反比例函数复习指导
一、考点提示
1、掌握反比例函数的定义；
2、掌握反比例函数的图象并能够熟练的画出反比例函数的图象；
3、掌握反比例函数的性质并能够熟练的应用反比例函数的性质；
4、掌握一元一次反比例函数的性质。。的函数，称为反比例函数，其中x,y是两个变量，y是x的函数，自变量x的取值范围是x≠0的一切实数。
例1．（2018常德）下面的函数是反比例函数的是（）
A．B．C．D．
解析：（1）考查反比例函数的定义，关键是分析判断对于变量x,y，是否符合的形式的关系式，如果符合，则称y是x的反比例函数，自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，变量x,y都不能等于0。所以上例的结果是：D，现在考查往往单独考查。
考点2．考查反比例函数的图象和性质
考查方向：
（1）K值与反比例函数图象的分布；
（2）反比例函数考查反比例函数的增减性；
例2．（2018仙桃市()，下列说法不正确的是
A.它的图象在第一、三象限 B.点（，）在它的图象上
C它的图象 D.随的增大而增大
________；
解析：（1）反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。（2）用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：①设所求的反比例函数为：（）②根据已知条件，列出含k的方程；③解出待定系数k的值；④把k值代入得反比例函数关系式中，如上解：。
考点4．反比例函数在实际生活中的应用
考查方向：
（1）利用实际问题建立反比例函数模型（2）实际问题中的反比例函数自变量受到一定的限制（3）反比例函数问题往往与方程、不等式结合。
例4．(本题8分)如图，帆船A和帆船B在太湖湖面上训练，O为湖面上的一个定点，教练船静候于O点．训练时要求A、B两船始终关于O点对称．以O为原点，建立如图所示的坐标系，x轴、y轴的正方向分别表示正东、正北方向．设A、B两船可近似看成在双曲线上运动．湖面风平浪静，双帆远影优美．训练中当教练船与A、B两船恰好在直线y＝x上时，三船同时发现湖面上有一遇险的C船，此时教练船测得C船在东南45°方向上，A船测得AC与AB的夹角为60°，B船也同时测得C船的位置(假设C船位置不再改变，A、B、C三船可分别用A、B、C三点表示)．
(1)发现C船时，A、B、C三船所在位置的坐标分别为A(_______，_______)、B(_______，_______)和C(_______，_______)；
(2)发现C船，三船立即停止训练，并分别从
A、O、B三点出发沿最短路线同时前往救援，
设A、B两船的速度相等，教练船与A船的
速度之比为3：4，问教练船是否最先赶到？
请说明理由．
解析：反比例函数在现实生活中广泛存在，可以帮助我们利用反比例函数解决许多实际问题，应用反比例函数解决实际问题的关键是将实际问题转化为数学问题，准确找出反比例函数关系，建立反比例函数建模。建立函数模型有两种思路：（1）一是通过问题提供的信息，知道变量之间有什么函数关系，在这种情况下，可先设出函数的表达式，再由已知条件确定表达式中的字母系数即可；（2）从问题本身的条件中不知道变量之间是什么函数关系，在这种情况下和列方程解实际问题一样找出等量关系，把变量联系起来就得到函数的表达式。如上题解：(1)A(2，2)，B(－2，－2)，C(，)；
(2)作AD⊥x轴于D，连结AC、BC和OC．
∵A的坐标为(2，2)∴∠AOD＝45°，AO＝
∵C在O的东南45°方向上，∴∠AOC＝45°＋45°＝90°
∵AO＝BO，∴AC＝BC．又∵∠BAC＝60°，
∴△ABC为正三角形．∴AC＝BC＝AB＝2AO＝．
∴OC＝·＝．
由条件设：教练船的速度为3m，A、B两船的速度均为4m．
则教练船所用的时间为：，A、B两船的所用的时间为．
∵，，∴
∴教练船没有最先赶到．
考点5．反比例函数的几何意义
考查方向：
根据反比例函数图象的情况确定K的取值k值的几何意义（过反比例函数图象上任意一点做x、y轴的垂线，与两坐标轴围成的矩形面积等于∣k∣）。
例5．（2018福州）如图，在反比例函数（）的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作轴与
轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则．
解析：研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N，则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y||x|=|xy|=|k|。所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数|k|。从而有。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。应用一般有三种情况：（1）比较面积大小；（2）求面积应用三；（3）确定解析式。如上解：
考点6．反比例函数与一次函数的综合
考查方向：（1）已知反比例函数与一次函数求它们的图象的交点坐标，可由列方程组解得；（2）判断含有同一字母系数的反比例函数与一次函数的图象在同一坐标系中的位置情况，可先假设一条正确求另一条解析式；（3）已知含有反比例函数或一次函数的信息，求反比例函数或一次函数的解析式，一般抓住定点或与其它函数综合。
