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我在网站上搜索了一下国际数学名家包括国内数学名师专著，想揭开数学学习的神秘面纱，想寻求答案：到底怎样才能学好数学？不看不知道，原来数学学习的困惑和学习误区不仅在中国，在全世界很多很多国家普遍存在，不计其数的孩子对数学产生恐惧，焦虑，乃至厌恶，甚至影响到整体的自信心和耐挫力，一项民意调查发现了一个令人震惊的事实：每10名成年人中就有4个表示上学时厌恶数学，这项比率要高于不对其他学科厌恶程度的2倍。孩子们与数学关系的恶化足以强大到摧毁他们的信心，在学校的不愉快学习经历不仅会让他们刚到那里不足和愚钝。数学给太多的人造成了严重的心灵创伤，这种数学创伤无处不在，人们关于数学与智力的偏见更是不断的向这个伤口上撒盐，这些无处不在的偏见更是让人数学穿山与焦虑，在人群中疯狂之声，以至于它传遍了美国。英国以及世界上的许多其他国家，更会限制他们在数学学习上的进步，进而影响他们以后的生活。这是一件普遍存在的大事，值得我们用心去探究，因为它关乎孩子的幸福与成长。在美国有人将其视为一种新的民事权利，如果年轻人希望自己能够强大起来，成为生活的主宰者，那么他们就需要具备一些数学素质：逻辑思考能力，比较能力，分析能力以及推理能力。在21世纪人类生活中数学的身影几乎无处不在，不论是浏览网页、分析数据（如课堂出勤率、足球联赛的比分结果）计算财政支出乃至是参加竞选。在英国，调研显示，以实际问题为导向的数学学习法使他们在面对相关数学问题时更加得心应手，年轻人将数学视为一种解决实际问题的工具。 一．错误的观念导向。 1只要数学计算得出结果就应该是精确的，不可能含有任何的估计充分，但事实上，猜想和估计是数学领域所应用的两类重要核心方法。数学正是有探索性和创造性的学科。数学大师Sawyer说：数学这门学科是对宇宙万物所有可能演变模式的分类与研究方法。从数学家那里，我们得知他们之所以对这门学科如此热爱以至于废寝忘食，是因为数学是一门活灵活现的，充满了奇特关联的，有着独特魅力的伟大学科。 2关于数学的第二个错误，数学好的人都是最聪明的，这个观念非常流行，但却是一个错误的急剧，破坏性的观点，这个观念让数学学习不好的学生备受打击，因为她们认为数学学不好，就意味着自己不够聪明。在数学教育中，我们面临的另一个重严重问题是人们普遍认为数学等同于计算最好的数学家就是计算速度最快的人。更糟糕的是，有些人认为在数学上反应快的人就是数学好的人，数学家们无疑是数学能力最强的人了，但他们在处理数学题时确实是很慢的，数学家之所以慢，是因为他们思考相当细致而深入。 3学数学越少犯错越好。如果想改变学生对犯错看法，最有效的就是改变他们对犯错以数学错误答案的看法，并让他们认识到犯错的价值。一个学生在学习数学时，每犯一个错误，他的大脑中就会激发出新的神经突触。当我们犯错时，我们的大脑活动强度就会增大，具备成长式思维模式的人对错误的察觉更加敏锐，所以他们回头改正错误的概率也就更大，成长式学生具备更敏锐的大脑反应和对错误更高度的注意力。所以犯错其实是一个机遇，犯错是我们学习的最佳时机，也是大脑成长的关键时期，认识到犯错的价值，对他们来说非常关键，其实希望学生可以犯一些错，但很多老师故意让学生去解决那些，他们不可能犯错的数学题。如果我们相信自己有能力学习，相信犯错的价值，那么我们的大脑就会在犯错时得到成长，这个结果的意义重大，如果我们想让学生犯错，那我们就应该让他们去做具有挑战性的问题，让他们进入认知不平衡的状态，但在这个过程中，我们应该把犯错的正面信息传递给学学生，让他们在功课难关，使不会因为害怕犯错而停止不前。希望学生们可以无拘无束的学习数学，尝试各种不同的想法，而不是害怕自己会犯错，希望他们可以用不同的方式去学习数学，乐意去解决数学题，敢于去尝试一些不靠谱的想法。