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初中数学相似三角形培优卷,难度偏高,优等生专属

 海阔天空0rdktt 2019-11-26

知识点1: 相似三角形的概念

对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形.相似用符号“∽”表示,读作“相似于” .相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数).相似三角形对应角相等,对应边成比例.

①对应性:即两个三角形相似时,一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上,这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边.

②顺序性:相似三角形的相似比是有顺序的.

③两个三角形形状一样,但大小不一定一样

④全等三角形是相似比为1的相似三角形.二者的区别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例.

知识点2 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理

(1)相似三角形的等价关系:

①反身性:对于任一△ABC有:△ABC∽△ABC.

②对称性:若△ABC∽△A'B'C',则△A'B'C'∽△ABC.

③传递性:若△ABC∽△DEF,且△DEF∽△GHI,则△ABC∽△GHI。

(2) 三角形相似的判定定理的预备定理:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.

定理的基本图形:

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知识点3 三角形相似的判定方法

1、定义法:三个对应角相等,三条对应边成比例的两个三角形相似.

2、平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角

形与原三角形相似.

3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两

个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似.

4、判定定理2:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹

角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.

5、判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这

两个三角形相似.简述为:三边对应成比例,两三角形相似.

6、判定直角三角形相似的方法:

(1)以上各种判定均适用.

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.

(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.

注:

射影定理:在直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,

则AD²=BD·DC,AB²=BD·BC ,AC²=CD·BC 。

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知识点4 相似三角形的性质

(1)相似三角形对应角相等,对应边成比例.

(2)相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.

(3)相似三角形周长的比等于相似比.

(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方.

注:相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等,也可用来计算周长、边长等.

知识点5 相似三角形中有关证(解)题规律与辅助线作法

1、证明四条线段成比例的常用方法:

(1)线段成比例的定义

(2)三角形相似的预备定理

(3)利用相似三角形的性质

(4)利用中间比等量代换

(5)利用面积关系
2、证明题常用方法归纳:

(1)总体思路:“等积”变“比例”,“比例”找“相似”
  (2)找相似:通过“横找”“竖看”寻找三角形,即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不

同的字母,并且这几个字母不在同一条直线上,能够组成三角形,并且有可能是相似的,

则可证明这两个三角形相似,然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.
  (3)找中间比:若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母,但这

几个字母在同一条直线上),则需要进行“转移”(或“替换”),常用的“替换”方法有这样的三种:等线段代换、等比代换、等积代换.

即:找相似找不到,找中间比。方法:将等式左右两边的比表示出来。

(4) 添加辅助线:若上述方法还不能奏效的话,可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成

比例.以上步骤可以不断的重复使用,直到被证结论证出为止.

注:添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线(即得平行线)构造相似三角形或比例线段。

(5)比例问题:常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题,常用处理办法是设“公比”为k。

(6).对于复杂的几何图形,通常采用将部分需要的图形(或基本图形)“分离”出来的办法处理。

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