例6．（2018郴州已知一次函数y=ax＋b的图像与反比例函数的图像交于A（2，2），B(－1，m)，求一次函数的解析式．因为B（－1，m）在上，所以所以点B的坐标为（－1，－4）又A、B两点在一次函数的图像上，所以所以所求的一次函数为y=2x-2（单位：kg/m3）是体积（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图3所示，当时，气体的密度是（）
A．5kg/m3 B．2kg/m3C．100kg/m3 D，1kg/m3
解析：新的课程标准强调综合应用。为此，源于现实生活横跨几个学科的试题应运而生，在物理、化学、生物等方面靠拢。
三、链接加强
一，选择题
1．（2018湛江）已知三角形的面积一定，则它底边上的高与底边之间的函数关系的图象大致是（）
ABCD
2、（2018南京市）已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（）
A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限D．第三、四象限(k＞0)的部分图象如图所示，A、B是图象上两点，AC轴于点C，BD轴于点D，若AOC的面积为S，BOD的面积为S，则S和S的大小关系为（）
A．S＞SB．S=SC．S＜SD．无法确定=x－1与反比例函数y=的图像交于点A(2,1),B(－1,－2),则使ｙ＞ｙ的ｘ的取值范围是（）
A.x＞2B.x＞2或－1＜x＜0C.－1＜x＜2D.x＞2或x＜－1
5．（2018乌鲁木齐）．反比例函数的图象位于（）
A．第一、三象限B．第二、四象限C．第二、三象限 D．第一、二象限
6．（2018茂名）已知反比例函数=(≠0)的图象，在每一象限内，的值随值的增大而减少，则一次函数=-+的图象不经过
A．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限2018宁波的边长为2，反比例函数过点，则的值是（）
A． B． C． D．
8．（2018嘉兴）某反比例函数的图象经过点，则此函数图象也经过点（）
A． B． C． D．
9．（2018黄冈）已知反比例函数y=，下列结论中，不正确的是（）
A．图象必经过点(1，2)B．y随x的增大而减少
C．图象在第一、三象限内D．若x＞1，则y＜2
10．(2018常州)若反比例函数的图象在其每个象限内,y随x的增大而减小,则k的值可以是（）
A.-1 B.3 C.0 D.-3
11．(2018西宁)如图8，已知函数中，时，随的增大而增大，则的大致图象为（）
12．(2018扬州的图象与直线没有交点，那么k的取值范围是（）
A、B、C、D、
13．（2018江西）若点(x0，y0)在函数y=(x＜0)的图象上，且x0y0=－2A.B.C.D.
14．若，两点均在函数的图象上，且，则与的大小关系为（）
A． B． C． D．无法判断
（km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间（h）与行驶速度（km/h）的函数关系图象大致是（）
16.(2018益阳)物理学知识告诉我们，一个物体所受到的压强P与所受压力F及受力面积S之间的计算公式为.当一个物体所受压力为定值时，那么该物体所受压强P与受力面积S之间的关系用图象表示大致为（）
二、填空题
17．（2018巴中）如图8，若点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为3，则．
18．（2018贵阳）利用图象解一元二次方程时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线和直线，两图象交点的横坐标就是该方程的解．（1）填空：利用图象解一元二次方程，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线x2－3和直线，其交点的横坐标就是该方程的解．（2）已知函数的图象（如图9所示），利用图象求方程的近似解（结果保留两个有效数字）
19．（2018遵义）如图19，在平面直角坐标系中，函数（，常数）的图象经过点，，（），过点作轴的垂线，垂足为．若的面积为2，则点的坐标为．
20．（2018南宁）图5是反比例函数的图象，那么实数的取值范围是
21．（2018荆州）如图，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B，P为AB上一点且PC为△AOB的中位线，PC的延长线交反比例函数的图象于Q，，则k的值和Q点的坐标分别为_________________________.
22．2018云南）．函数中，自变量的取值范围是_________．
23．已知直线与双曲线的一个交点A的坐标为（-1，-2）．则=_____；=____；它们的另一个交点坐标是______．在平面直角坐标系中，直线得到直线．直线与反比例函数的图象的一个交点为，则的值等于．
6过反比例函数的图象上的一点分别作x、、(2018西宁)如图26所示的是函数与的图象，求方程组的解关于原点对称的点的坐标是；在平面直角坐标系中，将点向左平移6个单位，再向下平移1个单位，恰好在函数的图象上，则此函数的图象分布在第象限．
28.（2018白银）一个函数具有下列性质：它的图像经过点（1，1）；它的图像在二、四象限内；在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．则这个函数的解析式可以为．(＞0)与双曲线在第一象限内的交点面积为R，与轴的交点为P，与轴的交点为Q；作RM⊥轴于点M，若△OPQ与△PRM的面积是4：1，则
30．（2018宜昌）某物体对地面的压力为定值，物体对地面的压强p（Pa）与受力面积S（㎡）之间的函数关系如图所示.这一函数表达式为p=________.
