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一文读懂梯度下降算法

 吴敬锐 2019-10-30

  这篇博文主要讲解下梯度与方向导数的关系、等值线图中梯度的表示,以及梯度的应用。因涉及太多高数的知识点,在此就不一一详述了,只是简单梳理下知识点,有所纰漏还望纠正指出,文末附有参考文献,借图。

 一、方向导数与梯度

   1、方向导数

  • 导数引言

  我们知道在二维平面上,F(x,y)=0 有斜率的概念,从名字上看就是“倾斜的程度” 。百度百科的解释:表示一条直线(或曲线的切线)关于(横)坐标轴倾斜程度的量。它通常是直线(或曲线的切线)与(横)坐标轴夹角的正切,或两点的纵坐标之差与横坐标之差的比来表示。导数的几何意义就是该函数曲线在这一点上的切线斜率,曲线上的点可导时,也就能找到过该点的切线。

  • 方向导数

  知道了二维平面上的斜率(即导数)的概念,延伸到三维呢?那就有了方向导数的概念,在二维平面上,任何曲线上可导一点都能找到切线,那曲面上有全微分(可微)的一点都能找到过该点的一个切平面,并且在切平面上任意方向的向量都是该点的方向导数。下面形式化表述什么是全微分,以及方向导数怎么定义。

  • 形式化表述

  我们先了解下全增量的概念:

  如果函数 z=f(x,y) 在点p(x,y) 的某邻域内有定义,设为这邻域内任意一点,则称这两点的函数值之差  为函数在点p对应于自变量增量的全增量,记为

  全微分:

  若在p点的全增量 Δz 可以表示为 Δz=AΔx+BΔy+o(ρ),其中A、B不依赖于Δx, Δy,仅与x,y有关,ρ趋近于0,,此时称函数z =f(x, y)在点 p 处可微分,AΔx+BΔy 称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分,记为 dz=AΔx +BΔy。那么A、B分别怎么求呢?该函数在点(x,y)的偏导数 ,当Δx=0 和 Δy分别为0 时,利用全增量的公式可推出

  我们上面提到了偏导数的概念,下面给出偏导数几何意义:

  做了这么多铺垫,终于到了主角方向导数出场了。

  我们对比二维平面上曲线的导数来理解方向导数的概念,导数的公式是

  三维空间的方向导数公式如下:

                                       其中ρ趋近于0,

  由以上求得全微分的公式 ,代入即

其中ρ趋近于0,(见下图)

    2、梯度

  • 梯度的由来

   函数 z = f(x,y) 在p(x,y) 点沿哪一方向增加的速度最快? 我们定义梯度的方向是函数在该点增长最快的方向。由方向导数公式推导如下

  其中cos(G,el)=1时,方向导数取得最大值 |G|,我们称G为梯度。梯度的方向与偏导的方向一致,增加的速度最快。二元函数z=f(x,y)的梯度,记为

  可知,函数在某点的梯度是一个向量,它是方向导数取得最大值的方向,而它的模为方向导数的最大值。

  • 等值线与梯度的表示

  梯度的方向与过点p的等值线上的法向量的一个方向相同,且指向等值线(函数值)增加的方向。在几何上 z = f(x,y) 表示一个曲面,曲面被 z=c 所截得的曲线在xoy轴投影如下图2,对f(x,y) = c2 对x求导,其中涉及到y是x的隐变量,得

  在p点的切线斜率是,则由以上公式可得法向量的斜率是,这也正是梯度的斜率(下图1)。又由于沿梯度的方向导数大于0,所以沿梯度方向是函数增加。

图1

图2 

 二、梯度的应用

 在机器学习领域,梯度有很广泛的应用,比如常见的梯度下降算法,它是求解无约束最优化问题的一种常用方法。我们先列出损失函数,求损失函数的最小,我们只要沿着梯度的反方向下降,一步步到极小值。这也是一种贪心算法。但是在求梯度的时候,往往要用到全部训练样本,当训练样本数量大的时候,这是个很耗时的工程,所以提出随机梯度下降和批量梯度下降,求解梯度选用少量样本。

参考博客:

高数同济9.7方向导数和梯度 https://wenku.baidu.com/view/fba284f0172ded630b1cb685.html

第6章多元函数微分学3-10(全增量及全微分) https://wenku.baidu.com/view/4f39fda0941ea76e59fa041d.html

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