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1687年，牛顿出版了一部名为《自然哲学的数学原理》的著作，建立了以牛顿三大运动定律为基础的动力学体系。在这一动力学体系中，与具体计算关系最为密切的“ 第二运动定律 ”可用现代符号表示为： F = ma (2.1) 这一定律引进了作为( 变速 )运动原因的力的概念，并将之与运动的加速度定量地联系了起来。  牛顿 (1642 ~ 1727) 与引进力的概念相匹配地，《自然哲学的数学原理》一书的另一项重大成就是具体给出了一种力的规律，这种力就是万有引力，这一规律被称为牛顿万有引力定律。其具体形式为： F = GMm/r2 (2.2) 出现在这一公式中的G是一个普适常数，称为牛顿万有引力常数。当然，这是以现代符号加以表述的结果，牛顿的《自然哲学的数学原理》一书虽总体上是相当数学化的 ( 不过所用的数学工具偏于古典几何而非牛顿自创的微积分)，对定律的表述却是文字化的，因而并未直接提供如(2.2)式那样的数学形式。 由上述牛顿第二运动定律 (2.1) 式和万有引力定律 (2.2) 式可以很容易地推出伽利略所发现的重物下落规律(1.3)式，因为(2.2)式表明物体所受的引力正比于它的质量，而(2.1)式告诉我们物体在给定外力的作用下运动时，加速度反比于它的质量。因而物体在引力作用下的加速度与它的质量——以及其它性质——无关。具体地说，在没有其他外力的情形下 ( 除非有特殊需要，这一条件在下文中将不再提及， 但始终假定为成立 )，任何物体在与之相距r，质量为M的物体的引力作用下运动的加速度为： a = GM/r2 (2.3) 很明显，(2.3) 式右侧给出的正是 (1.3) 式中的常数。在后世的术语中，也被称为质量为M的物体在距它r处产生的引力场的场强。利用牛顿的万有引力概念及后世引进的引力场这一术语，伽利略发现的重物下落规律可以重新表述为：物体在引力场中的加速度由物体所在之处引力场的场强所决定，而与它的质量——以及其它性质——无关。这样，牛顿万有引力定律就不仅涵盖了伽利略所得到的有关重物如何下落的运动学结论，而且从动力学上解释了重物为什么会下落，完成了伽利略未能涉及的部分。 关于牛顿万有引力定律，还有一点值得说明的是：后世的物理学家喜欢把表示万有引力定律的 (2.2) 式中的质量称为“引力质量”，以 区别于表示牛顿第二运动定律的 (2.1) 式中的“惯性质量”。更有甚者，“引力质量”还被进一步区分为产生引力的所谓“主动引力质量”和感受引力的所谓“被动引力质量”。这些质量的彼此相等则被视为额外的原理。这种后世物理学家出于表述其它观念的便利而引进的繁琐性在牛顿的原始表述中是不存在的。关于引力与质量的关系，牛顿的原始表述是： 引力普遍存在于所有物体之间，正比于每个物体的物质的量。 而所谓“物质的量”则正是《自然哲学的数学原理》开篇第一个定义所给出的、被后世称为“惯性质量”的质量，也是牛顿引进的唯一质 量概念。 牛顿万有引力定律是真正的引力理论，而且可以说是物理史上第一个称得上辉煌的理论。天体的运行、大海的潮汐都近乎完美地遵循着牛顿万有引力定律，借助这一定律的威力，天文学家们甚至像大侦探一样，依据已知天体的运动推断出了太阳系第八大行星——海王星——的存在乃至位置，谱写了物理史上最令人印象深刻的篇章。 但科学并没有在辉煌中沉醉。牛顿万有引力定律虽然辉煌，它的一个特点却在另一位科学巨匠眼里成了问题，这位科学巨匠的名字叫做爱因斯坦。  爱因斯坦 (1879~ 1955) 1905年，爱因斯坦提出了著名的狭义相对论。狭义相对论一问世，牛顿万有引力定律就成了一个老大难问题。