如果学生们在提出自己的观点或者解决方案时，都非常放松，而且他们完全不怕自己会犯错，桑迪的学生之所以不怕犯错，并且能够解决高难度数学题的原因就是桑迪改变了他犯错的看法，而且让学生看到在他眼中所有错误都是有价值的，真正的数学不是固定不变的解题步骤，而是一门发展的开放的，创造性的，关于数量关系的科学，让学生认识到这一点至关重要。 通过对非常成功的商人与不太成功的商人的研究发现，这两类商人的不同之处在于越成功的人犯错的次数越多。有人总结了成功人士普遍具有的习惯，在犯错时不会感到尴尬，会尝试那些看起来很不靠谱的想法，愿意接纳不同的经历与经验参与，使不妄自评判，愿意挑战传统的观点，具有持之以恒的精神。 我们的大脑每时每刻都在产生新的神经元连接，爱因斯坦的成功是因为他学习做事都能够持之以恒，而且善于统计的错误中学习他工作努力犯错误时也不气馁，而是更加努力，他对待生活工作态度就是一个具有成长式思维模式的人所表现出来的态度。具备成长式思维模式的人，在犯错时大脑电流活动强度要比具有坚固式事位模式人在犯错时大脑电流活动强度大很多。但鲜为人知的是，思维模式与数学之间是相关的，教师和家长可以通过培养学生在数学上的成长式思维模式，改变学生的观念，数学习体验和他们未来的生活机遇。因为那些自认为很聪明的孩子，因为害怕失败，害怕失去聪明的标签，而不愿去做一些更有挑战性的工作，具备成长式思维模式，学生更愿意承担高难度的工作，他们把错看成一种机遇和挑战，并把错误转化为前进的动力。国际学生评估项目小组有一个惊人的发现，世界上测试成绩最好的学生就是那些具备成长式思维模式的人，而且在数学方面，他们的数学成绩要远远超出那些具有讲故事思维模式的学生。具有将故事尸位模式，学生在遇到困难时很容易放弃，而具备成长式思维模式，学生往往会坚持下来，展现出毅力这种品质。 很多科学研究显示，一个人成功与否并不取决于他出生时的大脑，而是取决于它的生活方式，对自己潜力的认识，以及它得到的学习机会太多，在校学生因为没有接到关于他们潜力的正确信息而认为自己不如别人，他们的学习能力而因此被限制。如果我们能够为学生提供积极向上的信息和正确的教育模式，那么任何一个学生都可以学好数学。那些每天都坚持做十分钟训练的人的大脑中出现了结构路径的变化，如果我们的学生在学习数学史，使用高品质的学习资料，并且能够收到关于自己潜力与能力的正面信息，那么他们的大脑将会发生怎样翻天覆地的变化？最近几年在大脑研究方面出现了一个新的领域，大脑可塑性大脑的容量是惊人的，他可以在很短的时间内快速成长，或者发生翻天覆地的变化，当我们进深度学习史突触之间的电流运动会在大脑中形成一系列的连接，那些连接会形成结构路径，但如果你不及时复习，不做深入的思考，那么这个结构路径就会像沙地上的小路一样很快消失。 4女孩天生数学天赋不如男孩。事实是女孩想要深入理解的愿望更强一些，他们想知道一种方法，为什么可行？这些方法是如何从概念的层面联系在一起的？这些问题都是很有价值的，而她女孩不能对问题深入思考时，他们便放弃了数学，而且这种教学方式通常为使他们患上焦虑症，研究发现女孩对数学的焦虑程度比男孩严重的多，而女孩们焦虑的主要原因就是他们无法在数学课堂上进入深入思考，具备深入思考的渴望与透彻理解概念的能力的学生，最适合从事数学科学和工程学的高难度工作。 原本实用有趣，充满生机的学科，为什么在课堂上变得如此索然无味？ 二．不好的教学模式会形成心灵的枷锁 如果你问学生在数学课上都做些什么，他们会说把题做对，很少有学生认为她们在数学课上应该欣赏数学之美，提出有意义的问题，探索数学的各种数量关，或者学习数学的应用传统的数学教学以老师讲解为主，老师在讲台上花费20至30分钟的时间证明定理及方法，学生在安静听课的同时反复地练习老师传授的解题思路，一直以这种被动的学习方式对学生展开教学的话，就会使学生缺少提出、价值、分析、刷卡并解答问题这一连串的实际能力。