三、解答题
31.（2018聊城）已知一次函数与反比例函数的图象交于点．
（1）求这两个函数的函数关系式；
（2）在给定的直角坐标系（如图）中，画出这两个函数的大致图象；
（3）当为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？当为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？
32．（2018郴州）已知一次函数y=ax＋b的图像与反比例函数的图像交于A（2，2），B(－1，m)，求一次函数的解析式．），点B的坐标为（－6，0）.
（1）若三角形OAB关于y轴的轴对称图形是三角形O，
请直接写出A、B的对称点的坐标；
（2）若将三角形沿x轴向右平移a个单位，此时点A
恰好落在反比例函数的图像上，求a的值；
（3）若三角形绕点O按逆时针方向旋转度（）.
①当=时点B恰好落在反比例函数的图像上，求k的值．
②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图像上，若能，求出
的值；若不能，请说明理由.
34．（2018威海）如图，点A（，），（，）反比例函数的图象上．（1）（2）M为x轴，Ny轴，A，B，M，N为的四边形平行四边形，试求直线MN的函数表达式．（mg）与燃烧时间（分钟）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg．据以上信息解答下列问题：
（1）求药物燃烧时与的函数关系式．
（2）求药物燃烧后与的函数关系式．
（3）当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以回教室？
36题图
36．(2018杭州)为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，与之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室?
参考答案：
1、D
2、C
3、B
4、B
5、B
6、C
7、D
8、A
9、D
10、B
11、A
12、A
13、B
14、B
15、C
16、C
17、
18、x1≈4.37，x2≈－1.37
19、(3，2／3)
20、
21、3，（2，2/3）
22、
23、m=2；k=2；（1，2）2
25、
26、，二、四
27、
28、y=
29、
30、
31（1）设一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为，
反比例函数的图象经过点，
．
∴所求反比例函数的关系式为．
将点的坐标代入上式得，
∴点的坐标为．
由于一次函数的图象过
和，
解得
∴所求一次函数的关系式为．（2）两个函数的大致图象如图．
（3）由两个函数的图象可以看出．当和时，一次函数的值大于反比例函数的值．当和时，一次函数的值小于反比例函数的值．
32．解：因为B（－1，m）在上，所以
所以点B的坐标为（－1，－4）又A、B两点在一次函数的图像上，
所以所以所求的一次函数为y=2x-2
（2）∵∴∴∴(3)①∵
∴相应B点的坐标是∴.②能当时，相应,点的坐标分别是，经经验：它们都在的图像上∴
34．解：（1）．m＝3．A（，），（，）．（2）M点在x轴轴N点在y轴轴M1点坐标为（x，）N1点坐标为（，y）四边形ANM1B为平行四边形N1M1可看作由线段AB向左平移3个单位，
再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）．
由（1）知A点坐标为（，）B点坐标为（，）N1点坐标为（，）N1（，）M1点坐标为（，）M1（，）直线MN1的函数表达式，把x＝3，y＝0代入，解得．
∴直线MN1的函数表达式．M点在x轴轴N点在y轴轴M2点坐标为（x，）N2点坐标为（，y）AB∥N1M1，AB∥M2N2，AB＝N1M1，AB＝M2N2，
∴N1M1∥M2N2，N1M1＝M2N2．
∴线段M2N2与线段N1M1关于原点O成中心对称．
∴M2点坐标为（3，）N2点坐标为（，）直线MN2的函数表达式，把x＝-3，y＝0代入，解得，
∴直线MN2的函数表达式．直线MN的函数表达式或．．代入函数关系式,解得,有
将代入,得,所以所求反比例函数关系式为：再将代入,得,所以所求正比例函数关系式为.(2)解不等式,解得,所以至少需要经过6小时后，学生才能进入教室.
31题图
y
x
-6
-5
-4
-3
-2
-11
-6
-5
-4
-3
-22
-1
1
2
3
4
5
6
6
5
4
3
2
1
O
x
-6
-5
-4
-3
29题图
2
1
O
35题图
4
5
6
6
5
4
3
34题图
B
A
y
O
x
1
2
3
y
4
3
O
y
x
26题图
4
_
M1
B
A
y
O
x
P（-3，2）
Q（2，-3）
第23题图
B(m，n)
A(1，2)
C
x
19题图
O
y
M2
N1
21题图
B
Q
C
P
A
O
y
x
20题图
-3
-6
-6
-3
3
6
6
3
O
x
y
18题图
4
3
2
1
P4
P3
P2
P1
O
y
x
S
ABCD
P
O
S
P
O
P
O
S
S
P
O
D．
C．
B．
A．
O
v/(km/h
t/h
O
v/(km/h
t/h
O
v/(km/h
t/h
O
v/(km/h
t/h
-2
-1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
x
O
y
x
O
y
x
O
y
O
x
y
11题图
O
y
x
D．
O
y
x
C．
O
y
x
B．
O
y
x
A．
O
a
h
O
a
h
O
a
h
O
a
h
D
AAA
ｘ
ｙ
B
O
3题图
N2
17题图
4题图
4
_
7题图
B
A
O
C
y
x
x(百米)
(第25题图)
y(百米)
-1
1
O
1
-1
C
B
A
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