这是因为牛顿万有引力定律有一个特点，那就是不含时间，从而意味着引力的传播是瞬时的。不幸的是，狭义相对论却有一个速度上限：光速。瞬时传播的引力跟 有速度上限的狭义相对论显然是相互冲突的，用爱因斯坦本人的话说：“ 以自然的方式将引力理论与狭义相对论联系起来很快就被发现是不可能的了。” 这个牛顿万有引力定律与狭义相对论相互冲突的问题深深吸引了爱 因斯坦的注意力。1907年，他应德国《放射性与电子学年鉴 》期刊编辑斯塔克的约稿撰写一篇题为“关于相对性原理和由此得出的结论”的综述。在那期间，他忽然在思考这一问题上取得了后来被他称为“一生中最快乐的思想 ”的概念突破。 这一突破究竟是什么，又是如何产生的呢？1922年12月14日，爱因斯坦在日本京都大学的一次题为“我是如何创立相对论的 ” 的演讲中作了回顾： 我坐在伯尔尼专利局的办公室椅上，一个想法突 然闪了出来：如果一个人自由下落，他将感受不到自己的重量。我吃了一惊。这个简单的思想实验给我留下了深刻印象，将我引向了引力理论。我继续自己的思考：一个下落的人是被加速的，因此他的感受和判断是在加速参照系中发生的。我决定将相对论推广到加速参照系。我觉得这样做将能同时解决引力问题。 沿着这一思想实验的启示，爱因斯坦提出了著名的等效原理，即引力场中任何一个时空点附近都存在所谓的局域惯性参照系，其中的物理规律与不存在引力场时的惯性参照系里的物理规律相同。依据这条原 理，爱因斯坦思想实验中自由下落的人之所以感受不到自己的重量，是因为他的自由下落使他处于了局域惯性参照系中，从而引力场仿佛不存在了。 等效原理是一条新原理，但它的根基是古老的，深植于被伽利略等人注意到、并经牛顿万有引力定律所确认的“物体在引力场中的加速度由物体所在之处引力场的场强所决定，而与它的质量以及其他性质无关”这一规律上。因为否则的话，假如组成人体的各种物质在引力场中的加速度因任何性质的差异而各不相同，则哪怕自由下落也无法 “ 感受不到自己的重量 ”，更遑论其他物理规律与惯性参照系里的 物理规律相同了。 等效原理为构建新的引力理论提供了思路，因为局域惯性参照系里的物理规律既然与不存在引力场时的惯性参照系里的物理规律相同，那就可以由狭义相对论来描述。那么引力场中的物理规律是什么呢？答案就在爱因斯坦那 “ 一生中最快乐的思想 ” 里，也就是 “ 将相对论推广到加速参照系 ”。 狭义相对论中有一条所谓的“ 相对性原理 ”,它要求物理规律在所有惯性参照系中都具有相同形式，而 “ 将相对论推广到加速参照系 ”则要求物理规律哪怕在非惯性参照系 —— 也就是任意参照系 —— 中也具有相同形式，这被称为广义相对性原理， 其数学表述被称为广义协变原理。在此基础上最终构建出来的引力理论则被称为广义相对论。 依据等效原理，引力场 “ 有 ” 和 “ 无 ” 的区别， 局域地讲，只是参照系的区别，从而可以通过从局域惯性参照系到一般参照系的坐标变换来体现，具体的体现方式则由广义协变原理所确定。这听起来有些抽象，做起来其实并不复杂，因为在狭义相对论之后，基础物理定律已大都表述为了具有洛仑兹协变性的张量方程，这种方程距离广义协变原理的要求只有一步之遥，我们要做的只是将局域惯性参照系中洛仑兹协变的张量方程改写为在任意坐标变换下都成立的所谓广义协变的张量方程即可。虽然偶尔会出现需通过物理分析加以排除的歧义，一般而言在数学上是轻而易举的，往往只需依照所谓的 “ 最小替换法则 ”，将狭义相对论中的闵科夫斯基度规ημν换成 一般度规 gμν，将普通导数 ∂μ 换成协变导数 ∇μ 即可。从这个意义上讲，广义协变原理对物理规律基本不构成约束 ( 但作为数学要求则是很强的 )。