学生这种反复去记忆演算方法和背诵定理却不理解问题核心的现象，不明白为什么看似毫无关联的数学方法能够很好地串联在一起，并且能够形成一套解题的完整的思路。新式教育改革拥护者们认为学生应该积极参与到课堂教学当中，通过自己发挥主观能动性去学习有关知识，如亲自动手运算，自主地表达各种想法去解决问题，通过向别人讲述自己的见解来加深对知识的认知水平。著名数学家Reuben Hersh曾表明一个重要的观点：“人们之所以不喜欢数学，很大程度是由于课堂教学对于数学本来面目的歪曲。这使得在课堂对于数学的认识，与生活工作中所接触的数学大相径庭，与数学家们所最求的数学比较的话更是相去甚远。学生们学习数学过程中最为奇怪的现象往往是不知道问题是怎样产生的，但却知道如何去解答，这也就是所谓的知其然而不知其所以然，这是数学教育最应该正视的问题。“解决现有问题，发现新生问题”，正是这种循环往复，步步推进的探索之路造就了真正的数学灵魂。”如果学生有机会再课堂上提出自己的疑问，并且自主延伸出新问题，他们也就能体会数学是连续的有生命的，而并非是模式化、程式化的零散规则而已。如果老师能够有意识地去引导学生发现并探索新问题以激发他们学习兴趣的话，就会使他们更加热爱学习数学，通过解决实际问题而获得成就感。这种从一个问题过渡到另一个问题的学习方式能够最大限度地激发学生的探索学习兴趣，这需要课堂具备开放性与探索性的学习精神。其实每位数学老师手中都握有改变他人命运的主要机会。如果老师在日常教学中将时间仅仅用在指导学生如何教条地完成练习题上面，那么也就意味着他扼杀了学生对数学的学习兴趣。反过来，如果老师能够根据学生的知识水平，为其设置一些与之相匹配的富有挑战性的实践题目，以激发学生的强烈好奇心，从而培养他们时间解决问题的能力，这也就在无形中是学生一次了发散性的思维模式。好的数学老师会向学生提供很多具有锻炼价值的数学问题，给与他们充分的机会与空间来挑战这些数学问题，而不仅仅是照本宣科去见解那些程式化的方法。我们对某种知识停留在表层上的印象，与将知识切实理解透彻，并且不论何时何地面对任何情况都能熟练运用的境界完全是两码事。要想判断学生们到底是对所学知识留有表层印象还是已经理解透彻，往往需要考察他们处理实际复杂问题的能力，而并不仅仅是让他们去做简单的代数运算，学生们应该多与他人交流并以此来展现自己对于数学定理概念的独到见解。当学生被问到你认为怎样做才能在数学上获得成功？97%的乃至传统教学模式，学生给出了一个相同的答案，认真听其他采取教学改革的学校的学生，他们的回答是丰富多彩的，比如说提出一个好的问题，用自己的话复述问题，解释原因，使用逻辑推理解释方法，可行信对问题切转转换，将各种想法联系起来，帮助他人老师通过鼓励学生尝试不同的解题方法，比如提出一个好问题，换一个角度重述问题，讲解自己的新性与可解释性，数学包罗万象，它是一门多维度的学科，她的学习需要推理，需要推理，需要寻找事物之间关联，需要阐明方法，数学是一系列概念的集合，是帮助我们认识世界的工具，数学不是一层不变的，数学题的设置也应该让学习数学的人看到数学的丰富多彩，以及问题解决方式多样性，但这些改变真的发生时，学生们就会被数学所吸引，并与数学产生良好的互动。 数学老师要按规定教授成千上万个知识点，以至于她没有时间加每个知识点讲解的特别透彻，但老师们去讲授这些知识点，他们眼中的数学就像一个被拆散了，自行车只看到局部，看不到整体，而学生的任务就是把这些零散的部件日复一日，年复一年的达摩观念，这些联想这点并不包含这些知识间的联系，所以学生们在学习死也不会学到知识间的联系，但我不想让学生每天都去打磨这些零件，我想让他们自己去组装一辆自行车，然后骑着这辆自行车在数学世界里自由翱翔，享受探索事物关系和数学是思维，给他们带来的喜悦。 