整式的乘法与因式分解 知识结构图: 一、整式的有关概念 1.整式 整式是单项式与多项式的统称. 2.单项式 单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子;单项式中的数字因数叫做单项式的系数;单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数. 3.多项式 几个单项式的和叫做多项式;多项式中,每一个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项;多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数. 二、整数指数幂的运算 1、同底数幂乘法:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。 2、同底数幂除法:同底数幂相除,底数不变,指数相减。 3、幂的乘方:幂的乘方,底数不变,指数相乘。 4、积的乘方:积的乘方等于各因式乘方的积。 注:(1)任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1; (2)任何一个不等于零的数的-p(p为正整数)指数幂, 等于这个数的p指数幂的倒数。 (3)科学记数法:或 绝对值小于1的数可记成的形式,其中,n是正整数,n等于原数中第一个有效数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)。 三、同类项与合并同类项 1.所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项. 2.把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项,合并的法则是系数相加,所得的结果作为合并后的系数,字母和字母的指数不变. 四、求代数式的值 1.一般地,用数值代替代数式里的字母,按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值. 2.求代数式的值的基本步骤: (1)代入:一般情况下,先对代数式进行化简,再将数值代入; (2)计算:按代数式指明的运算关系计算出结果. 五、整式的运算 1.整式的加减 (1)整式的加减实质就是合并同类项; (2)整式加减的步骤:有括号,先去括号;有同类项,再合并同类项.注意去括号时,如果括号前面是负号,括号里各项的符号要变号. 2.整式的乘除 (1)整式的乘法 ①单项式与单项式相乘:把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式,只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式. ②单项式与多项式相乘:m(a+b+c)=ma+mb+mc. ③多项式与多项式相乘:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb. (2)整式的除法 ①单项式除以单项式:把系数、同底数幂相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式. ②多项式除以单项式:(a+b)÷m=a÷m+b÷m. 3.乘法公式 (1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2; (2)完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2. 六、因式分解 1.因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做多项式的因式分解. 2.因式分解的方法 (1)提公因式法 公因式的确定:第一,确定系数(取各项整数系数的最大公约数);第二,确定字母或因式底数(取各项的相同字母);第三,确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂). (2)运用公式法 ①运用平方差公式:. ②运用完全平方公式:. (3)十字相乘: . 3.分解因式的技巧: (1) 因式分解时,有公因式要先提公因式,然后考虑其他方法; (2)因式分解时,有时项数较多时,看看分组分解法是否更简洁. 典例1:计算的结果是( B ) A.x B. C. D. 典例2:下列算式中:①;②;③;④ ,其中正确的有②③. 练习:已知3x+5y=8,求的值. 解:. 典例3:计算: (1) ; 解:原式=; (2) . 解:原式=. 典例4:化简求值:,其中a=2,b=-1. 解:原式=-(8a+5b)(4a+b)=-77. 练习:1.计算:(1); 解:原式=; (2)(x+7)(x-3). 解:原式==. 2.先化简,再求值:(a+2)(a-2)+a(1-a),其中a=5. 解:原式=; 当a=5时,原式=5-4=1. 典例5:分解因式: (1) ; 解:原式==(3x+3y-2)(3x-3y+2); (2) ; 解:原式=; (3) . 解:原式= 练习:分解因式: (1) ; 解:原式= (2) . 解:原式= 典例6:若△ABC的三边长为a、b、c,且满足=2a+2b+2c,试判断△ABC的形状. 解:∵=2a+2b+2c,∴,即,∴a=1,b=1,c=1,故a=b=c,则△ABC为等边三角形. |
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