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索尔·克里普克（Saul Kripke，1940—） [英]蒂莫西·威廉森（Timothy Williamson） 著许多哲学家骄傲地强调他们并没有独断的坚持他们的观点，他们会论证自己的观点。在一种严格的逻辑意义上，他们通常想到的这种论证就是演绎。演绎论证的结论在逻辑上遵从这些前提，也就是它的假设。肯定前提和否定结论将会在逻辑上不一致。例如：无神论的这个论证从演绎论证的角度而言是有效的：如果前提成立，逻辑上推出的结论也成立。能推出这个结论是因为，大前提提供了两个选项，而小前提排除了其中一个选项，因此，只剩下另一个选项。这种特定的论证被称为选言三段论。它是诸多演绎论证的有效形式之一。不仅哲学家使用演绎，数学的证明就是一连串的演绎。日常生活中的某些推理也是演绎。如果你推理你的钥匙要么在楼上，要么在楼下，并且它们不在楼下，所以它们一定在楼上，你所依赖的就是选言三段论。根据古希腊哲学家克利西波斯（Chrysippus，约前279—前206）的观点，甚至狗也使用选言三段论。有一天，当他们追捕一只兔子时，他的狗来到一个有三叉路口的地方。这只狗首先闻了闻其中的两条路，然后没有继续闻就沿着第三条路跑去。它不需要再闻了，因为它推理：“这只兔子要么走这条路或那条路，要么走第三条路，它没有走这条路和那条路，所以它走了第三条路。”自19世纪中期以来，通过使用精确的人工语言，演绎逻辑取得了突飞猛进地发展。人工语言的公式在逻辑结构上比自然人类语言的句子要更加清晰，像英语和汉语。数理逻辑是数学的一个分支，被广泛地应用于计算机科学。事实上，阿兰·图灵（Alan Turing，1912—1954）和数理逻辑领域的其他人的研究是现代计算机发展的基础。哲学家通常使用现代逻辑进行更为精确和严格地论证，有时候会把论证转换成一种人工语言，这样，对论证的有效性的检验能够更加容易和可靠。这就像在慢镜头回放中等待着看到底发生了什么，而不是把判断建立在实时的模糊不清的动作基础上。但是，现代逻辑的一切力量和洞察力基本上源自正常人的简单推理能力。
当人们称一个论证有效时，不会去判断前提和结论是否正确，只会去排除前提正确而结论是错误的这种情况。一个前提正确并且因此结论正确的有效论证被称为可靠的。因此，如果两个论证具有相互不一致的结论，它们不能都是可靠的，但是它们可能都是有效的。我们来把这一章开头的无神论论证与反对无神论的论证进行比较，也通过选言三段论：在展示的两种论证中，结论的确都是从前提推出的，因此，两种结论都是有效的。但是，它们之中最多只有一个结论是可靠的：不可能既有神又没有神。在面对两个结论相互不一致而有效的论证时，人们必须评估它们的前提。有些前提是自明的真理。例如，第一个论证的第二个前提：“有痛苦”，这是自明的，即使某个地方的人疯狂到否认这种自明的东西。但是，哲学上最有意义的论证会至少有一个非自明的前提。例如，示例中的两个论证的第一个前提都是非自明的。于是，哲学家会寻求进一步的论证以支持原初论证的非自明前提，然后，他们还要为那些进一步论证的非自明前提寻找其他的论据，以此类推。这将退回到哪里呢？
阿维森纳（Avicenna,980—1037） 用数学来做类比可能看上去令人鼓舞。在运算中——例如计算数字0，1，2，3，……的理论——人们可以通过长长的证明从非常自明的公理中有效的推导出非常不自明的定理。人们难道不可以寄希望于在哲学上做同样的事情吗？不幸的是，哲学的历史建议我们不要这样做。虽然诸多才华横溢的哲学家已经试图以这种方式确定是否有神存在，但是都以失败告终。经验表明，哲学上其他大部分有趣的问题也是如此。例如，物理主义在逻辑上是一致的，同样地，二元论也是如此，但是，物理主义和二元论两者在逻辑上却相互不一致，因此，单靠逻辑不可能解决它们之间的分歧。