对称点对，距离等积！从两个定理了解高中数学圆锥曲线的对称之美

“致中和，天地位焉，万物育焉。”古人把和谐平衡的意念之美，转化生活的点点滴滴，久而久之，形成了对称之美。对称是世界公认的美的因素，对称是和谐的布局，对称是岁月静好，或简洁凝练，或华丽婀娜，对称是我中有你，对称也是你中有我！

圆锥曲线是公认对称的代表，自阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》问世后，无数数学大神都在探索曲线图形中对称的美，曲线中的每一个点都不是孤独的，总有另一个它时刻与你对称，或是x轴的，或是y轴的，或是原点的。

今天分享两个圆锥曲线的结论，从对称开始，到定值结束。无论点在哪里，造物有灵，定值永恒。

结论一：对称点对，距离等积

过椭圆对称轴上一定点Q(t,0)的动弦AB，一端点B与另一端点A关于坐标轴的对称点A’的连线BA’交对称轴于点P，则|OP||OQ|=a²定值。

过双曲线对称轴上一定点Q(t,0)的动弦AB，一端点B与另一端点A关于坐标轴的对称点A’的连线BA’交对称轴于点P，则|OP||OQ|=a²定值。

通过例1给出详细的解题过程，同时可证明该结论。

【分析】

（1）根据A，B两点对称，设出坐标，代入数量积的式子中，得到关于A点横坐标的二次函数，进而求出最值，和抛物线方程

（2）易知此题A，B正式关于x轴对称的两点，而点M也是椭圆上一点，故满足结论，答案应该是a²=4。此类题型在计算的时候不要盲目的设直线方程，韦达定理，这种题并不是常规的设而不求的思想，由于我们需要点P和点Q的横坐标，故需要利用A，B，M三点去表示出直线AM和BM，然后表示出点P和点Q的横坐标。最后利用点A，B，M在椭圆上的关系式，把设的未知数约掉，进而得到定值。

第一问详解

第二问详解

练习题1

练习题1

【分析】此题是结论的退化版，关于x轴对称的两个点退化成短轴的两个端点，显然结论依然成立。这里不在赘述。

练习题2

练习题3

练习题4

【分析】此题的对称点A，B是关于y轴对称，那么定值是否依然存在呢？结果又有什么变化呢？

练习题5

结论二：

A,B是椭圆的左右顶点，动弦CD与x轴交于点P(t,0)，直线AC与BD交于点Q，则向量OP和OQ的数量积为定值，定值为a²

A,B是椭圆的上下顶点，动弦CD与y轴交于点P(0,t)，直线AC与BD交于点Q，则向量OP和OQ的数量积为定值，定值为b²

双曲线也有类似的结论，鉴于双曲线不考察大题，感兴趣的同学可以自己手动作图寻找结论。

结论的证明我们依然不再给出，同样的，通过例2的计算过程附加把该结论进行证明。

【分析】

（1）略（2）解出CD两点坐标，根据两点间距离求线段CD的长。（3）设直线CD的斜率为k（注意考虑k不存在的情况），写出直线CD方程并求出点P坐标，直线CD与椭圆联立解得点D坐标（用k表示），写出直线AC和直线BD的方程，联立后解出点Q坐标，代入向量OP和OQ中，得出定值。记住该结论，确保计算结果万无一失。

【分析】（1）略（2）略（3）此题A，B是椭圆的上下顶点，故数量积的定值为b²=1

练习题1

练习题2

练习题3

练习题4