模型研究 | 最值系列之“阿氏圆”问题

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正文如下：

在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．

所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．

如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．

以下给出两种证明

法一：构造角分线

先复习两个定理

（1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则AB:AC=DB:DC．

证明：利用等积法

，

即AB:AC=DB:DC

（2）外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则AB:AC=DB:DC．

证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，则DB:DE=AB:AE，即AB:AC=DB:DC．

接下来开始证明：

如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MA:MB=PA:PB=k，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；

作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，NA:NB=PA:PB=k，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点；

又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．

法二：建系

不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A（-m，0），则B（m，0），设P（x，y），PA=kPB，即：

解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线．

那么这个玩意和最值有什么关系呢？

且来先看个例子：

引例

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则1/2PA+PB的最小值为______．

【分析】这个问题最大的难点在于转化1/2PA，此处P点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．

法一：构造相似三角形

注意到圆C半径为2，CA=4，连接CP，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2，连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=1/2PA．

问题转化为PM+PB最小值，直接连BM即可．

【问题剖析】

（1）这里为什么是1/2PA？

答：因为圆C半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是1/2PA，也只能构造1/2PA．

（2）如果问题设计为PA+kPB最小值，k为多少？

答：根据圆C半径与CB之比为2:3，k应为2/3．

【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．

划重点

法二：阿氏圆模型

对比一下这个题目的条件，P点轨迹是圆，A是定点，我们需要找出另一个定点M使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！

而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！

P点轨迹圆的圆心C点和A点在直线AC上，故所求M点在AC边上，考虑到PM：PA=1:2，不妨让P点与D点重合，此时DM=1/2DA=1，即可确定M点位置．

如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．

【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M点位置，虽不够严谨，却很实用．

练习1

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是______．

【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=3（2/3AD+BD），故求2/3AD+BD最小值即可．

考虑到D点轨迹是圆，A是定点，且要求构造2/3AD，条件已经足够明显．

当D点运动到AC边时，DA=3，此时在线段CD上取点M使得DM=2，则在点D运动过程中，始终存在DM=2/3DA．

问题转化为DM+DB的最小值，直接连接BM，BM长度的3倍即为本题答案．

练习2

如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则PD-1/2PC的最大值为_______．

【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造1/2PC，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=1/2PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．

连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．

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