建议改变家庭作业的内容，不要给学生布置侧重表现的问题，要给他们布置一些反思性的问题，而这些反思性的问题可以让他们思考学过的主要概念与联系，这样才能提高他们的数学能力成绩，比如，你今天学习的主要内容是什么？你对哪些内容有疑惑？如何将今天所学的内容应用到你的生活中？家庭作业也可以是探究式的学习项目，比如让学生在家里或者户外寻找菲波，那契数列也就是黄金分割数列的例子，家庭作业只有在能够为学生提供思考与探索机会的情况下，才值得布置给学生 北京数学名师孙维刚老师坚持 ，凡事一定要问什么？择孙老师的课堂上，学生们经常在那一遍遍，为什么的全追门打中思潮如涌？八幡联系的寻找答案，一道题往往能找到十几20几种解法孙老师，力求一题多解多解，归一多题归一，用冻的观点考虑问题，尽可能多的拓展思路，训练发达的头脑，做到八方联系，浑然一体，最终达到漫江碧透，鱼翔浅底的境界。数学之美就在于能够从不同视角用不同方法审视分析同一种问题，虽然用各种方法最终得到的答案是一致的，但是我们所选择的是不同的路径。 要为学生提供开放式的由浅入深的数学题呃，由浅入深的数学题一般也是对学生最具吸引力，最有趣的题 在推行复合教学法后，老师们惊奇地发现，但他给学生布置了一个由浅入深的问题后，一名数学成绩很差的学生，居然第一个给出了解决方案，在后续教学中，这些老师不断地被各个水平的学生提出的别出心裁的方法锁经验，看到学生们在取消分层教学后的优异表现，以及他们对数学恐惧与焦虑程度的快速降低，这些教师都极为激动。 他再次告诉我们，学生们对自己充满信心是多么重要，同学告诉我们，尤其在充满挑战的时刻，对自己充满信心是多么重要。 学校善于去寻找和激发不同类型的学生的学习潜能，老师把每个人看做是充满无限潜力的，这种心理暗示使他们能够以一种积极的态度和方式去面对以后的工作和生活。每一位成功的老师都有着自己一套独特的教学方法，而数学成绩优异的学生并不像别人所想的那样生来就具有优秀的数学基因，其实他们也有一套不错的学习方法。尝试去对付那些纷繁复杂的数学问题看起来并不是那么有趣，但正是通过自身努力不断提高解答成功率的过程中寻找到了快乐，是因为他们身上具有“持续自主学习的”这种特质，会以研究问题为导向有针对性地学习相关方面的知识。 三如何提升数学素养 1给孩子最好的数学启蒙 （1）提供数学熏陶的环境 许多人对于数学产生兴趣，并非开始与学校教育，而在家庭环境的影响下，从发现有趣的数学问题或数学猜想而开始的。不要低估这种家庭式的非正规教育，还有各种趣味题，益智游戏等活动，对孩子数学启蒙的重要性，对孩子来讲，这种趣味题还有其他小题目，要比课堂上那种标准简洁式的数学问答题更为重要所以要提供一种数学熏陶的环境，最好是和孩子一起去探讨数学中的各式概念和思想。比如益智拼图七巧板魔方，其实只要涉及物体的旋转，移动组合的玩具都会有这样的促进功能。如果孩子能和家长交流思考和推理过程，就更好了，一旦孩子养成这种对问题逻辑分析的习惯，并且真正做到自主的解决各种问题，那么那些能力对他们以后的学习和生活都将是一种宝贵的财富 家长引导孩子学习的示范性语句： 你是如何思考这个问题的？ 首先你要做什么？ 下一步你要做什么？ 你为什么要这样做？ 你能想出另外一种解题方法吗？ 这两种方法有何联系？ 你如何转化问题使其变得更简单、更容易？ （2）趣味题和思考题 （3）学会去提问 提问题，这种学习形式一方面可以提升学生们的数学水平，另一方面也可以改善学生们对数学学习的态度，学会提问是学习数学最有用的一项技能，学生对问题的推理来源与他们在提问后的自主思考过程，比如验证一项数学推断解是一种方法的意义所在，以及在面对他们质疑史解释自己所用方法与作答的准确性等。