一旦物理规律被表述为广义协变形式，引力场的影响也就被涵盖在内了。不过这一切对于构建广义相对论来说都是外围的东西，因为漏掉了一个最重要的因素，那就是引力场本身的规律。其他物理规律都可以通过将局域惯性参照系中的物理规律改写为广义协变形式而得到，唯独引力场本身的规律不行，因为引力在局域惯性参照系中是不存在的。 那么引力场本身的规律该如何得到呢？刚才提到的“ 最小替换法则 ”其实已给出了一个重要提示。因为“ 最小替换法则 ”意味着引力效应全都体现在了闵科夫斯基度规与一般度规、普通导数与协变导数的区别上。而从数学上讲，这种区别归根到底就在于度规 ( 因为普通导数与协变导数的区别实质上亦是度规之别 )。既然引力效应归根到底就体现在度规上，我们可以猜测，描述引力场的规律可以用度规gμν 本身所满足的某个张量方程来描述。 爱因斯坦的研究确认了这一点，这也是他在创立广义相对论过程中付出的最艰辛的努力。 引力场方程 —— 也就是广义相对论的基本方程 —— 最终确定为： Rμν - ½gμνR - Λgμν = 8πTμν (2.4) （2.4）式左侧的最后一项，即Λgμν项被称为宇宙学项，其中的常数Λ被称为宇宙学常数。在历史上，宇宙学项的命运颇有戏剧性，爱因斯坦最初创立广义相对论时是不包含宇宙学项的，后来出于寻找一个静态宇宙模型的需要，他引进了宇宙学项。当静态宇宙模型被观测否定之后，宇宙学项也一度失了宠。但到了20世纪末，精密的宇宙学观测重新确立了宇宙学项的必要性，使后者“ 王者归来 ”。 宇宙学项对于宇宙的长远未来有着极重要的影响，但对于本系列所涉及的话题却关系不大，略去了宇宙学项的引力场方程为 Rμν - ½gμνR = 8πTμν, (2.5) 其中Rμν是里奇曲率张量，R是Rμν的缩并，称为曲率标量。Tμν是能量动量张量。 这就是本系列将要采用的基本方程，也称为爱因斯坦场方程，是爱因斯坦1915年得到的。由于整个推导是从局域惯性参照系中满足狭义相对论的物理规律开始延展的，因此广义相对论确如爱因斯坦所预期的，自动解决了被引导到引力理论上来的牛顿万有引力定律与狭义相对论不相容的问题。 爱因斯坦场方程远比电磁场方程复杂，因为它是非线性的。与电磁场本身不带电荷不同，引力场本身带有能量动量，从而本身就能产生引力场。此外，爱因斯坦场方程还有一个鲜明特点，那就是右侧有赖于物质，而左侧只跟时空有关 —— 因为左侧的所有项都是由度规及其导数构成的。不仅如此，左侧的里奇张量Rμν乃是时空曲率张量的缩并，在一定程度上描述了时空的弯曲。这种漂亮的几何意义，外加前面提到过的引力效应 —— 具体地说是引力对物质运动的影响—— 体现在度规上这一结论，使美国物理学家惠勒用了一句很精炼的话来概述广义相对论的特点，那就是“ 时空告诉物质如何运动，物质告诉时空如何弯曲 ”。 在爱因斯坦的这种全新的引力理论中，传统的牛顿引力消失了，取而代之的是弯曲的时空，为了纪念爱因斯坦的巨大贡献，我们称这种时空为爱因斯坦时空。在爱因斯坦时空中，纯粹牛顿引力作用下的曲线 运动成了爱因斯坦时空中的“ 直线 ” ( 即测地线 ) 运动。 从亚里斯多德算起，经过了2200多年；从伽利略和牛顿算起，经过了 200多年，我们终于迎来了广义相对论与爱因斯坦时空。从牛顿引力到爱因斯坦时空是科学史上最激动人心的进展之一。如今距离这一进展又100多年过去了，在这种全新的引力理论和全新的时空中，很多新兴研究领域已经发展壮大，引力波就是这样一个领域。（未完待续） 本文选自《现代物理知识》2017年第1期 时光摘编 |
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