高考真题-文科数学-2014
则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y?f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”，
2
?
g(x)?12x?12x?12x(x?1)
g(x)与g?(x)的情况如下：
x
(??,0)(1,??)
0（0，1）1
?
?
g(x)+00+
g(x)
t?3t?1
所以，g(0)?t?3是g(x)的极大值，g(1)?t?1是g(x)的极小值。
当g(0)?t?3?0，即t??3时，此时g(x)在区间(??,1]和(1,??)上分别至多有1个零点，
所以至多有2个零点。
g(x)
当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，
g(1)?t?1?0t??1g(x)(??,0)[0,??)
所以g(x)至多有2个零点。
当，即?3?t??1时，因为，所以
g(0)?0且g(1)?0g(?1)?t?7?0,g(2)?t?11?0g(x)
分别在区间[-1，0]，[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g(x)在区间(??,0)和(1,??)上单调，
所以分别在区间和上恰有1个零点。
g(x)(??,0)[1,??)
综上可知，当过点存在3条直线与曲线相切时，的取值范围是（-3，-1）。
P(1,t)y?f(x)t
（Ⅲ）过点A(?1,2)存在3条直线与曲线y?f(x)线切；
过点B(2,10)存在2条直线与曲线y?f(x)线切；
过点C(0,2)存在1条直线与曲线y?f(x)线切；
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