如果学生把数学看成一个可以可以自由探索提问问题，思考事务相关关系的充满未知谜题的世界，那么他们在学习过程中就会意识到他们的角色释行思考，寻根问底和自身成长。我们能为孩子提供的最好的也是最重要的，开始就是让它们自由的探索，培养他们建立自己的思考模式，成功的数学应用者都有自己同数学打交道的方式和数学思考方式，成功的数学应用者总带着一股想要理解的渴望与能够理解的信心同数学打交道，他们寻找事物的的规模规律模式，用数学式思维与数学打交道，我们需要在学生们开始他们的数学之旅时，就把数学式思维指路，他们的大脑如果学生把数学看成一个可以可以自由探索提问问题，思考事务相关关系的充满未知谜题的世界，那么他们在学习过程中就会意识到他们的角色释行思考，寻根问底和自身成长 （4）解题策略 研究中发现，那些数学水平很高的学生能够熟练并且灵活地对数字进行拆分与组合，而学习成绩差的学生恰恰没能掌握这个方法，单成绩差的学生发现自己的方法步骤，笑死他们不会做出相应调整，而是周而复始走老路。缺少将数字灵活拆分组合，以及对以前所学到的知识进行适当压缩能力的学生，经常会错误地使用数学模型，需要有人去帮助这些孩子来转变其对数学的错误观点认知，并且指导他们灵活地去运用数字运算以及思考各种数学概念。 数学信息具有惊人的压缩能力，你可以花费很长的时间，一步一个脚印的去研究某个问题，用无数的方法仿佛验证同样的推导过程或想法，不过一旦你将其完全理解并掌握后，这个问题在你的脑海中会一种更全局视角呈现，这就是思维，对于问题从起源到结果的整体压缩。数学成绩差的学生很少使用知识压缩这项技能，他们将聚力集中在对不同数学方法的记忆上面，将学到的方法不断堆叠，这样也就很难形成统筹全局的视角。并且他们实际上不懂得如何对已经掌握的知识在头脑中进行压缩。 解题高手通常能够使用各种各样的数学表达式来解题和交流结果，比如他们可以将一个数字形式表达的问题转换为以图形或图表形式表达的问题，这更有助于他们发现同一问题的不同侧面，或者他们会选择用一种特定的表达方式来强调问题的某一重要特性，从而使其他人能够更好地理解自己想要表达的观点 （2）思考方法和解决方法，这七个技能分别是概念理解，看穿本质，合理解题，抓住因果关系，增加信息，令人信服，从局部看整体数理性思维的七个方面，整理顺序概念，转换抽象化，具体化，逆向思维。数学的美感数学好的人肯定不会是死记硬背解题方法，然后拿来生搬硬套的人，他们擅长解题方法和基本的解题思路，比如说十种解题思路的运用，降低次方和次元，寻找周期和规律性，寻找对称性，逆向思维，与其考虑相加，不如考虑相乘，相对比较归纳性的思考实验，数学问题的图像画等值替换，通过终点来拘束起点。 2开启学校教学新模式 哈佛大学教育学专家Eleanor Duckworth 在她的论文《创造奇妙的想法》指出：“对于孩子来讲，最有价值的学习经历是他们在自主学习过程中形成的那些观点和思想。”有关研究结果表明：当孩子能够以自己的意志去工作学习是，他们在做事时不仅会更加积极主动，还会竭尽全力来达成目标。最好的教育方式不在于让孩子去做那些所谓的超水平的数学题，或者去买一些数学相关方面的书籍，让他们来阅读我们的培养目标是让孩子自主的形成数学思维，病邪学会去提问题，鼓励孩子将他们的想法付诸实践。 高质量的问题，通常是进入孩子思维世界的一把钥匙，我们通过这把钥匙去了解孩子们的学习思路，从而帮助他们更好地成长，通过提问，我们能够切实引导他们，使他们有更大的进步，同时也让他们体会到数学是如此有意的一门学科，每个人都可以用自己独有的思考方式去解答数学问题。