的坐标位置点,都始终不能构成绝对连续的几何线。数学概念终究不是几何学概念,几何学在本质上也不从属于数学,它们本身各自都有着根本不同的研究对象。从一开始,人们在用数和数学方程来描述几何形及其几何关系时,就已经忽视了“单位几何线长度”这个重要的基本前提,习以为常的人们,始终都误认为几何学和数学,是一门不可分割的同一知识体系。但是,只要追根溯源,几何学同数学的区别,是不难看的。

               二O一三年三月六日于中国马鞍山

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