前缀和技巧：解决子数组问题

今天来聊一道简单却十分巧妙的算法问题：算出一共有几个和为 k 的子数组。

思路很简单，我把所有子数组都穷举出来，算它们的和，看看谁的和等于 k 不就行了。

关键是，如何快速得到某个子数组的和呢，比如说给你一个数组nums，让你实现一个接口sum(i, j)，这个接口要返回nums[i..j]的和，而且会被多次调用，你怎么实现这个接口呢？

因为接口要被多次调用，显然不能每次都去遍历nums[i..j]，有没有一种快速的方法在 O(1) 时间内算出nums[i..j]呢？这就需要前缀和技巧了。

一、什么是前缀和

前缀和的思路是这样的，对于一个给定的数组nums，我们额外开辟一个前缀和数组进行预处理：

int n = nums.length;
// 前缀和数组
int[] preSum = new int[n + 1];
preSum[0] = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
    preSum[i + 1] = preSum[i] + nums[i];


这个前缀和数组preSum的含义也很好理解，preSum[i]就是nums[0..i-1]的和。那么如果我们想求nums[i..j]的和，只需要一步操作preSum[j+1]-preSum[i]即可，而不需要重新去遍历数组了。

回到这个子数组问题，我们想求有多少个子数组的和为 k，借助前缀和技巧很容易写出一个解法：

int subarraySum(int[] nums, int k) {
    int n = nums.length;
    // 构造前缀和
    int[] sum = new int[n + 1];
    sum[0] = 0; 
    for (int i = 0; i < n; i++)
        sum[i + 1] = sum[i] + nums[i];

    int ans = 0;
    // 穷举所有子数组
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j < i; j++)
            // sum of nums[j..i-1]
            if (sum[i] - sum[j] == k)
                ans++;

    return ans;
}

这个解法的时间复杂度空间复杂度，并不是最优的解法。不过通过这个解法理解了前缀和数组的工作原理之后，可以使用一些巧妙的办法把时间复杂度进一步降低。

二、优化解法

前面的解法有嵌套的 for 循环：

for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 0; j < i; j++)
        if (sum[i] - sum[j] == k)
            ans++;


第二层 for 循环在干嘛呢？翻译一下就是，在计算，有几个j能够使得sum[i]和sum[j]的差为 k。毎找到一个这样的j，就把结果加一。

我们可以把 if 语句里的条件判断移项，这样写：

if (sum[j] == sum[i] - k)
    ans++;

优化的思路是：我直接记录下有几个sum[j]和sum[i]-k相等，直接更新结果，就避免了内层的 for 循环。我们可以用哈希表，在记录前缀和的同时记录该前缀和出现的次数。

比如说下面这个情况，需要前缀和 8 就能找到和为 k 的子数组了，之前的暴力解法需要遍历数组去数有几个 8，而优化解法借助哈希表可以直接得知有几个前缀和为 8。

这样，就把时间复杂度降到了，是最优解法了。

三、总结

前缀和不难，却很有用，主要用于处理数组区间的问题。

比如说，让你统计班上同学考试成绩在不同分数段的百分比，也可以利用前缀和技巧：

int[] scores; // 存储着所有同学的分数
// 试卷满分 150 分
int[] count = new int[150 + 1]
// 记录每个分数有几个同学
for (int score : scores)
    count[score]++
// 构造前缀和
for (int i = 1; i < count.length; i++)
    count[i] = count[i] + count[i-1];


这样，给你任何一个分数段，你都能通过前缀和相减快速计算出这个分数段的人数，百分比也就很容易计算了。

但是，稍微复杂一些的算法问题，不止考察简单的前缀和技巧。比如本文探讨的这道题目，就需要借助前缀和的思路做进一步的优化，借助哈希表记录额外的信息。可见对题目的理解和细节的分析能力对于算法的优化是至关重要的。