应该鼓励孩子自主思考和相互讨论，鼓励学生将抽象疑问转化为具体的问题，在抽象问题具体化的过程中更容易发现问题的核心本质，随着这种模式的转换，学生之前的疑问也许就迎刃而解了。比如在数学实验班中，数学家们尝试嗯，给学生充分的机会，让他们灵活地学习数学以及掌握数字的拆分与组合，教会学生如何去提问，去探索不同的数学模型与概念间的相互关系，并学会思考概括，解决实际应用问题，以上这些都是数学学习的重要方法，但是他们却又常常被学校的课堂教学忽视。如果有机会了解你面前学生内心的真实想法，那么就有可能打开他们的心结，让它们隐藏许久的数学潜能得到充分发挥 有关数学的交流应该在一种放松且远离压力的氛围下进行，内心的恐惧和压力会对数学学习构成一定的阻碍，孩子们在分享自己的数学思想史，应该感到飞非常的自在，随意相比于其他学科，数学给学生带来的挫败感会更加强烈一些，而且足以打击一个人的上进心。 好的老师不会让学生去做那些有标准答案的数学题，他的意思是他主要致力于帮助学生们掌握数学方法，并且培养他们的思路，而这需要通过开放式的问题才可能达到目的，只有这种开放式的问题才聚锻炼价值，了解学生的解题思路数学学得过于简单和大量重复性的简单习题，这也是为什么学生不具备数学是思维的主要原因，学生们认识到自己的角色不是思考与意义构建，而是学习解题方后不停地做题练习，这就导致他们认为在数学课上没有思考。我们能为学生做的最有意义的事情，就是帮助他们培养数学式思维模式，这样他们就会认识到数学不是关于解题方法的记忆，而是关于思考一构建整体观念，已知数量关系的一门学科。 把数学题调整一个开放性的问题，按调整后的问题解决方案与解释方式多样化，调整后的问题呢，为学生提供探究机会，先思考问题再传授解决问题所需的数学方法，将问题与图形结合，询问学生从图形的角度如何看待这道数学题调整后的问题，要聚由浅入深的特点，让学生进行推理，提出质疑，解答疑问。 当学生真正理解了数学概念和关系时的兴奋与快乐，它包含了好奇心，联想挑战创新和合作。当学生以不同的方式如探索联系与规律来学习数学，以成长式思维看待自己的数学潜力史，他们与数学关系将彻底改变。 教师要把积极向上的期望与信念传递给那些看起来反应，有些慢，学习动力缺乏，或者在学习上挣扎的学生表面上对概念掌握速度很的学生不一定有很强的数学潜力，再让学生完成一个数学任务，之前教师不能对任何学生有先入为主的评价，每个学生都可能在不同的时间显示出自己强大的数学潜力。 采用成长性成长式思维模式，以前在学生中普遍存在的数学焦虑消失了，取而代之的是学生满满的自信，自信的心态，使学生的学习动力，课堂参与以及成绩水平得到了大幅度的提高，老师开始重新将自己视为一名创造者，具有的设置教学环境，并将自己关于创新性教学的想法融入其中，只有当学生不在恐惧低分时，他们才会用开放这个词来描述他们对数学的感觉，当我们教授给学生的数学是创新性的，探究式的数学史，他们会感到兴奋好奇。 教师反思问题清单： 1、当我们目前的数学课程是否能教会孩子如何去思考推理？并且让他们真正理解学习数学的意义？2、我们目前的教学方法能否激发孩子学习热情，鼓励他们自我挑战去学习数学的重要思想概念吗？3、我们对目前数学教学方法的一再坚持，是否过于保守了？4、老师给孩子留的作业或者实践题目是否可以培养孩子的实际问题解答能力为目标，并让他们去挖掘数学世界中的各种核心表达形式5、老师，是否强调了数学心算的重要性？6、目前老师在讲解数学课程时是否强调了同一道题目存在多种解题思路？7、老师是否让孩子们了解到数学学习的真正核心在于理解，而不是死记硬背？8、孩子们能否真正做到在数学学习中自主思考，并去体会数学的真谛？ （本文内容摘抄于相关书籍，目的用于交流学习。） |
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