第10讲空间向量的加减与数乘运算
【知识要点梳理】
一、空间向量的相关概念
1.空间向量及向量的模
在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模。
2.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记为，零向量的方向是任意的。
3．单位向量：模为1的向量.
4.相等向量和相反向量：
（1）方向相同且模相等的向量称为相等向量；零向量都相等
（2）与长度相等，而方向相反的向量，称为的相反向量，记作
二、空间向量的加减法
1.将空间任意两个向量的起点平移到空间某一点O，则平移后的两个平面向量的和或差，即为空间两个向量的和或差，可根据平行四边形法则或三角形法则求得。
2.空间向量的加法运算律：
（1）（2）（）+=
三、空间向量的数乘运算
1.运算法则：空间向量与一个实数的乘积是一个向量，记作，满足：
（1）
（2）当时，与方向相同；当时，与方向相反，当时，
2.空间向量的数乘运算满足的运算律：
（1）=（）（2），（）
（3）（）
3.共线向量定理
对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使得.
4.共面向量定理
（1）平行于同一平面的向量，叫做共面向量。
（2）如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使
（3）空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点O，有；或（其中）。
【经典题型】
题型一空间向量的概念
例1.给出下列命题：①将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则他们的终点构成一个圆；
②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；
④若空间向量，，满足，，则；⑤空间中任意两个单位向量必相等。
其中假命题有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
变式训练一
1.下列命题正确的是（）
A.若向量与共线，与共线，则与共线
B.向量、、共面就是直线AB，CD，MN共面
C.零向量没有确定的方向
D.若，则存在唯一的实数，使得
题型二空间向量的加法、减法与数乘运算
例2．在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，化简下列各式。
（1）；
（2）；
（3）
变式训练二
1.已知空间四边形ABCD，连接BD，设M，N分别是BC，CD的中点，则等于（）
A.B.C.D.
2．已知在长方体中，，，则（）
A.，B.，C.，D.，
题型三向量的共线定理与共面定理
例3.如图所示，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，用向量法判断与是否共线。
例4.已知A、B、C三点不共线，点O是平面ABC外的任意一点，若点P分别满足下列关系：
（1）；（2）
试判断点P是否与点A，B，C共面
变式训练三
1.如图所示，已知长方体中，M为的中点，N在AC上，且AN：NC=2：1，E为BM的中点.求证：，，三点共线。
2.已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，如图，点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，求证：E，F，G，H四点共面。
【经典练习】
1.下列条件使M与A、B、C一定共面的是（）
A．B.
C．D.
2.如果，，共面，，，也共面，则下列说法正确的是（）
A.若与不共线，则，，，共面B.若与共线，则，，，共面
C.当且仅当时，，，，共面D.若与不共线，则，，，不共面
3.在平行六面体中，向量，，是（）
A.共线向量B.等长向量C.共面向量D.不共面向量
4.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且OM=2MA，N为BC中点，则（）
A.B.
C.D.
5.如果向量，，满足，则（）
A.B.
C.与同向D.与同向
6.在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则
下列向量中与相等的向量是（）
A.B.
C.D.
7.已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由确定的点P与
A，B，C三点共面，则。
8.已知正方体，点F是侧面的中心，若，则=，
=
9.已知是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若，则。
10.如图平行六面体中，M是AC的中点，N是上一点，且，设
，，，则
11.已知两个非零向量不共线，如果，，，
求证：共面．
12．已知分别是空间四边形边的中点，
（1）用向量法证明：四点共面；（2）用向量法证明：平面．
【能力拓展】
1．如图，已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点，并且，，
，，
求证：（1）A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；
（2）（3）
2.如图所示，平行六面体中，E、F分别在和上，且，
（1）证明：A、E、、F四点共面；
（2）若，求
【巩固练习】
1.设P是△ABC的重心，若，，则（）
A.B.C.D.
2.已知两非零向量，，且与不共线，若（，且），则下列三个结论有可能正确的是。
①与共线；②与共线；③与、共面
3.如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且，点G在AH上，且，若G，B，P，D四点共面，则的值为
（提示:向量BG用向量PA、PB、PD表示）
4.如图，四边形ABCD为正方形，P是ABCD平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中，的值。
（1）
（2）
期望数学岛
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