在哲学的大部分领域中，我们最渴望理解的那种系统的、深刻的、普遍的理论，也是最不可能从自明的前提中推导出来的。我们可以降低我们的起始前提的标准。我们可以认为：它们不需要是自明的，只要在某种意义上它们是“直觉的”。但是，如果我们把标准降低到足以从新标准的前提进行有效论证以获得有趣的结论，例如有神论或无神论，二元论或物理主义，那么，我们可以轻易地发现，我们自己又回到了之前为相反的结论而进行的成对论证。关键的任务将又是评估这些前提。那么现在，我们该怎么做来达到目的呢？简而言之，哲学方法的这种演绎观念崩溃了。因此而得出演绎在哲学上是不重要的这个观点显然是错误的。哲学家还在继续依赖演绎。但是他们做的最成功的是从理论出发进行演绎，而不是演绎出理论。例如，通过思想实验检验一种理论时，我们通过演绎得出了一幅想象场景的结果。这个理论是一个普遍的概括，它的一个例子说明了当下的情况。我们再来看第五章中的例子：从确证的真信念是知识这一理论出发，我们演绎出这样的结果：如果一个人有一确证的真信念，即那边着火了，那么他也就知道那边着火了。这类似于从理论中（加上其他的一些假设）演绎出可观察的预测的科学方法，然后观察这些预测是否得以实现。虽然自然科学家并不期待从或多或少自明的前提中演绎出他们的理论，但他们仍然严重地依赖于演绎以得出他们理论的结果。通常，这些演绎都采取了数学计算的形式。从一种科学理论中演绎出结果并不只是出于预测的目的。它在解释中也起到了关键的作用。例如，要解释为什么行星以椭圆轨道运行，就要涉及到从一项叙述运动规律的理论中演绎出这类轨道。哲学的诸理论也有解释性的力量。例如，一些哲学家解释一个精神的事件如何可能引起一个物理事件：精神事件就是物理事件，因此，它并不比一件物理事件引起另一件物理事件更成问题。他们是从被称为“同一论物理主义”的理论中进行演绎的（参见第六章的方框2）。在哲学和自然科学中，解释性的演绎，类似于预测性的演绎，二者通常都依赖于额外的背景前提，但是没什么可惊讶的。这与演绎的关键作用相当一致。有些理论具有很低的演绎能力：很少有什么东西能够从它们那里被演绎出来。这可能有几个方面的原因。一种理论可能是精确的，但过于谨慎。例如，一种理论仅仅指出，“至少有一个事件引起了至少一个其他的事件”，就是相当精确的，但是基本没提供什么信息。而普遍性概括的形式：“一切事物都是如此这般”，显然提供了更多的信息，因为它在逻辑上意指了一个关于我们喜欢的事物的例子：“这个事物如此这般”。但是，如果“如此这般”过于模糊，甚至是普遍性的概括也不能告知我们更多的东西。想象一下，一位哲学家宣称：“一切事物都是存在与生成的综合。”并且，当被问到“存在与生成的综合”意味着什么时，他就会絮叨些无意义的话。这一理论一开始可能听起来令人印象深刻，但是它并没有告诉我们更多的东西，它的结论究竟是什么意思实在太过模糊。这类没有什么信息量的理论具有很低的解释力：它们解释的东西很少。更广泛地说，它们没其实有回答我们的问题。精确的普遍性概括一般具有更强大的演绎和解释力。钟情于精确的哲学家有时候因过于谨慎而受到批判，甚至由于理智上的懦弱而受到批判。这个观念指的是，真正大胆的哲学家是那些准备投入晦暗的深处，甘冒黑暗中的一切风险的人；而那些钟情于精确的人则在清澈的浅滩上玩些琐碎的游戏。这是一幅美好的画面，钟情于模糊的人面对危险的安全梦想。狂野和朦胧的散文诗听起来可能很激进，但是它其实是容易、舒适的选择，因为它的不清晰性使得它不可辩驳。它使某人的错误不可能得到确定。而危险的选择则是说出清楚和具体的足以被反驳的东西。在逻辑上不一致的极端情况中，一个理论也可能具有过强的演绎力。在标准的逻辑中，一个不一致的理论的崩溃是因为：它意指了所有的命题；它不可能始终否认所有东西。（由此，“月亮是用绿色奶酪做成的和月亮不是用绿色奶酪做成的”可以意指“你是教皇”）。