名词介绍  进制 进位制/位置计数法是一种记数方式，故亦称 进位记数法/位值计数法，可以用有限的数字符号代表所有的数值。可使用数字符号的数目称为基数(en:radix)或底数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。 对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57(10)，可以用二进制表示为111001(2)，也可以用五进制表示为212(5)，也可以用八进制表示为71(8)、用十六进制表示为39(16)，它们所代表的数值都是一样的。 十进制人类天然选择了十进制。 由于人类解剖学的特点，双手共有十根手指，故在人类自发采用的进位制中，十进制是使用最为普遍的一种。成语“屈指可数”某种意义上来说描述了一个简单计数的场景，而原始人类在需要计数的时候，首先想到的就是利用天然的算筹——手指来进行计数。 十进制编码几乎就是数值本身。 数值本身是一个数学上的抽象概念。经过长期的演化、融合、选择、淘汰，系统简便、功能全面的十进制计数法成为人类文化中主流的计数方法，经过基础教育的训练，大多数的人从小就掌握了十进制计数方法。盘中放了十个苹果，通过数苹果我们抽象出来“十”这一数值，它在我们的脑海中就以“10”这一十进制编码的形式存放和显示，而不是其它的形式。从这一角度来说，十进制编码几乎就是数值本身。 十进制的基数为10，数码由0-9组成，计数规律逢十进一。 二进制二进制有两个特点：它由两个数码0，1组成，二进制数运算规律是逢二进一。 为区别于其它进制，二进制数的书写通常在数的右下方注上基数2，或加后面加B表示，其中B是英文二进制Binary的首字母。 例如：二进制数10110011可以写成（10110011），或写成10110011B。对于十进制数可以不加标注，或加后缀D，其中D是英文十进制Decimal的首字母D。计算机领域我们之所以采用二进制进行计数，是因为二进制具有以下优点： 1） 二进制数中只有两个数码0和1，可用具有两个不同稳定状态的元器件来表示一位数码。例如，电路中某一通路的电流的有无，某一节点电压的高低，晶体管的导通和截止等。 2） 二进制数运算简单，大大简化了计算中运算部件的结构。 二进制数的加法和乘法基本运算法则各有四条，如下： 0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10 0×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=1 3）二进制天然兼容逻辑运算。 但是，二进制计数在日常使用上有个不便之处，就是位数往往很长，读写不便，如：把十进制的100000D写成二进制就是11000011010100000B，所以计算机领域我们实际采用的是十六进制。二进制数转换为十六进制数时，长度缩减为原先的约四分之一，把十进制的100000写成八进制就是303240。十六进制的一个数位可代表二进制的四个数位。这样，十进制的100000写成十六进制就是186A0。 四进制四进制是以4为基数的进位制，以 0、1、2 和 3 四个数字表示任何实数。 四进制与所有固定基数的计数系统有着很多共同的属性，比如以标准的形式表示任何实数的能力（近乎独特），以及表示有理数与无理数的特性。有关属性的讨论可参考十进制和二进制，下面是十进制0至15与四进制与二进制的互换。
七进制七进制是以7为基数的计数系统。使用数码0-6。 七进制小数通常都是循环小数，除非分母是七的倍数。有些小数可以用有限个数字来表示，如：
七进制的乘法表：
在七进制中：π = 3.0663651432... e = 2.5012410654... 加法运算举例：1、131+245=406 2、406+666=1405 3、1405+3456=5164数制转换举例：1、十进制的131转化成七进制数131（十)=18*7+5=（2*7+4）*7+5=2*7^2+4*7^1+5=245（七）2、七进制数245转化成十进制数245（七）=2*7^2+4*7^1+5=2*49+4*7+5=98+28+5=131（十） 七进制的一个好处是，3.1 (22/7）是圆周率的一个很好的近似值。 八进制由于二进制数据的基数R较小，所以二进制数据的书写和阅读不方便，为此，在小型机中引入了八进制。