|
你是从什么开始学习数学的？应该是百分之百的人都会说从1,2,3开始的啊，这大概也是全世界所有接受过数学教育的人们的共同轨迹。不会有人说他是先学加减乘除，然后才认识1,2,3的。 事实上，这是数学知识从零开始的第一步，创造出数字来。我们可以列举到很大很大的数了，然后呢？那就开始研究这些数字都有哪些特质了，比如，有奇数，有偶数，有整十数，整百数。很快人们就把数字做了很多种分类，其中一个分类开启了数字研究的先河。 01 古希腊人发现，在所有可以数的数里，有一类数很特立独行，它只能被和自身整除。也就是说，这一类数只有2个约数，他们给这样的数起了一个非常形象到位的名字——素数。与之对比，那就是除了1和自身还有别的约数的数，起名叫合数。 这样一来，我们就可以把全体自然数（整数）分成0,1，素数，合数（1在历史上曾经也被看做是素数）这4大类。 后来，人们逐渐发现素数并不是吃素的，它有个许多不同一般的气质。 比如，你不知道它什么时候会出现，不知道在一定范围内有多少个素数，也不知道素数和素数之间的间隔是怎样的。 总之，自从素数被当成研究热点以来，身上的谜团就一直都没有停止过。事实上，有很多素数问题即使已经被研究了几千年，至今也仍然没有完全解决，比如孪生素数猜想。 不过也不是所有的素数问题都是巨难无比，比如同样在古希腊的欧几里得就给出了一个漂亮无比的关于素数的是无穷多个的证明，这也是人类第一次用反证法进行逻辑推理，堪称证明的典范。
假设素数是有限的，假设素数只有有限的n个，最大的一个素数是p。 设q为所有素数之积加上1，那么，q=（ 2×3×5×…×p ）+1不是素数。那么，q可以被2、3、…、p中的数整除。而q被这2、3、…、p中任意一个整除都会余1，与之矛盾。 所以，素数是无限的。 同样在古希腊，人们又发现了所有合数都可以被写成素数的幂乘积的形式。 比如 6=3×2, 200=2×2×2×5×5, 126998236999566=2×3×3×23×12569×24406001。 ... 并且，这种表示方式是唯一的，你不可能把一个数用两种不同组合的素数幂乘积的形式表示出来。 也就是说，只要用素数相乘，就可以得到所有的自然数。素数的研究也成了数论最基础核心的内容。 02 素数的数量有多少呢？当然是无穷多的，但是我们可以在小范围内做一个大致的估计。这项工作也有人做过，他叫高斯。  1792年，15岁的高斯无聊时候翻了翻前1000以内的素数表，统计了一下大概个数，就得出了一个素数分布规律。 这就是素数定理，虽然称为素数定理，但是当年高斯并没有给出证明。这个定理的证明直到19世纪末才有人完整给出。 素数定理也就是这个： 高斯认为，素数占到自然数的比例大致相当于lnx与x的比值。 我们来看下这两个函数的特性：它们都是增函数，其中f1=x的增长率始终是1，而f2=lnx的增长率却是1/x，显然f2的增长得越来越慢。 这也符合我们对于素数个数的直观印象，当大范围来统计素数个数时，素数分布会越来越稀疏。 显然素数的个数是不会“太多”的，至少当范围很大时，再找到一个素数不见得是一件容易的事情，比如你就很难发现1000000007是个素数。 03 我们的超级计算机一直在不停找素数，并不是为了更大的素数到底能有多大。而是为了检测算法效率和硬件水平，这是一项系统工程，可并不是在浪费计算资源。 在素数的庞大的队伍中，人们又发现了一种更加有特质的素数，这一类素数的表示形式很简单：2^P-1，p是自然数，其实p也要是素数才行。 我们可以给出一个简单的证明。 我们现在把这种素数叫作梅森素数，17世纪的马林梅森首先对这一类的素数进行了大量系统的研究。梅森神父还对这里的p值做了大量的猜想，他猜测当p=2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257时，2^P-1都是素数，其他p值都不会产生素数。  梅森提出这个猜测的时候是1644年，那一年大清朝刚刚建立。那个时代计算只能用笔在纸上，也没有什么太先进的工具，于是，当p比较小的时候，没啥压力，但是到了31这里卡住了。我们可以很简单地得到M(31)=2147483647，但是检验其素性工作量却是太大。 这个时候欧拉出手了，在1772年，欧拉在双目失明的情况下，直接心算证明了M(31)是素数，这也是当时发现的最大素数。 