看起来它解释了一切事物，而与它不一致的理论则什么也不能解释。由于清晰性放大了演绎力，清晰的理论比含糊的理论更有可能导致这场最终的灾难。如果它们能设法避免这种情况，它们将相应地赢得更多的信任。考虑到目前为止所说的，在哲学中，演绎的地位看上去非常类似于它在自然科学中的地位。这可能表明，哲学在方法论方面更接近于自然科学，而不是数学。在数学中，每一个定理都必须有一个演绎证明。但是，这个结论是不成熟的。因为，甚至在数学中，每一个证明都依赖于第一原理，它是不用被要求进一步证明就能被接受的原理。如果你从结论往回追溯数学的证明，一步一步，最终你一定会在有限的步骤中获得第一原理，否则，它将是循环或者是无限倒退的返回，因此就不是真正的证明。所以，数学证明也依赖某些非演绎的东西，即对第一原理的支持。数学证明中的第一原理是什么呢？有些是演绎逻辑的原理，既被使用在非数学的推理中，也被用于数学的推理中。例如，可以意指任何个别事例的普遍概括的原理。另外一些是具体的数学原理，例如，无穷性公理，它指的是，有一个无穷的集合，一个成员数无穷多的无穷集合（0，1，2，3，……）。有些哲学家试图摒弃逻辑和数学的这些第一原理，把它们仅仅当作是言语的约定，部分地定义了逻辑和数学的语词，例如“每个”和“集合”。然而，这些尝试歪曲了这类语词的使用。例如，无穷性公理不是“集合”一词的部分定义。有穷论者（Finitist）否认这个公理，并且坚持认为所有的集合都是有限的。在这样做时，他们不需要曲解“集合”一词或者提倡改变这个词的所指。他们可能只是简单地认为，这个公理（带有当前所指）是错误的。如同大部分数学家一样，我认为这个公理是正确的，但是，要坚持认为没有人真正地不赞同，那这样一种“压迫性的宽容”，就会是极权主义的。人类的语言为分歧的意见留下了比这多得多的空间。真理和谬误的真正问题出现在逻辑和数学的诸多基本原理上，正如它们在物理学的基本原理中所出现的问题。这些问题应该被公正地对待，而不是回避。是什么东西确保我们接受一些逻辑和数学原理，而拒绝其他的原理呢？它们并不都是自明或者自证的。尤其是，有一个无穷大的集合，这不是自明或者自证的。另一种更有希望的方案就是，把类似于第六章应用于自然科学和哲学的这种溯因推理的方法应用在评估逻辑和数学的基本理论上——一种最佳解释推理。伯特兰·罗素采取了这个观点。在1907年的一篇论文中，他写了（使用的术语是“归纳”，而不是溯因推理）关于逻辑和数学的第一原理，在此之前，他花了数年时间试图确认它们：我们倾向于相信这些前提，因为我们能够看到，它们的结果是正确的，并不是因为我们知道前提是正确的而相信结果。但是，从结果推理出前提是归纳的本质，因此，探究数学原理的方法是一种真正地归纳方法，并且它实质上与在其他任何科学中发现的方法相同。由此，我们接受了无穷性公理，因为我们需要通过一种新的和更为基本的逻辑-数学的理论导出许多早已公认的数学理论，用它去统一数学。罗素的描述，奠基于他自己的经验，与任何言语的约定或明显的自证相比，它更适合逻辑和数学基础理论的历史发展。逻辑和数学中的大部分研究都是非基础性的。人们用演绎法证明定理，应用公认的原理和方法，想当然地视之为正确，而不追问它们从何处来。但是，当它们的正确性被质疑时，回答就是溯因推理。因此，把自然科学和哲学描述为溯因推理，而把逻辑和数学描述为演绎式的，这是一种错误的对比。溯因推理在逻辑和数学中也起到一种谨慎但基础性的作用。我们可以把哲学刻画为某种数学和自然科学“之间”的东西，只不过这样做会误导性地表明一种单向度的比较。在溯因推理方面，哲学更接近自然科学，而不是非自然科学的数学。在现实生活的实验方面，哲学更接近数学，而不是自然科学。溯因推理在逻辑和数学中的基础性作用表明，现实生活的实验对于溯因推理方法本身是无关紧要的，即使它对于很多具体的溯因推理项目的成功至关重要。