二叉搜索树操作集锦

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通过之前的文章 学习数据结构的框架思维，二叉树的遍历框架应该已经印到你的脑子里了，这篇文章就来实操一下，看看框架思维是怎么灵活运用，秒杀二叉树问题的。

PS：本文的大部分代码都做成图片形式，因为文本代码左右滑动不方便查看，而图片方便放大、保存，图片点开后也方便左右切换进行对比。

二叉树算法的设计的总路线：明确一个节点要做的事情，然后剩下的事抛给框架。

void traverse(TreeNode root) {
    // root 需要做什么？在这做。
    // 其他的不用 root 操心，抛给框架
    traverse(root.left);
    traverse(root.right);
}


举两个简单的例子体会一下这个思路，热热身。

1. 如何把二叉树所有的节点中的值加一？

void plusOne(TreeNode root) {
    if (root == null) return;
    root.val += 1;

    plusOne(root.left);
    plusOne(root.right);
}

2. 如何判断两棵二叉树是否完全相同？

借助框架，上面这两个例子不难理解吧？如果可以理解，那么所有二叉树算法你都能解决。

下面实现 BST 的基础操作：判断 BST 的合法性、增、删、查。其中「删」和「判断合法性」略微复杂。

二叉搜索树（Binary Search Tree，简称 BST）是一种很常用的的二叉树。它的定义是：一个二叉树中，任意节点的值要大于左子树所有节点的值，且要小于右边子树的所有节点的值。

如下就是一个符合定义的 BST：

零、判断 BST 的合法性

这里是有坑的哦，我们按照刚才的思路，每个节点自己要做的事不就是比较自己和左右孩子吗？看起来应该这样写代码：

但是这个算法出现了错误，BST 的每个节点应该要小于右边子树的所有节点，下面这个二叉树显然不是 BST，但是我们的算法会把它判定为 BST。

出现错误，不要慌张，框架没有错，一定是某个细节问题没注意到。我们重新看一下 BST 的定义，root 需要做的，不仅仅是和左右子节点比较，而是要和左子树和右子树的所有节点比较。怎么办，鞭长莫及啊！

这种情况，我们可以使用辅助函数，增加函数参数列表，在参数中携带额外信息，请看正确的代码：

这样，root 可以对整棵左子树和右子树进行约束，根据定义，root 才真正完成了它该做的事，所以这个算法是正确的。

一、在 BST 中查找一个数是否存在

根据我们的总路线，可以这样写代码：

这样写完全正确，充分证明了你的框架性思维已经养成。现在你可以考虑一点细节问题了：如何充分利用信息，把 BST 这个“左小右大”的特性用上？

很简单，其实不需要递归地搜索两边，类似二分查找思想，可以根据 target 和 root.val 的大小比较，就能排除一边。我们把上面的思路稍稍改动：

于是，我们对原始框架进行改造，抽象出一套针对 BST 的遍历框架：

void BST(TreeNode root, int target) {
    if (root.val == target)
        // 找到目标，做点什么
    if (root.val < target) 
        BST(root.right, target);
    if (root.val > target)
        BST(root.left, target);
}


二、在 BST 中插入一个数

对数据结构的操作无非遍历 + 访问，遍历就是「找」，访问就是「改」。具体到这个问题，插入一个数，就是先找到插入位置，然后进行插入操作。

上一个问题，我们总结了 BST 中的遍历框架，就是解决了「找」的问题。直接套框架，加上「改」的操作即可。

一旦涉及「改」，函数就要返回 TreeNode 类型，并且对递归调用的返回值进行接收。

三、在 BST 中删除一个数

这个问题稍微复杂，不过你有框架指导，难不住你。跟插入操作类似，先「找」再「改」，先把框架写出来再说：

找到目标节点了，比方说是节点 A，如何删除这个节点，这是难点。因为删除节点的同时不能破坏 BST 的性质。有三种情况，用图片来说明。

情况 1：A 恰好是末端节点，两个子节点都为空，那么它可以当场去世。

图片来自 www.leetcode.com

if (root.left == null && root.right == null)
    return null;

情况 2：A 只有一个非空子节点，那么它要让这个孩子接替自己的位置。

图片来自 www.leetcode.com

// 排除了情况 1 之后
if (root.left == null) return root.right;
if (root.right == null) return root.left;


情况 3：A 有两个子节点，麻烦了，为了不破坏 BST 的性质，A 必须找到左子树中最大的那个节点，或者右子树中最小的那个节点来接替自己。两种策略是类似的，我们以第二种方式讲解。

图片来自 www.leetcode.com

if (root.left != null && root.right != null) {
    // 找到右子树的最小节点
    TreeNode minNode = getMin(root.right);
    // 把 root 改成 minNode
    root.val = minNode.val;
    // 转而去删除 minNode
    root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);
}

三种情况分析完毕，简化一下，填入框架：

删除操作就完成了。注意一下，这个删除操作并不完美，因为我们最好不要像 root.val = minNode.val 这样通过修改节点内部的数据来改变节点，而是通过一系列略微复杂的链表操作交换 root 和 minNode 两个节点。

因为具体应用中，val 域可能会很大，修改起来很耗时，而链表操作无非改一改指针，而不会去碰内部数据。

但这里忽略这个细节，旨在突出 BST 删除操作的思路，以及借助框架逐层细化问题的思维方式。

四、最后总结

通过这篇文章，你学会了如下几个技巧：

1. 二叉树算法设计的总路线：把当前节点要做的事做好，其他的交给递归框架，不用当前节点操心。

2. 如果当前节点会对下面的子节点有整体性影响，可以通过辅助函数加长参数列表，借助函数参数传递信息。这就是递归函数传递信息的常用方式。

3. 在二叉树框架之上，扩展出一套 BST 遍历框架：

void BST(TreeNode root, int target) {
    if (root.val == target)
        // 找到目标，做点什么
    if (root.val < target) 
        BST(root.right, target);
    if (root.val > target)
        BST(root.left, target);
}

4. 掌握了 BST 的基本操作，包括判断 BST 的合法性以及 BST 中的增、删、查操作。