八进制的基数R=8=2^3，有数码0、1、2、3、4、5、6、7，并且每个数码正好对应三位二进制数，所以八进制能很好地反映二进制。八进制用下标8或数据后面加O表示 例如：二进制数据 （ 11 101 010 . 010 110 100 ）2 对应八进制数据 (352.264)或352.264O。 十二进制十二进制 长度单位一英尺等于12英寸，一先令等于12便士，就连足球比赛罚点球的英制长度也是12码，不过这个12码与十二进制并无关系，巧合而已。 十二进制来源：传说是十个手指头加两只脚。这是过去规定的，20世纪开始规定一打dozen为12个。 规定一打12个是一种12进制。 瑞典历史上有一位有远见的国王就说过，从日常应用的角度看，十二进制比十进制更方便。他生前曾设想过，在他管辖的范围内取消十进制，而代之以十二进制。 直到2015年还能见到十二进制，比如钟表转一圈12小时等等。
有时十进制中的10/11在十二进制中也用A/B表示。 十六进制由于二进制数在使用中位数太长，不容易记忆，所以又提出了十六进制数。 十六进制数有两个基本特点：它由十六个数码：数字0～9加上字母A-F组成（它们分别表示十进制数10～15），十六进制数运算规律是逢十六进一，即基数R=16=2^4，通常在表示时用尾部标志H或下标16以示区别，在c语言中用添加前缀0x以表示十六进制数。 例如：十六进制数4AC8可写成（4AC8），或写成4AC8H。 六十进制古代人由于生产劳动的需要，要研究天文和历法，就牵涉到时间和角度了。因为历法需要的精确度较高，时间的单位小时，角度的单位度都嫌太大。必须进一步研究他们的小数。它们的小数都具有这样的性质︰使1/2,1/3,1/4,1/5,1/6等都能成为它的整数倍。以1/60作为单位，就正好具有这个性质。譬如︰1/2等于30个1/60,1/3等于20个1/60,1/4等于15个1/60…这种小数的进位制在表示有些数时很方便。例如常遇到的1/3，在十进位制中是一个无限小数，但在这种进位制中就是一个有限小数。 对于形式化的进制表示，我们可以从0开始，对数字的各个数位进行编号，即个位起往左依次为编号0，1，2，……；对称的，从小数点后的数位则是-1，-2，…… 进行进制转换时，我们不妨设源进制（转换前所用进制）的基为R1，目标进制（转换后所用进制）的基为R2，原数值的表示按数位为AnA(n-1）……A2A1A0.A-1A-2……，R1在R2中的表示为R，则有（AnA(n-1）……A2A1A0.A-1A-2……）R1=(An*R^n+A(n-1)*R^(n-1)+……+A2*R^2+A1*R^1+A0*R^0+A-1*R^(-1)+A-2*R^(-2))R2 （由于此处不可选择字体，说明如下：An，A2，A-1等符号中，n，2，-1等均应改为下标，而上标的幂次均用^作为前缀） 举例： 一个十进制数110，其中百位上的1表示1个10^2，既100，十位的1表示1个10^1，即10，个位的0表示0个10^0，即0。 一个二进制数110，其中高位的1表示1个2^2，即4，低位的1表示1个2^1，即2，最低位的0表示0个2^0，即0。 一个十六进制数110，其中高位的1表示1个16^2，即256，低位的1表示1个16^1，即16，最低位的0表示0个16^0，即0。 可见，在数制中，各位数字所表示值的大小不仅与该数字本身的大小有关，还与该数字所在的位置有关，我们称这关系为数的位权。 十进制数的位权是以10为底的幂，二进制数的位权是以2为底的幂，十六进制数的位权是以16为底的幂。数位由高向低，以降幂的方式排列。 1.二进制数、十六进制数转换为十进制数（按权求和） 二进制数、十六进制数转换为十进制数的规律是相同的。把二进制数（或十六进制数）按位权形式展开多项式和的形式，求其最后的和，就是其对应的十进制数——简称“按权求和”. 例如：把（1001.01)2 二进制计算。 解：（1001.01）2 =8*1+4*0+2*0+1*1+0*(1/2)+1*(1/4) =8+0+0+1+0+0.25 =9.25 把（38A.11)16转换为十进制数 解：（38A.11)16 =3×16的2次方+8×16的1次方+10×16的0次方+1×16的-1次方+1×16的-2次方 =768+128+10+0.0625+0.0039 =906.0664 2.十进制数转换为二进制数，十六进制数（除2/16取余法） 整数转换.