这是警告不要把溯因推理在哲学中的基础性作用当作将哲学与自然科学同化的一个理由。哲学作为一种系统性的、有序的探究形式，它是一门科学，但不是一门自然科学。当哲学家进行演绎地论证时，他们通常都应用公认的逻辑或数学的原理和方法，理所当然视之为正确的，而不追问它们从何处而来。这可能助长了这样一种印象，即逻辑是没有自己的哲学承诺的哲学诸理论之间的一位中立裁判员。这个印象是错误的。所有逻辑上提出的第一原理都会受到哲学根据的挑战。这些挑战可能是错误的，但它们并不是疯狂的。没有任何有趣的意义，诸种第一原理在哲学上一般都是中立的，虽然它们可能在许多具体的哲学争论中被双方所接受。最为著名地有争议的逻辑原理就是排中律，它是古典（标准）逻辑的一项核心原则。排中律的每个例子都认为，有些事情要么是这样，要么不是这样。这包括关于过去和未来的诸多命题，也包括关于当前的命题。这里有一个排中律的例子：有些哲学家会拒绝这种命题，因为他们认为未来的事情仍然是未确定的。对于他们来说，明天你打喷嚏与否，是开放性的，两种情况都有可能。他们论证：“明天你打喷嚏”，现在还不能确定是正确的或错误的，“明天你不打喷嚏”，现在也不能确定是正确的或错误的。因此，“或者……或者……”这整个的语句本身不能确定是正确的或错误的。因此他们拒绝了排中律，并且也拒绝了古典逻辑。人们可以在他们的推理中发觉漏洞，但它并不是无理取闹。
露丝·巴坎·马库斯（Ruth Barcan Marcus，1921—2012） 传统意义上，违背理性的最大罪过莫过于肯定一个矛盾：你不可能与那些情愿自相矛盾的人进行理性的讨论。但是，有些追溯到古希腊的逻辑悖论使得要避免自相矛盾非常困难。例如，克里特的埃庇米尼得斯（Epimenides the Cretan）提出的下述这个命题（称之为“S”）：S是正确的吗？如果S是不正确的，那么，因为这是S所说的，所以S是正确的。如果S是正确的，那么，根据S所说的东西，S是不正确的。无论哪种方式，我们得到的都是一种矛盾，这是大部分的逻辑学家都在极力避免的。但是，有少许所谓的双面真理者（dialetheists），例如格雷厄姆·普里斯特（Graham Priest），他论证到，在这些悖论的例子中，最好的选择就是包含矛盾，因此推断：我不是双面真理者，但是我从经验中获知，你可以与格雷厄姆·普里斯特进行合理的讨论。为了论证双面真理论，他甚至使用了这里倡导的溯因推理的方法。在古典逻辑中，一种逻辑上的矛盾隐含的是涵盖一切的全称命题（参见“逻辑与数学中的溯因推理”小节的结尾处）。要承认自身是涵盖一切的全称命题将是很疯狂的，但是，双面真理者并不想要走这么远。为了避免它，他们修订了古典逻辑，使它能够确定矛盾影响的局部化，使大部分命题不必遵从它。这样做的方式要求他们拒绝选言三段论。因此，他们会把此前支持和反对无神论的选言三段论看作是逻辑上无效的，即使这些论证不是他们所认为的原理导致人们误入歧途的例子。可以认为，双面真理者低估了抛弃古典逻辑所付出的代价。由于古典逻辑默默地被应用于整个科学界，抵制它将会产生巨大的连锁反应。双面真理者希望在非矛盾的情况下，只要他们需要，在具体分析的基础上，就可以通过增加额外的假设来恢复其效果：“古典逻辑在这种情形下是可以的”。这些假设必须被添加到各种完全正常的科学解释上，在非矛盾的情况下，使它们在不被授予一般有效性的古典逻辑中起作用。用无数额外的由假设构成的科学解释扰乱优雅简洁的科学解释，这会随着时间的推移而削弱科学上的所有这些解释的力量。相反，如果人们保留古典逻辑，在其他地方做出调整，人们可以避免如此大范围的解释力的损失，并且，根据第六章概述的理论比较的科学方法，可以达成更好的协定。尽管如此，衡量这些矛盾的竞争性解决方案的代价和效益是很微妙的。双面真理者可能犯了错误，但是并不是疯狂的错误。