到31为止，梅森的猜想仍然没有被推翻，然而到了67时，梅森猜想终于翻车了。 04 1903年，美国数学家柯尔在数学家大会上做了一次短小而精彩的汇报，他走上讲台，迅速写下 2^67-1=193707721×761838257287 人们意识到，M67原来不是一个素数，而是合数，至此梅森素数的猜想破灭了。 后面的梅森素数验证都用到了计算机，人们也开始用超级计算机来寻找更大的梅森素数。 2018年12月，发现了迄今为止最大的梅森素数M(82589933),这是第51个梅森素数，如果用5号字体来书写，有24862048位数，大家可以想象一下这个数有多大。 但是真的就有人这么干过，一本书上全是数字！  2017年，日本一位出版商想出一个绝妙的点子，他把当时发现的最大的梅森素数M50在一本书上打印出来，这个2300多万位的数字密密麻麻布满了720页纸！ 就是这样一本如此枯燥无聊全是数字的书，上市之后居然在一星期里卖出1500本，简直匪夷所思。 05 那么古代对于这样的素数还有别的研究吗？ 欧几里得最先主要到有这样的一组数: 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14, 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248, 8192=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064... 如果仔细观察就会发现，上面的几个数的真约数加起来刚好等于自身。这是一个很难得的性质，在自然数中相当罕见。我们把有这样性质的数叫完全数。 更厉害的是欧几里得发现，这样的数有同样的表现形式： 也是欧大师率先发现，只要括号里面是素数，那么满足这个形式的数就一定是自然数。 这个结论不难得到，我们只要把前面的2的幂的约数求和再与括号内的部分相乘，即可得到。怎么括号里的部分如此眼熟呢？这个不就是梅森素数嘛，这个还真的就是梅森素数！ 现在基本上每隔一两年都会有新闻说，又找到了新的梅森素数，如果大家仔细留意，报道里必定还会有一句：同时也发现了新的完全数。 06 人类目前发现了51个梅森素数，那么也就发现了51个完全数。2400万位数的范围内居然只有51个梅森素数，梅森素数的稀缺性可想而知！也难怪数学家对它如此痴迷了。  可能有同学会问了，完全数跟梅森素数就必须是一一对应的吗，有没有可能完全数比梅森素数多呢？上面欧大师发现的完全数的式子，全部都是偶数，不会有奇数的。那有没有存在奇完全数呢？ 这个问题其实很不好回答，再也不像是之前那样可以畅快地介绍出来了。 是否存在奇完全数研究领域也是数论领域最大的谜之一。 过去的两千年里，人们想过要去找奇完全数，但是失败了。现在人们有了大型计算机，可以撒开网，用穷举的办法来找奇完全数。 直到2012年，人们逐一检视了10的1500次方以内的所有奇数，没有发现奇完全数。10的1500次方，这个数已经非常大了，看来海量捕捞的方式并不是十分奏效。人们也不放弃在理论上的研究，目前对于奇完全数有着一些比较靠谱的研究。比如这些特点，假如N是一个奇完全数，那么 至少要包含11个不同素因子，并且不包含3，也不是立方数； N不能被105整除； N的一个最大素因子至少要大于10的8次方； N的第二大素因子至少要大于10000； N的第三大素因子要大于100； N的第四大素因子要大于10； N至少要有75个素因子，其中至少9个是不同的。如果3不是素因子之一，则至少要有12个不同的素因子； 。。。。。  这些都是牢牢限制奇完全数存在的约束条件，其中有很多实在是太苛刻了。苛刻到验算到10的1500次方，仍然没有找到一个完全满足上述要求的奇数。有人猜想是不是奇完全数是不是不存在，但是这样的猜测其实毫无实际意义。 数学中有很多猜想并不是你验算到非常大的数字都满足条件，就能代表所有的情况。有很多数学猜想都是验证了很大数据之后以为成立，后来理论上证明，会在更大的情况下出现反例。没有理论证明，谁都不敢保证结论一定正确，数学上尤其如此。 现在基本上很难考证，完全数和梅森素数谁更早地被发现。 这两个特殊的数字还有相当多的谜团需要去破解，梅森素数有无穷多个吗？ 奇完全数是否存在？ 带你看有意思的数学 |
|
|