一个十进制整数转换为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到――简称除二取余法． 例：将25转换为二进制数 解：25÷2=12 余数1 12÷2=6 余数0 6÷2=3 余数0 3÷2=1 余数1 1÷2=0 余数1 所以25=(11001)2 同理，把十进制数转换为十六进制数时，将基数2转换成16就可以了. 例：将25转换为十六进制数 解：25÷16=1 余数9 1÷16=0 余数1 所以25=(19)16 3.二进制数与十六进制数之间的转换 由于4位二进制数恰好有16个组合状态，即1位十六进制数与4位二进制数是一一对应的.所以，十六进制数与二进制数的转换是十分简单的. (1）十六进制数转换成二进制数，只要将每一位十六进制数用对应的4位二进制数替代即可――简称位分四位. 例：将（4AF8B)16转换为二进制数. 解： 4 A F 8 B 0100 1010 1111 1000 1011 所以（4AF8B)16=(1001010111110001011)2 (2）二进制数转换为十六进制数，分别向左，向右每四位一组，依次写出每组4位二进制数所对应的十六进制数――简称四位合一位. 例：将二进制数（000111010110)2转换为十六进制数. 解： 0001 1101 0110 1 D 6 所以（111010110)2=（1D6）16 转换时注意最后一组不足4位时必须加0补齐4位 数制转换的一般化 1）R进制转换成十进制 任意R进制数据按权展开、相加即可得十进制数据。例如：N = 1101.0101B = 1*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0+0*2^-1+1*2^-2+0*2^-3+1*2^-4 = 8+4+0+1+0+0.25+0+0.0625 = 13.3125 N = 5A.8H = 5*16^1+A*16^0+8*16^-1 = 80+10+0.5 = 90.5 2）十进制转换R 进制 十进制数转换成R 进制数，须将整数部分和小数部分分别转换. 1.整数转换——---除R 取余法 规则：（1）用R 去除给出的十进制数的整数部分，取其余数作为转换后的R 进制数据的整数部分最低位数字； （2）再用R去除所得的商，取其余数作为转换后的R 进制数据的高一位数字； （3）重复执行（2）操作，一直到商为0结束。例如：115 转换成 Binary数据和Hexadecimal数据 （图2-4） 所以 115 = 1110011 B = 73 H 2．小数转换————---乘R 取整法 规则：（1）用R 去乘给出的十进制数的小数部分，取乘积的整数部分作为转换后R 进制小数点后第一位数字； （2）再用R 去乘上一步乘积的小数部分，然后取新乘积的整数部分作为转换后R 进制小数的低一位数字； （3）重复（2）操作，一直到乘积为0，或已得到要求精度数位为止。 3.小数转换——整数退位法：举例：0.321d转成二进制，由于321不是5的倍数，用取余法、取整法可能要算很久，这时候我们可以采用整数退位法。原理如下： n为转成的二进制数的小数位数 (x)10=(y)2 (x)10*2^n=(y)2*2^n D=(x)10*2^n：计算10进制数，取整 D→T转成2进制数 (y)2=T/2^n=T*2^(-n)，T退位，位数不足前端补零 举例: 0.321转成二进制数，保留7位 0.321*2^7=41.088,取整数41 41=32+8+1即100000+1000+1=101001 退位，因只有6位而要求保留7位，所以是0.0101001 用在线转换工具校验，正确 and、or、xor运算 所有进制的and（和）、or（或）、xor（异或）运算都要转化为二进制进行运算，然后对齐位数，进行运算，具体的运算方法和普通的and、or、xor相同，如：1and1=1，1and0=0，0and0=0，1or1=1，1or0=1，0or0=0，1xor1=0，1xor0=1，0xor0=0。就是一般的二进制运算。 如：35（H）and5（O）=110101（B）and101（B）=101（B）=5（O） |
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