逻辑中最为琐碎的原理之一，就是“同一性的自反性（the reflexivity of identity）”这个宏大的头衔，它说的是一切就是其自身。然而，甚至是“同一性的自反性”也被否认了。有些哲学家认为没有任何东西是自我同一的，因为一切事物总是在变化着，并且，当事物变化时，它们就不是其自身了。他们的论证建立在同一性逻辑和时间逻辑如何相互作用的微妙且并非疯狂的错误上，但结果仍然是，他们否认了“同一性的自反性”。自然科学的发展已经被用来激发对古典逻辑的修订。希拉里·帕特南和少许其他并非疯狂的哲学家论证到，理解量子力学中某些令人费解的现象的最好办法就是，假定量子世界的逻辑是非古典的。根据古典逻辑的分配律，下面的命题（1）在逻辑上隐含着命题（2），命题中的F、G和H是一种物理系统中可能有的三种属性：
鲁道夫·卡尔纳普 在“量子逻辑”中，命题（1）在逻辑上并不隐含着命题（2），分配律失效了。这个对古典逻辑的挑战并不荒谬，并且也没有藐视语言习惯。问题是，放弃分配律是否真的有助于解释量子世界里的物理状况是怎么样的。不幸的是，对于量子逻辑来说，答案似乎是“不”：放弃分配律并不能解决物理学中潜在的问题。帕特南后来放弃了量子逻辑。关键的是，他的挑战不能只是简单地被搁置。遇到这种问题，在理智上负责任的办法是，详细地思考逻辑的改变是否有助于我们理解量子世界。伯特兰·罗素写道：“逻辑关注的是现实世界，正如动物园那样真实，尽管关注的是现实世界更为抽象和普遍的特征。”他并不是从象牙塔上看这个现实世界——这句话是他在第一次世界大战时期的监狱里写的。由于他在一篇杂志文章中暗示，在英国的美国军队可能会被用来破坏罢工，因损害了英国与其盟友美国的关系而被判刑6个月。古典逻辑是一种很好的理论，它是现实世界最为抽象和普遍的特征。它没有先验的辩护，也没有证据证明对它的任何挑战是没有意义的。它不需要这类辩护。更确切地说，古典逻辑像其他科学理论一样，通过与第六章中概述的其竞争理论进行溯因推理式的比较而得到了辩护。古典逻辑是简洁以及优雅的。从逻辑上看，它比大部分竞争理论都更为强大：更有信息量，具有更强的统一和解释普遍样式的能力。它已经被检验要出比任何非古典逻辑都强大得多，并且被认为足以胜任。因而，数千年来，它已经成为数学和其他科学的基本逻辑。试图表明它不适合证明，从来就没有成功过。它是我们最好的科学理论之一。古典逻辑对哲学也有所贡献。实际上，它所描述的抽象和普遍的样式就是哲学的核心意义。既指对它们自身权利的兴趣，也指作为限制哲学理论的价值。否则，对于哲学家来说，要把他们对不一致性的抱怨归于古典逻辑就太容易了。有一句古老的谚语：“拙劣工匠抱怨工具”。古典逻辑通常迫使我们更深刻地解决问题。古典逻辑关注“非”“和”“或”“所有”“有些”以及“是”的逻辑。有些逻辑理论，与其说校正了古典逻辑，不如说是扩展了它。一个例子就是模态逻辑，它关注的是逻辑中的“可以”和“必须”，或者“可能”和“必然”。例如，如果你可以坐着，从逻辑上来说，或者你可以坐着唱歌，或者你可以坐着而不唱歌。相反地，如果你必须坐着，从逻辑上来说，就不会有你必须坐着唱歌，或者你必须坐着而不唱歌——唱不唱歌取决于你。模态逻辑系统性地研究这类论证哪种是有效的，哪种是无效的。模态逻辑通常在哲学上重视某些东西是否是可能的或不可能的，必然的或偶然的，因而，它是许多哲学论证的逻辑学相关分支学科。这意味着你必然是某种东西，不可能什么也不是。但是，如果你的父母从来没有相遇呢？那么，你不就什么也不是吗？如果你否认这个假设，你实际上正在以模态逻辑的语言制造出另一个命题：当前，哲学家们正研究每一种选择的结果，以弄清楚哪一种选择提供了更好的整体理论。尽管有争议存在，但逻辑学仍取得了明显的进步。而其中，很多进步都是哲学上的进步。
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