高考真题-理科数学-2015
2
22
mm2m
22
，即，所以OQ??2，得.
?n?11?n?Q0,?2
??
2
m
22
2
20.解析（1）6，12，24.
（2）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a是3的倍数.
k
2a,a18
?
nn
由a?，可归纳证明对任意nk，a是3的倍数.
?
n?1n
2a?36,a?18
?nn
如果k?1，则M的所有元素都是3的倍数；
如果k?1，因为a?2a或a?2a?36，所以2a是3的倍数，或2a?36是3
kk?1kk?1k?1k?1
的倍数，于是a是3的倍数.类似可得，a，…，a都是3的倍数.从而对任意n1，a
k?1k?21n
是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数.
综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则M的所有元素都是3的倍数.
2a,a18
?
n?1n?1
（3）由a36，a?N，a?，可归纳证明a36n?2,3,.
??
?
11nn
2a?36,a?18
?n?1n?1
2a,a18
?
11
因为a是正整数，a?，所以a是2的倍数.
?
122
2a?36,a?18
?11
从而当n3时，a是4的倍数.
n
如果a是3的倍数，由（2）知对所有正整数n，a是3的倍数，因此当n3时，
1n
a?12,24,36M
??，这时，中的元素的个数不超过5.如果a不是3的倍数，由（2）知，
n1
对所有的正整数n，a不是3的倍数，因此当n3时，a?4,8,16,20,28,32，这时M
??
nn
的元素的个数不超过8.
M?1,2,4,8,16,20,28,32
当a?1时，??有8个元素.
1
综上可知，集合M的元素个数的最大值为8.
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